vyshka_5074e

ln 15 £ x £ ln 24

y = 2 - ex ,

15.

ln 3 £ x £ ln 8

y = 1− ln sin x ,

17.π / 3 ≤ x ≤ π / 2

61

0 ≤ x ≤1/ 4

16.y = 1 - ex2- e− x , 0 ≤ x ≤ 3

18.	y =1- ln(x2 -1), 2 ≤ x ≤ 3

	y =		x - x2		- arccos		+ 5 ,
19.						x		20.
	1/ 9 ≤ x ≤1
21.	y = ln sin x ,							22.
	π / 3	≤ x ≤ π		/ 2

y = -arccos x + 1- x2 +1,

0 ≤ x ≤ 9 /16 y = ln 7 − ln x ,

3 £ x £ 8

23. y = ch x + 3, 0 ≤ x ≤1 y = ln cos x + 2 ,

25.	0	≤ x ≤ π / 6

27.y = ex +2e−x + 3 , 0 ≤ x ≤ 2

29.	y =	3 + e2x	+ e− 2x	,
			2

0 ≤ x ≤ 2

24.y =1+ arcsin x - 1- x2 , 0 ≤ x ≤ 3/ 4

26.y = ex + 26 ,

ln 8 £ x £ ln 24

28.y = arccos x - x - x2 + 4 , 0 ≤ x ≤1/ 2

30.y = ex + e ,

ln 3 £ x £ ln 15

2.2.5 Обчислити довжину дуги кривої, заданої параметрично

	ìx = 5(t - sin t)				,
1.	í
	îy = 5(1- cos t)
	0	≤ t ≤ π
	ìx = 4(cos t + t sin t)					,
	í
3.	îy = 4(sin t - t cos t)
			2p
	0	£ t £
		3

	ìx = 3(2cos t - cos 2t)			,
2.	í
	î y = 3(2sin t - sin 2t)
	0 ≤ t ≤ 2π
	ì	2	- 2)sin t + 2t cos t
	ïx = (t				,
4.	í
	ïy = (2 - t2 )cos t + 2t sin t
	î

0 ≤ t ≤ π

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

	ì				3
	ï						t ,
5.	íx =10cos
	ï			3			t
	îy =10sin
	0 ≤ t ≤ π / 2
	ìx = 3(t - sin t)							,
7.	í	- cos t)
	îy = 3(1
	π ≤ t ≤ 2π
	ìx = 3(cos t + t sin t)									,
9.	í					- t cos t)
	îy = 3(sin t
	0 ≤ t ≤ π / 3
	ì		3
	ï					t ,
11.	íx = 6cos
	ï		3			t
	îy = 6sin
	0 ≤ t ≤ π / 3
	ìx = 2,5(t - sin t)								,
13.	í
	îy = 2,5(1- cos t)

π / 2 ≤ t ≤ π

ìx = 6(cos t + t sin t) 15. íîy = 6(sin t - t cos t),

0 ≤ t ≤ π

	ì		3
	ï			t ,
17.	íx = 8cos
	ï		3	t
	îy = 8sin
	0	≤ t ≤ π / 6
	ìx = 4(t - sin t)				,
19.	í
	îy = 4(1- cos t)
	π / 2 ≤ t ≤ 2π / 3
	ìx = 8(cos t + t sin t)					,
21.	í			- t cos t)
	îy = 8(sin t
	0	≤ t ≤ π / 4

62

ì

t

ï

= e (cos t + sin t),

6.

íx

ï

= e

t

(cos t - sin t)

îy

0

≤ t ≤ π

ì

=

1

cos t -

1

ïx

cos 2t

2

4

,

í

8.

1 sin t -

1 sin 2t

ï y =

î

2

4

π / 2 ≤ t ≤ 2π / 3

ì

= (t

2

- 2)sin t + 2t cos t ,

ï

10.

íx

ïy =

(2 - t2 )cos t + 2t sin t

î

≤ t ≤ π / 3

0

ì

t

ï

= e (cos t + sin t),

12.

íx

ï

= e

t

(cos t - sin t)

îy

π / 2 ≤ t ≤ π

ìx = 3,5(2cos t - cos 2t)

,

14.

í

= 3,5(2sin t - sin 2t)

î y

0

≤ t ≤ π / 2

ì

= (t

2

- 2)sin t + 2t cos t ,

ï

16.

íx

ïy =

(2 - t2 )cos t + 2t sin t

î

0

£ t £ p 2

ì

t

ï

= e (cos t + sin t),

18.

