ВМ

41

	16. a) ∫ (Im z 2 − Re2 z)dz , де L :	y =	1	, 1 ≤ x ≤3 ,	b) ∫i (z 2 − 2z)dz .
			x
	L				1
					π

17. a) ∫ (Re z − z )dz , де L : y = x2 , 0 ≤ x ≤1,

L

2

b) ∫ (z + i)cos zdz .

0

18. a) ∫ (z 2 + z z )dz , де L : верхнє півколо z =1 , проти годинникової

L

стрілки,

19.	a) ∫ (z +				)dz , де L : x = y 2 , −1 ≤ y ≤1,
				z
	L
20.	a) ∫ Re zdz , де L : y = x2 , 0 ≤ x ≤ 2 ,
21.	a)L∫ (2i + 3z + z						)dz , де	L : праве півколо		z
						z
	L
кової стрілки,
22.	a) ∫ (2		+ Im z 2 )dz , де L :					y = 3x, 0 ≤ x ≤1,
		z

i

b) ∫ (z −i)e−z dz .

0 i

b) ∫ (z + cos z)dz .

0 i

b) ∫ (z −i)cos zdz .

−i

=1 , проти годинни-

i

b) ∫sin 2 zdz .

−i i

b) ∫sin 2zdz .

	L		(1 + i +		)dz , де L : відрізок, що				0
23.	a) ∫						з’єднує		z1=2+2і та z2=0,
				z
	L
b) 1∫+i(z − e z )dz .
	0								1∫+i(3z 2 − 2z)dz .
24.	a) ∫		dz , де L : z = 4 cos t + i sin t, 0 ≤t ≤			π	,	b)
		z
	L					2			i

42

1+i

25.

a) ∫ e

z

dz , де L :

y = −x, 0 ≤ x ≤π ,

b)

∫ (z −i)e z dz .

L

i

26.

a) ∫ z

dz , де L : праве півколо

z

=1 , проти годинникової

z

L

1+i

стрілки,

b)

∫ e z dz .

0

a) ∫ (2

+ Im z 2 )dz , де L : y = 2x2 , 0 ≤ x ≤1 ,

i

27.

b) ∫ cos2 zdz .

z

L

−i

28. a) ∫

(4i − 4

+ 20)dz , де L : відрізок, що з’єднує z1=5-і та z2=5+i,

z

i

L

b) ∫sin z cos 3zdz .

0

dz , де L : z =3cos t + 2i sin t, 0 ≤t ≤ π ,

1

29. a) ∫

b) ∫ ze z2 dz .

z

L

2

−1

30. a) ∫ (1 + 2

)dz , де L : z = (1 + i)t, −1 ≤t ≤1,

i

b) ∫sin z cos zdz .

z

L

0

3.2.6. Обчислити інтеграли за допомогою інтегральної форму-

ли Коші:

ch zdz

5zdz

1.

a)

∫

,

b)

∫

.

(z + 2)(z −i)

z−2

=2

z 4 −1

z

=3

2.

a)

∫

sin(π(z −1))dz

,

b)

∫

ln zdz

.

z−1−i

=1 z 2 − 2z + 2

z−2i

=3 (z − 4i)(z −i)

∫

cos(z + iπ)dz

∫

cos zdz

3.

a)

z

z(z 2 + 2)

,

b)

z 2

− 4z .

=1

=3

z−2

4.a)

5.a)

6.a)

7.a)

∫

z−2i

∫

z =2

∫

z =32

∫

z =12

43

π z

cos zdz

,

b) ∫

sh

2

dz

.

=3 z 2 + 4

z+2i

=2 (z + i)(z + 3i)

5zdz

,

b)

∫

zdz

.

(z −i)(z −3)

z

(z −1)(z − 2)

=3

zdz

,

b)

∫

cos zdz

.

z 2 −3z + 2

=2

(z −

2i)(z −i)

z−i

(z + 2)dz

sin

π z

dz

b)

∫

4

,

.

z(z −1)(z − 2)

z

2

−

4

z

=3

z

3z 2 dz

ln

dz

8. a) ∫

b)

∫

2

,

.

