ВМ

11

1.2.5 Дослідити ряд на збіжність за ознаками порівняння

∞

1

1.

∑

2n −1

n=1

∞

1

3.

∑n=1

(2n +1)2 −1

5.

∞

1

∑

n +10

n=1

7.

∞

n

∑

n

4

+1

n=1

∞

n

9.

∑

(n2

+

5)

3 / 2

n=1

11.

∞

n3 +8

∑

n

4

+ 2n +3

n=1

13.

∞

3

∑

1+n2

15

n=1

1+n

∞

2

+ 2n −1

∑ n

n=1

n3

n

17.

∞

∑ n3

n

n=1

n

+3

19.

∞

n

21.

∑n=1 (n +1) 3 n + 2

∞

n

2

+3

∑

4n

3

+5n

23.

n=1

∞

n

∑

n

3

+1

25.

n=1

∞

3n −1

∑

n(n

2

−1)

n=1

∞

1

2.

∑n=1

(5n −2)3

∞

1 + n

3

4.

∑

1 + n

4

n=1

∞

6.

∑ n +1

n=1

n3

8.

∞

1

∑

n (n −3)

n=1

∞

2n +1

10.

∑

(n2

+n +1)

5

n=1

12.

∞

3

n

3

+ 2

∑

14.

n=1

n +1

∞

n +3

∑

4n

3

+ 2n +3

16.

n=1

∞

1

∑

n3

n −

n

n=1

18.

∞

n2 + 2n

∑

3n

4

+5

20.

n=1

∞

n +1

∑

22.

n=1

n3 + 4

∞

n

∑

n

5

+1

24.

n=1

∞

4n

− 2

26.

∑n=1

(n2 −1) (n − 2)

∞

n + 6

∑

n=1

3 n2 +3

						12
27.	∞	n		+3		28.	∞		3	+ 2n
	∑						∑	n
		4		+ 2n					n + 2
29.	n=1	n				30.	n=1
	∞			n 3 n			∞		n + 2
	∑	n	2	+ 2n −1			∑		n	2	+1
	n=1						n=1

1.2.6 Дослідити збіжність ряду:

1.

∞

2n +

1

2.

∑

(−1)n+1

n(n +1)

n=1

3.

n

4.

∞

n+1

n

∑

(−1)

5.

n=1

(−

1)

2n +1

6.

∑

∞

n+1

7.

n=2

ln(n +1)

8.

∞

3

∑

(−1)n+1

n

n

n=1

2

9.

∞

(−1)n 2n2

10.

∑

n

4

−n

2

+1

n=1

11.

∞

(−1)n

12.

∑

(n +1) ln(n +1)

n=3

13.

∑

(−1)

n+1

14.

∞

15

n=1

n 4

2n +3

16.

∞

1

∑

(−1)n

4

n

(2n +1)

17.

n=1

18.

∞

π

∑

(−1)n cos

6n

19.

n=1

20.

∞

n

n −1

n

∑

(−1)

3n +1

n=2

∞

n

n3

∑

(−1)

(n +1)!

n=1

∞

(−1)n arctg n

∑

n=1

n

∞

1

∑

(−1)n tg

n

n=1

∞

n

∑

(−1)

n ln n

n=2

∞

n sin 3n

∑

(−1)

3

n

n=1

∞

n

n + 2

∑

(−1)

4

n

n=1

∞

π

∑

(−1)n sin

n

n=1

2

∞

n

∑

(−1)n

2n −9

n=1

∞

(−1)n sin(n

n )

∑

n=1

n

n

∞

(−1)n

∑n=0 (2n +1)22n+1

21.

∑

(−1)

∞

n

23.

n=3

n ln(2n)

∞

2

n

∑

(−1)n

n +1

n=1

25.

∞

2n +1

∑

(−1)n

(n

2

+ n +1)

3

n=2

27.

∑

(−1)

2n

∞

n−1

n=1

(n +1) 2

29.