íx

ï

= e

t

(cos t - sin t)

îy

0

≤ t ≤ 2π

ìx = 2(2cos t - cos 2t)

,

20.

í

= 2(2sin t - sin 2t)

î y

0

≤ t ≤ π / 3

ì

= (t

2

- 2)sin t + 2t cos t ,

ï

22.

íx

ïy =

(2 - t2 )cos t + 2t sin t

î

≤ t ≤ 2π

0

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

	ì		3
	ï			t ,
23.	íx = 4cos
	ï		3	t
	îy = 4sin
	π / 6 ≤ t ≤ π / 4
	ìx = 2(t - sin t)				,
25.	í	- cos t)
	îy = 2(1
	0 ≤ t ≤ π / 2
	ì x = 2(cos t + sin t)					,
27.	í			- t cos t)
	îy = 2(sin t
	0 ≤ t ≤ π / 2
	ì		3
	ï			t ,
29.	íx = 2cos
	ï		3	t
	îy = 2sin

0 ≤ t ≤ π / 4

63

	ì		t	(cos t + sin t)
	ï				,
24.	íx = e		t
	ï			(cos t - sin t)
	îy = e
	0	≤ t ≤ 3π / 2
	ìx = 4(2cos t - cos 2t)					,
26.	í
	î y = 4(2sin t - sin 2t)
	0	≤ t ≤ π
	ì		2
	ï
28.	íx = (t - 2)sin t + 2t cos t ,
	ïy = (2 - t2)cos t + 2t sin t
	î
	0	≤ t ≤ 3π
	ì		t	(cos t + sin t)
	ï				,
30.	íx = e		t
	ï			(cos t - sin t)
	îy = e

π / 6 ≤ t ≤ π / 4

2.2.6 Обчислити довжину дуги кривої, заданої в полярних координатах

		3ϕ
	1. r = 3e		, -	p	£ j £	p
		4
		2			2

3.r = 2 eϕ , - p2 £ j £ p2

	12ϕ
5.	r = 6e	5 , - p		£ j £	p
		2		2
	4ϕ
7.	r = 4e	3 , 0 £ j £ p
		5ϕ		3
9.			, 0 £ j £ p
	r =10e	12
	ρ = 2(1 + cos ϕ),			3
11.

				4ϕ
	2.	r = 2e		3 , - p			£ j £		p
			2				2
			5ϕ
	4.					, - p	£ j £	p
		r = 5e	12
			2				2
				3ϕ
	6.	r = 6e			, 0 £ j £ p
				4
							3

8.r = 3 eϕ , 0 £ j £ p3

	12ϕ
10. r =12e	5 , 0 £ j £ p
	3

12.r = 2(1 - cos j),

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

64

−	π	≤ ϕ ≤ 0
	2		π
13. ρ = 3(1 + sin ϕ), −				≤ ϕ ≤ 0
			2

ρ= 4(1 + cos ϕ),

15.π2 ≤ ϕ ≤ π

17.	ρ = 5(1 + sin ϕ), −						π		≤ ϕ ≤					π
														2
					4
	ρ = 6(1 + cos ϕ) ,
19.	− π ≤ ϕ ≤ −	π
		2
21.	ρ = 4sin ϕ,		π		≤ ϕ ≤				2π
		6							3
23.	ρ = 10sin ϕ,			π		≤ ϕ ≤				5π
		4							6
25.	ρ = 2sin ϕ,		π		≤ ϕ ≤				π
		4							3
27.	ρ = 6sin ϕ,		π		≤ ϕ ≤				π
		6							3
29.	ρ = 8sin ϕ,		π		≤ ϕ ≤				3π
		2							4

− π ≤ ϕ ≤ − π2

14.	ρ = 3(1 − sin ϕ),						0 ≤ ϕ ≤			π
	ρ = 4(1 − cos ϕ),									2
16.		π	≤ ϕ ≤ π
	2									π
18.	ρ = 5(1 − sin ϕ),						0 ≤ ϕ ≤
	ρ = 6(1 − cos ϕ),									2
20.		− π ≤ ϕ ≤ 0
	2					π ≤ ϕ ≤				π
22.	ρ = 4 cos ϕ,				−
						2				3
24.	ρ =10 cos ϕ,				−		π ≤ ϕ ≤ π
					π		6	π		4
26.	ρ = 2cos ϕ,					≤ ϕ ≤
				4				3
28.	ρ = 6cos ϕ,				π	≤ ϕ ≤		π
				6				3
						π			π
30.	ρ = 8cos ϕ,			−			≤ ϕ ≤
						4			2