3

(z +1)(z − 2)

3

(z − 2i)(z −i)

z

=

z−2i

=

2

2

∫

zdz

∫

e z cos zdz

9. a)

z

(z 2 +16)(z + 2)

,

b)

z

z 2 + 2z .

=3

=3

∫

dz

∫

e z dz

10. a)

1

(z + 3)(z3 + z),

b)

z

z 2 + z .

z

=

=2

5

dz

dz .

11.

a)

∫

, b)

∫

z+i

=1 z 2 +1

z−i

3

z3 + z

=

2

(sin z +1)dz

a)

∫

dz

∫

12.

,

b)

.

3 (z − 4i)(z −i)

z−3i

=

z−2

=3

z 2 − 4z

2

										44
13. a) ∫				e z dz	, b)		∫			zdz .
	z−i		=2	z 2 + 4			z−2−2i		=3	z 4 −16

∫e z dz

14.a) z−i =2 (z − 4i)(z −i),

∫5zdz

15.a) z−i =1 (z + 2)(z −i),

∫ln zdz

16.a) z−i =1 (z − 4i)(z −i),

∫

dz

b)

=2

(z 3 − 4z)(z + 4)

.

z+3

sh

π z dz

b)

∫

2

.

z

2 +

1

z

=2

b)

∫

ln zdz

5

(z − 4i)(z −i)

.

z−3i

=

2

17. a) ∫				cos zdz	, b)		∫			ch zdz .
	z−1		=2	z 2 − 4z			z−1+i		=2	z 4 −1

18.a)

19.a)

20.a)

21.a)

sh π z dz

∫

2

,

=3

(z + 4i)(z + i)

z−i

∫

eiz dz

,

b)

z

3

z 2 −3z + 2

=

2

cos zdz

∫

,

3

(z − 2i)(z −i)

z−3i

=

2

sin π z dz

∫

4

,

b)

z 2 − 4

z−1

=2

b)

∫

sin(π(z −1))dz

.

z−1

=2

z 2 − 2z + 2

∫

cos zdz .

z+2i

=3

z3

+ 4z

∫

dz

b)

=2

z(z 2 + 2).

z−i

∫

dz

z

z 2 + 4 .

=3

22.a)

23.a)

24.a)

45

z

ln

dz

zdz

∫

2

b)

∫

,

.

3

(z − 2i)(z −i)

z

(z −3)(z −i)

z−3i

=4

=

2

∫

∫

e z cos zdz ,

b)

zdz

.

z

=1

z 2 + 2z

z

=3

(z − 2)(z −1)

∫

e z dz

,

b)

∫

(z + 2)dz

.

3 z

2

+ z

z(z −1)(z − 2)

z−1

=

z−

1

=1

2

2

25.a)

26.a)

27.a)

28.a)

29.a)

30.a)

∫

dz

b)

∫=3

3z 2 dz

1

,

z

.

z

z3 + z

(z +1)(z − 2)

=

2

(sin z +1)dz

zdz

∫

, b)

∫

(z + 2)(z 2

+16).

=2

z 2 − 4z

=5

z−1

z−3i

∫

zdz

,

b)

∫

zdz .

z−2i

=1

z 4 −16

z

=2

z 2

+1

∫

dz

∫=5

zdz

z

(z3 − 4z)(z + 4)

,

b)

z

.

(z − 4i)(z −i)

=1

π z

e z dz

∫

sh

2 dz

b)

∫

,

.

z−i

=1

z 2 +1

z

=3

z 2

+ 4

∫

ln zdz

b)

∫

z 2 dz

,

.

=1

(z −

4i)(z

−i)

=3

(z − 4i)(z −i)

z−3,5i

z−2i

46

3.2.7 Знайти радіус збіжності степеневого ряду:

∞

z n

∞

3

+i n

∞ 1 + 2ni n

∞

n(2 + i)z n

1. ∑

2. ∑

z n

3. ∑

z n

4. ∑

n=0 (1

+ i)n

n=0

2

n=0

n

+ 2i

n=0 n

2 + 4i

∞

∞

(1 + i)n

∞

i

n

∞

(1 + 2i)n

5. ∑ein z n

6. ∑

z n

7. ∑

z n

8. ∑

z n

n + i

n

+1

n=0

n=0

n=0

2 + i

n=0

∞

∞

∞

n z n

∞

z n

9. ∑cos(in)z n 10. ∑e(3+2i)n z n

11.