∞

n

n

n

∑

(−1)

arcsin

n +1

n=3

13

22.	∞	+1 ln(n +1)
	∑ (−1)n
				n +1
24.	n=1
	∞		n +1
	∑ (−1)n
26.	n=1			n3
	∞		2n −1
	∑ (−1)n
				3n
28.	n=1
	∞			n
	∑ (−1)n
30.	n=3			n2 +1
	∞				n +1
	∑ (−1)n n ln
					n
	n=3

1.2.7 Знайти область збіжності степеневого ряду:

1.

∞

2

n n (x −1)n

∑ sin

n=1

n

n

−3)

3.

∑

(3n

− 2)(x

n

∞

n=1

(n −1)2 2n+1

5.

∞

(x + 2)n

∑

2

n

n

2

7.

n=1

∞

n

2

+1

∑

(x + 4) n

5

n

n=1

9.

∞

n2 (x −3) n

11.

∑n=1

(n4 +1) 2

∞

∑ n !xn

n=1

13.

∞

n

∑ n !x

n=1

(2n −1)

2.	∑ 3n2 xn
	∞
4.	n=1		(x −5)n
	∞
	∑n=1
			(n + 4)ln(n + 4)
6.	∞		n n+1 (x +3)n
	∑
	n=1		3
8.	∞		(x + 2)n
	∑n=1
			(2n +1)3n
10.	∞		(x − 7)n
12.	∑n=1		(2n2 −5n) 4 n
	∞		3n x n
	∑		(1 + 4n)5n
	n=1
14.	∞		5n xn
	∑n=1 (2n +1)2 3

14

15	∑		(nx −1)
	∞				n
	n=0	2		(n +3)
17.	∑			n(x −1)
	∞				n
19.	n=1	2		ln(n +1)
	∞			n
	∑n=1		x
			(2n !)

21.∑∞ (−1)n xn

23.

n=1

n

∞

x

n

∑

n +1

25.

n=0

n

∞

n +1

∑

x

2

n

(n

2

+1)

n=1

27.

∞

3

n

n !

∑

xn

n

n=1

(n +1)

29.

∞

(x +1)n

∑

2

n

−1

n

(n +1)

n=1

16.

∞

(x +5)n

∑

3 n +1 n2 +1

n=0

18.

∞

n!(x +10)n

∑

n

n

20.

n=1

∞

n

∑

x

n

22.

n=0

5

∞

xn

∑

n(n +3)

24.

n=1

∞

e

n

n !

∑

x n

n

26.

n=1

n

∞

1

n

n

∑

1

+

x

n

28.

n=1

∞

n!

∑

(x +3)n

n

n=1

n

(x −3)

n

30.

∑

n

∞

n=1

(3n −1) 3

1.2.8 Розвинути функцію в ряд Тейлора за ступенями х :

	1.	f (x) =	1				2.	f (x) = cos2 (2x)
			( 1 + x2 )5
	3.						4.	f (x) = x5 ln (1 + x2 )
		f (x) =	1
				(1 − x)3				f (x) =sin 2 x
	5.	f (x) =	1				6.
			2 + x
	7.	f (x) = ln (1 − x)					8.	f (x) =	x2
								3	1 + 3x2

9.	f (x) =	sin 3x
		x
11.	f (x) =	e x	2
		x2

13.f (x) = x cos x

15.f (x) =sin x

	17.	f (x) =	sin 5x
	19.		x
		f (x) =	x2
	21.		1 + x
		f (x) =	2
	23.		1 −3x 2
		f (x) =	1
			e x

25.f (x) = e3x

27.f (x) = cos 5x

29.f (x) = (x −tgx)cos x

15

10.	f (x) =	1
		1 − x2
12.	f (x) =	1
	3	1 − x2
14.	f (x) =	1 + 2x

16.f (x) = 4 1 + x

18.f (x) = x3arctg x

20.f (x) = e xx−1

22.f (x) = ch (2x3 )

24.	f (x) = cos	2x3
		3

26.f (x) =sin x2

28.f (x) =sin 2x

30.	f (x) =	x + 3
		(x +1)2

1.2.9 Обчислити інтеграл з точністю до 0,001:

1.	0,1			2.	0,1
	∫e−6 x2 dx				∫sin (1000x2 ) dx
3.	0			4.	0
	1				0,5	dx
	∫ cos x2 dx				∫
	0				0	4 1 + x4
5.	0,1	1−e	−2 x	6.	1	th ( 1 + x / 5)
	∫		dx		∫		dx
		x
	0				0	x