2.2.7 Обчислити об’єм тіла обертання (вісь обертання ОХ)

1. y = − x 2 + 5x − 6, у=0

2.2x − x2 − y = 0, 2x2 − 4x + y = 0

3.y = 3sin x, y = sin x, 0 ≤ x ≤ π

4.y = 5cos x, y = cos x, x = 0 (х>0)

5.y = sin 2 x, x = π2 , y = 0

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

65

6.y = tg x, x = π4 , y = 0

7.y = xex , y = 0, x =1

8.y = 2x − x 2 , y = − x + 2 , x=0

9.y = x3 , y = x

10.y = e1−x , y = 0,x = 0,x =1

11.y = x 2 , x = y2

12.y − 1 = −x 2 , x = 0, y − 2 = x2 , x = 1

13.y = 3x 2 , y =1

14.y = (x − 1)3 , y = 0, x = 2

15.y = − x2 + 8, y = x 2 , x = 0 (х<0)

16.x × y =1, y = x, x = 2

17.y = ex , y = x , x = 0, x =1

18.x + y = 2, y = 3x , x = 0

19.y = 8x , y = x2

20.y = x + 6, y = x 2 , x = 0 (х>0)

21.y = x + 3, y = - x , x = 0

22.y − 1 = x2 , y − 3 = x 2 , x = 0, x = −1

23.y = −2x − x2 , y = −2x 2 − 4x

24.y = 4cos x, y = cos x, x = 0 (х<0)

25.x + y =1, y = e2x , x =1

26.x × y = -1, x = -2, y = - x

27.y = x + 6, y = x 2 , x = 0 (х<0)

28.y = − x2 + 8, y = x 2 , x = 0 (х>0)

29.y = x +1, y = -2x - 2, x = 0

30.y = x, y = 8x , x =1

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

66

2.2.8Знайти координати центра мас однорідної кривої L

1.L: дуга кола x 2 + y2 = 9 , розташована у першому квадранті

2.L: перша арка циклоїди x = 4 × (t - sin t), y = 4 × (1 - cos t)

3.	L: дуга астроїди x = 2 × cos3 t, y =			2 × sin3 t , розташована в
	третьому квадранті
4.	L: дуга кривої r = 4 × sin j ,	p	£ j £ p
	4		2
5.	L: дуга ланцюгової лінії y = 2 ×ch(x -			2), - 2 £ x £ 2

6.L: дуга кардіоїди r = 3 × (1 + cos j), 0 £ j £ p

	7.	L: дуга логарифмічної спіралі r = 3 × eϕ ,	p	£ j £ p
			2

8.L: перша арка циклоїди x = 3 × (t - sin t), y = 3 × (1 - cos t)

9.

L: дуга астроїди

x = 2 × cos3

t

, y = 2 × sin3

t

, розташована в

першому квадранті

4

4

0 £ j £ p

10.

L: дуга кардіоїди r = 2 × (1 + cos j),

2

ì

t

× sin t

p

11.

L: дуга кривої

ïx = e

,

0 £ t £

í

t

2

ï

× cos t

îy = e

12.

L: дуга кривої r = 2 × sin j ,

0 £ j £ p

4

13.

L: дуга кривої

ìx = 2 × (cos t + t × sin t)

0

£ t £ p

í

,

îy = 2

× (sin t - t × cos t)

14.

L: дуга кривої r = 2

× cos j ,

0 £ j £ p

3

4

ì

2

3 × t

15.

L: дуга кривої

ïx =

,

0

£ t £1

í

3

ï

= t - t

î y

16.

L: дуга кривої r = 4 × sin j ,

p

£ j £

2p

2

3

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

67

17.

L: дуга параболи y =

8x

,

2 £ x £ 8

18.

L: дуга параболи y - 4 = - x2 ,

0 £ x £ 2

19.

x2

y2

L: дуга еліпса

4 +

9 =1, розташована в другому квадранті

20.

L: дуга лінії y = ln sin x ,

p

£ x £

p

3

L: дуга лінії y = (x + 1)×

2

21.

x +1

,

-1£ x £ 3

22.

L: дуга лінії y = ln (1 - x2 ) ,

0 £ x £

1

2

23.

L: дуга кривої r = 6 × cos j ,

0 £ j £ p

6

24.