∑

12. ∑

(1

−i)2n

n=0

n=0

n=0 ( 3 −i)n

n=0

∞

∞

(3i − 4)n

∞

(n + i)z n

∞

z n

13.

∑(1 −i)2n z n

14.

∑

z n

15.

∑

16.

∑

n2

(3 + 4i)n

n=0

π

n=0

n=0

n=0 (3 + 4i)n

∞

∞

(2 + i)n

∞

2n + 3i

∞

2

+ in

17.

∑ei 4 z n

18.

∑

z n 19.

∑

z n

20.

∑

z n

3n − 2i

n=0

n=0

n!

n=0

1 − 6ni

n=0

(1 −i)n

∞

z n

∞

z n

∞

∞

(i +

3)n z n

21. ∑

22.

∑

23. ∑

z n 24. ∑

n=0 (n + i)

2n

n=0

3

n

n=0

2n

n=0

+ 2i

2

∞( )

25.∑e 1+i n z n

	n=0
	∞	z n
	29. ∑
		sin(in)
	n=1

∞

26. ∑(2 + i)n z n 27.

n=0

∞( )

30.∑e i−2 n z n .

n=0

∞		z n	∞	z n
∑			28. ∑
	(4	−3i)n
n=0			n=0 cos(in)

3.2.8 Знайти розвинення функції f (z) в ряд Лорана у вказаних областях:

1. f (z) =	1	a) 0 <		z		<1, b) 1 <		z − 2		< 2 .
z 2 − z

2. f (z) = z 2 + 3z − 7 a) 1 < z < 2, b) 0 < z − 2 <3 z3 −3z 2 + 4

47

3.

f (z) =

3

a) 1 <

z

< 2, b) 3 <

z − 2

< ∞

z 2 − z − 2

4.

f (z) =

2

a) 0 <

z

< 2, b) 1 <

z +1

< ∞

z 2 + 2z

5.

f (z) =

1

a) 2 <

z

< ∞, b) 0 <

z − 2

<1

z 2 −3z + 2

6.

f (z) =

1

a) 2 <

z

<3, b) 1 <

z + 3

< ∞

z 2 + 5z + 6

7.

f (z) =

−1

a) 1 <

z

< 2, b) 0 <

z −1

<1

z 2 −3z + 2

8.

f (z) =

2

a) 2 <

z

< ∞, b) 0 <

z +1

<1

z 2 + 2z

9.

f (z) =

−9

a) 1 <

z

< 2, b) 0 <

z + 2

<3

z3 + 3z 2 − 4

10.

f (z) =

3z + 3

a) 1 <

z

< 2,

b) 1 <

z +1

< 2

z

2

+ z −

2

11.

f (z) =

1 − z

a) 0 <

z

<1,

b) 1 <

z +1

< ∞ .

z 2

+ z

12.

f (z) =

2z +1

a) 2 <

z

< ∞,

b) 0 <

z −1

<3

z

2

+ z −

2

13.

f (z) =

2z +1

a) 1 <

z

< 2,

b) 0 <

z + 2

<3

z

2

+ z −

2

14.

f (z) =

1

a) 1 <

z

< 2,

b) 1 <

z +1

< ∞

z 2 + 3z + 2

15.

f (z) =

2 −5z

a) 1 <

z

< 2, b) 1 <

z −1

<3

z

3

+ z 2 − 2z

16.

f (z) =

1

a) 0 <

z

<1,

b) 0 <

z +1

<1

z

3

+ z 2

17.

f (z) =

2z +1

a) 0 <

z

<1,

b) 1 <

z −1

< 2

z 2

+ z

48

18.

f (z) =

2

a) 1 <

z

<3,

b) 0 <

z − 2

<1

z 2

− 4z + 3

19.

f (z) =

6

a) 2 <

z

< 4,

b) 0 <

z + 2

< 6

z 2

− 2z −8

20.

f (z) =

2

a) 2 <

z

< 4,

b) 0 <

z + 3

<1

z 2

+ 6z +8

21.

f (z) =

9

a) 1 <

z

< 2,

b) 3 <

z −1

< ∞.