7.	1,5				dx
	∫
		3			27 + x3
	0
9.	0,2
	∫sin (25x2 ) dx
11.	0
	1				dx
	∫
		4			16 + x4
	0
13.	0,4			ln( 1 + x / 2)
	∫								dx
	0					x
15.	0.3
	∫e−x3 dx
17.	0
	0,2
	∫cos (25x2 ) dx
	0
19.	0,4		1−e			−x / 2	dx
	∫
	0				x
21.
	2,5				dx
	∫
			4		125 + x3
	0
23.	0,5
	∫sin (4x2 ) dx
25.	0
	2				dx
	∫
			4		256 + x		4
	0
27.	2,5				dx
	∫
			4		625 + x4
	0
29.	1/ 2				ln(1 + x)
	∫							dx
	0					x

16

8.	0.2
	∫ e−3x2 dx
	0
10.	0,5
	∫cos (4x2 ) dx
12.	0
	0,2	1 −e				−x	dx
	∫
	0				x
14.	2				dx
	∫
		3 64 + x3
	0
16.	0,2
	∫sin (x2 ) dx
18.	0
	1,5				dx
	∫
	0 4 81+ x4
20.	0,1		ln(1 + 2x)
	∫							dx
	0					x
22.
	0,4
	∫cos (5x / 2)2 dx
24.	0
	∫e−3x2 dx
	0,4
26.	0
	0,5				dx
	∫
		3 1+ x3
	0
28.	3 / 4
	∫sin x2 dx
	0
30.	4	1
	∫ e			x	dx
	2

17

1.2.10 Знайти зазначене число ненульових членів розвинення в ряд розв′язання диференціального рівняння при заданих початкових умовах:

1.	y′=arcsin y + x			y(0) =1 > 2	(чотири члени)
2.	y′= xy + ln (y + x)			y (1) = 0	(п′ять членів)
3.	y′= x + y −1			y (0) =1	(п′ять членів)
4.	y′= 2x + cos y			y(0) = 0	(п′ять членів)
5.	y′ =	1 − x	+1	y (0) =1	(п′ять членів)
		y		y (0) =1
6.	y′+ y cos x −3e x y 2 −sin x = 0				(чотири члени)
7.	y′− y cos3 x + y 2 sin x − ln(x +1) = 0 y(0) =3				(чотири члени)

8.2 y′ − (x + y)y − e x = 0

9.y′− 4 y + 2xy 2 − e3x = 0

10.y′′= y cos y′+ x

11.y′′= x2 + y 2

12.y′′ = e y sin y

13.y′′ = (y′)2 + xy

14.y′′= y′y −1 − x−1

15.y′′= xy

16.y′′′= ye x − x(y′)2

17.y′′′ = y′′ + (y′)2 + y3 + x

18.y′′′= xy + y′x2

y (0) = 2 y (0) = 2

y (0) =1, y′(0) =π / 3

y(−1) = 2, y′(−1) =0,5

y(π) =1, y′(π) =π / 2

y(0) = 4, y′(0) = 2 y(1) =1, y′(1) =0

y(0) =1, y′(0) =1 y(0) =1, y′(0) =1 y′′(0) =1

y (0) =1, y′(0) = 2, y′′(0) = 0,5

y(0) = y′(0) = y′′(0) =1

(чотири члени) (чотири члени) (п′ять членів )

(сім членів)

(п”ять членів ) (п′ять членів) (шість членів)

(шість членів) (шість членів)

(шість членів)

(сім членів)

19.y′′= x sin y

20.yy′′+ y′+ y = 0

21.y′′+ yy′− 2 = 0

22.y′′− y′= 9 xe2x

23.y′′− 4 y′+ 4 y = 2 (sin 2x + x)

24.y′′−3y′+ 2 y = e3x (3 − 4x)