L: дуга кривої

ìx = 8sin t + 6cos t

,

0 £ t £

p

í

- 8cos t

2

îy = 6sin t

25.

L: дуга кардіоїди r = 2 × (1 + sin j),

p

£ j £ p

4

2

26.

L: дуга лінії y =1 - ln cos x ,

0 £ x £

p

- p

3

27.

L: дуга кривої r = 2

× cos j ,

£ j £ 0

3

4

ìx = 4cos j - cos 4j

0 £ j £

2p

28.

L: дуга епіциклоїди

í

,

4sin j - sin 4j

3

î y =

29.

L: дуга кривої y =

x3

,

0 £ x £ 5

ìx = 2cos j + cos 2j

0 £ j £

2p

30.

L: дуга гіпоциклоїди

í

,

î y = 2sin j - sin 2j

3

2.2.9 Знайти координати центра мас однорідної фігури Ф, обмеженої вказаними лініями

1. Ф: x + y = 4, x = 0, y = 0

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

								68
	2.		x2	+		y2		=1, x = y = 0 ( x >0, y >0)
		Ф: 4				9
	3.	Ф: 4x + 3y =12, x = 0, y = 2x
	4.	Ф: x =			y2			x = 2
				8		,

5.Ф: y = 2sin x, y = 0, x = π2

6.Ф: x × y = 6, x + y = 7

7.Ф: x 2 = − 4y, y = − 9

8.Ф: y2 = 3x, y = 3x

9.Ф: 3x + 4y = 12, x = 0, y = 34 x

10.Ф: y = 2x − x 2 , y = 0

11.Ф: x - y = 8, y = - x, x = 0

12. Ф: y2 = − 4x, x = − 4

13.Ф: y = 2x, y = -2x, y = - 4

14.Ф: y = 5cos x, − π2 ≤ x ≤ 0

15.Ф: y = x3 , x =1

16.Ф: y = 6x − x 2 , y = − x

17.Ф: y = x3, x = 0, y = 8

18.Ф: y = 4 − x 2 , y = 0

19.Ф: y = x2 , x = y2

20.Ф: x 2 = − 4y, y = − 4

21.Ф: y = x 2 + 4x, x − y + 4 = 0

22.Ф: y = - x, y - x = 2, x = 0

23.Ф: x = y, x + 2y = 4, y = 0

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

69

24.Ф: y = 3 −3 x , y = 3 +3 x , x = 4

25.Ф: y = x 2 , x = 0, y = 4

26.Ф: 3x + 4y = 12, x = y = 0

27.Ф: y = −x, y = −2x, x = 3

28.Ф: y = −2x − 2, y =1 + x, x = 0

29.Ф: y = x 2 , y = 2 − x, y = 0

30.Ф: y = x 2 , y = 2 − x, x = 0 (х<0)

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

70

ЛІ Т Е Р А Т У Р А

1.Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления (для втузов). - М.: Физматгиз, 1960. - 744 с.

2.Кручкович Г. И. Сборник задач по курсу высшей математики. - М.: Высшая школа, 1973. - 576 с.

3.Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное исчисление. - М.: Наука, 1980. - 432 с.

4.Рябушко А. П. и др. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. - Минск: Высшая школа, 1991. - Ч. 2

5.Под ред. Демидовича Б. П. Задачи и упражнения по математическому анализу (для втузов). - М.: Физматгиз, 1959. - 468 с.

6.Игнатьева А. В., Краснощекова Т. И., Смирнов В. Ф. Курс высшей математики. - М.: Высшая школа, 1964. - 685 с.

7.Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика

вупражнениях и задачах. - М.: Высшая школа, 1986. - В 2-х ч. (Ч. 1 - 303 с.; Ч. 2 - 415 с.)

8.Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. -

М.: Наука, 1985. - 384 с.

9.Марон И. А. Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах. Функции одной переменной. - М.: Наука, 1970. - 399 с.

10.Шкіль М. І., Колесник Т. В. Вища математика. - Київ, 1994. -В 3-

х ч.

11.Запорожец Г. И. Руководство к решению задач по математическому анализу. - М.: Высшая школа, 1966

12.Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. - М.: Наука, 1980. - 976 с.

13.Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. - М.: Джангар, Большая медведица, 2001. - 863 с.

14.Воднев В. Т., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф. Основные математические формулы. - Минск, 1980

15.Мантуров О. В., Солнцев Ю. К., Соркин Ю. И., Федин Н. Г.

Толковый словарь математических терминов. - М.: Просвещение, 1965. - 540 с.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com