(z −1)2 (z + 2)

22.

f (z) =

2

a) 0 <

z

< 2,

b) 1 <

z −1

< ∞

z 2

−

2z

23.

f (z) =

2

a) 0 <

z

<1, b) 1 <

z +1

< 2

z3

− z

24.

f (z) =

3

a) 1 <

z

< 2,

b) 3 <

z +1

< ∞

z 2

− z − 2

25.

f (z) =

3z − 4

a) 1 <

z

< 2,

b) 1 <

z −1

< ∞

z 3

−3z 2 + 2z

26.

f (z) =

4

a) 4 <

z

< ∞,

b) 0 <

z − 2

< 2

z 2

−

4z

27.

f (z) =

8

a) 0 <

z

< 2,

b) 4 <

z + 2

< ∞

z3

−

4z

28.

f (z) =

2

a) 0 <

z

<1,

b) 1 <

z −1

< ∞

z 3

−3z 2 + 2z

29.

f (z) =

z 2 + z +1

a) 0 <

z

<1,

b) 1 <

z +1

< ∞

z3

+ 2z 2 + z

30.

f (z) =

18

a) 0 <

z

<3,

b) 3 <

z + 3

< 6

z 3

−

9z

49

3.2.9 Класифікувати ізольовані особливі точки функції f (z) (окрім z = ∞ ), та знайти в цих точках лишки функції:

	1.	f (z) =		sin z
			z 4 + 2z3 + z 2
	4.	f (z) =		z 2 −1		5.
				z3 + z 2

2.	f (z) =	z 2 −1
		z 4 −3z 3 + 2z
f (z) =	1
	(z −1)2 (z 2 + 4) 6.

( ) = 1 − cos z 3. f z

z5

( ) = ch z

f z (1 − z 2 )(z +1)

7.

f (z) =

e z −1

8.

f (z) = z

4 sin

1

9.

z 4 − z3

z

10.

f (z) =

cos z −1

11.

f (z) =

cos z

z3 (z −3)

3

π

2

z

− 2 z

13.

f (z) =

z 2

14.

f (z) =

e z

(z 2 +1)2

(z +1)4

16.

f (z) =

z 2 + z −1

17.

f (z) =

1

z3 − z 2

z 4 + z 2

19.

f (z) =

1

20.

f (z) =

z 2 +1

4z3 − z5

(z + i)3

22.

f (z) = (z −1)2 sin

1

23. f (z) =

1 − e z

z −1

z3

25.

f (z) =

sin 2z

26.

f (z) =

2z5

z(z +1)3

(z −i)3

28.

f (z) =

z3

29.

f (z) =

e z

z 4 +1

z 4 + z3

f (z) = z 3 cos

1

z

12.

f (z) =

eπ z

(z −i)2

f (z) =

cos z

15.

z 2 (z 2 + 9)

18.

f (z) =

z

(z +1)3 (z − 2)

21.

f (z) =

sin 2z

z3

24.

f (z) =

z 6

(z −1)4

27. f (z) =

z

sin z

30.

f (z) =

z

(z − 2)2 (z −1)

50

ЛІТЕРАТУРА

1.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. 2-й том. М. 1966.

2.Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. М. 1988.

3.Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анали-

за. М. 1985

4.Сборник задач по математике. Под редакцией Ефимова А.В.

М. 1986.

5.Сборник задач по математике для вузов / Под ред. А.Е. Ефимова, В.П. Демидовича.-М.: Высш. шк.,1978.-ч.1,2.

6.Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. М. 2-й т.2.

7.Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика : Задач-

ник.- М.: Наука, 1985.-192 с.