25.y′′−3y′− 4 y =17 sin x

26.y′′+ 2 y′+ y = x + sin x

27.y′′−5y′+ 6 y = x2 − x

28.y′′= x + y 2

29.y′′= x + y cos y′

30.y′= xy + e y

18

y (1) =1, y′(1) =π / 2 y (0) =1, y′(0) =0

y(0) = y′(0) = 0

y (0) = 0, y′(0) = −5 y (0) = 0, y′(0) =1

y (0) = 0, y′(0) =1

y (0) = 4, y′(0) = 0

y(0) = y′(0) = 0

y(0) =0, y(0) =1/ 9 y(0) = 0, y′(0) =1

y(0) =1, y′(0) = π3

y(0) =0

(шість членів) (сім членів) (п′ять членів ) (шість членів)

(шість членів)

(сім членів)

(шість членів) (вісім членів ) (шість членів)

(чотири члени) (чотири члени)

(чотири члени)

1.2.11Розвинути в ряд

1.f (x) = x −1,

2.f (x) = x ,

3.	−π < x < 0,
f (x) = 0,
x,	0 < x <π

4.f (x) = 2 + x ,

5.f (x) = x2 +1,

6.f (x) =1/ 2(π − x),

7.f (x) = 1 − x ,

8.	f (x) = 2,	−π < x < 0,
	x,	0 ≤ x <π
9.	f (x) = x +1,

Фур′є функцію в зазначеному інтервалі:

(−1,	1)
(−π,	π)
(−π,	π)
(−1,	1)
(− 2,	2)
(−π,	π)
(− 2,	2)
(−π,	π)
(−π,	π)

10.f (x) = x2 ,

11.f (x) = e x ,

12.f (x) = 2x ,

13.f (x) = (x − 2π)2 ,

14.f (x) = π4 − 2x ,

15.f (x) = e x −1,

16.f (x) = cos (x / 3),

17.f (x) = x,

18.f (x) =sin 3x,

19.f (x) = 2x,

20.f (x) = x − 4π,

21.f (x) =(π − x)/ 2,

22.f (x) = x ,

23.f (x) = (x −1),

24.f (x) = x2 + 4,

25.f (x) = x ,

26.f (x) = 2x,

27.f (x) = e x ,

28.	f (x) = 1,
29.	x,
	f (x) = cos	x	,
	2
30.	f (x) =3 − 2x,

19

(− 0,	2π)
(−π,	π)

(0,	π)
(−π,	3π)
(0,	π)
(0,	2π)
(−π,	π)
(0,	4)
(−π,	π)
(0,	π)
(4π,	5π)
(−π,	0)
(− e,	e)
(−π,	π)
(−3, 1)
(0,	π)
(0,	π)
(− e,	e)

− 2 < x < 0 0 ≤ x < 2

(−π,	π)
(− 2,	2)

за синусами

за косинусами

за косинусами за косинусами за синусами

за синусами за косинусами

20

2.ОПЕРАЦІЙНЕ ЧИСЛЕННЯ

2.1Аудиторні заняття

1. Які

з

функцій

вигляду

f (t) σ(t ) є

функціями

оригіналами

(t ) = :

σ(t) =

0, t < 0 − одиничнафункціяХевісайда , якщо f

1, t ≥ 0

a)

t

, b) 3t , c)

1

.

t + 5

t

−

5

Відповіді: a) так, b) так, c) ні.

2. Користуючись означенням, знайти зображення за Лапласом

для

наведених

функцій

(тут і

надалі запис

f (t)

слід

розуміти,

як

f (t) σ(t ) ):

	2sin 2 t , b) e−tσ(t − 2).		1				p		e	−2(p+1)
a)		a)		−				, b)			.
						2
			p		p		+ 4			p + 1

3. Знайти зображення за Лапласом для наведених функцій користуючись теоремами про зображення та оригінали:

ch 2t − ch t

t

a) sh(t + 3), b) t cos 3t , c)

, d) e3t

sin 2t , e)

∫sin 2τ dτ .

t

0

e

3

e

−3

p

2

− 1

−

ln

2

2

p − 1

p + 1

p

− 9

p

− 4

2

2

a)

, b)

, c)

d )

, e)

(p 2 + 9)2

2

2

p 2 − 6 p + 13

p3 + 4 p

4. Знайти зображення за Лапласом для функції заданої графічно: