МАТЕМАТИКА 2Ч

31

2.2Індивідуальні завдання.

2.2.1Знайти область визначення функції

			(x −1)(x − 2)
	1. y =				2. y = 16 − x2 − 3 x2 − 4
			x(x − 4)

3.

y =

x −1

x2 + 3x + 2

5.

y =

5 − x −

6

x

7.

y =

+

x − 2

81− x

9.

y = lg(25 − x2 )+ arcsin

2x −1

7

x − 2

10.

y = lg(6x2 + x −1)− arccos

1

3

11.

y =

+

x + 3

lg(x −1)

12.

y =

4

− arccos

x −1

x2 − 5x + 6

7

2x +1

13.

y = ln[(x − 3)(x + 10)]− arcsin

7

14.y = x2 − 4x + 3 − 2x

15.y = 2 + 3x − 5x2 − arccos x −5 2

16.y = 6 − x − 2x2 + arcsin x2+1

4. y = x + 4 − x2

6. y = ( 1 ) + x + 2 lg 1− x

8. y = x2 − 9 + 16 − x2

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

32

17.y = ln(6x2 − x −1)+ arcsin x −7 4

18.y = ln 5x−− 3x + (7 − x)(7 + x)

19.y = arcsin x −7 6 + 2 + 3x + 5x2

20.y = 81− x2 − 2x2 − 4

21.y = arcsin x11−1 + 3x2 + 2x −1

x +1

22.

y =

x −1 +

x2

− 5x + 6

23.

y = lg

x2

− 6x + 8

x2

+ 9x + 20

24.

y = arcsin

x −1

+

x

2

x2

− 5x + 6

x − 2

25.

y = arccos

+

x −1

3− x

5

26.

y = ln

x − 2

+ arcsin

x − 3

9 − x

5

y =

+ arcsin

2x −1

27.

81− x2

5

y =

2x − 5

28.

x2 − 36

− arcsin

9

29.y = 3x−− x5 + arccos x +6 3

=x2 + 2x −15

30.y

x+1

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

33

2.2.2 Дослідити функцію на неперервність. Побудувати схематичний графік функції.

1.y =

4.y =

7.y =

10.y =

13.y =

16.y =

19.y =

22.y =

25.y =

28.y =

2x − 3

1 − x x − 4

2x + 1 x + 4

2x −1 x + 2

2x −1 x + 2

x −1 4 − x

x + 2 x − 9

3x + 1

x+ 1

x− 2

x−1

x + 2 3x − 1

x + 2

2.	y =	x − 2
		4 − x
5.	y =	x + 4
		x + 2
8.	y =	x + 1
		2x −1
11.	y =	x + 3
		3x + 1
14.	y =	x − 3
		2x −1

17.y = 2x −1

x+ 1

20.	y =	3x −1
		2x + 1
23.	y =	2x + 3
		2x + 1
26.	y =	x + 9
		x − 3

29.y = x + 1

x+ 2

3.	y =	x −1
		2x + 1
6.	y =	x − 3
		x + 1

9.y = 2x − 5

x+ 1

12.	y =	x − 2
		x + 1
15.	y =	2x + 3
		x + 1

18.y = 5 − x

x+ 1

21.	y =	x − 4
		2x −1
24.	y =	2x −1
		x + 1
27.	y =	x + 2
		x − 4

30.y = 3x−+ 1

x2

2.2.3 Дослідити функцію на неперервність. Побудувати

схематичний графік функції.

	1					1
1.	y = 3		x−2	2.		y = 2		5+x		3.	y = 4
	1					1
4.	y = 2		3−x		5.	y = 3	x−5			6.	y = 2

1

x+1

1

x−9

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

34

	1
7.	y = 5				x−9					8.	y = 4
	1
10.	y = 9				x+9					11.	y = 5
	1
13.	y = 2				3+x					14.	y = 3
	1
16.	y = e		x+10							17.	y = 4
	1
19.	y = 3	x−4								20.	y = 2
	1
22.	y = 2				x−2					23.	y = 3
	1
25.	y = 5		x−5							26.	y = 6
	1
28.	y = 2				2−x					29.	y = 4

1					1
x+3				9.	y = e			2−x
1					1
x−4				12.	y = 4			3−x
1					1
7+x				15.	y = 2			x−8
1					1
4−x				18.	y = 6		5−x
1					1
x+1				21.	y = e	x−2
1					1
x−3				24.	y = 4				x +4
1					1
x−6				27.	y = 7			x−7
1					1
x−4				30.	y = e	x+2

2.2.4 Дослідити функцію на неперервність. Побудувати

схематичний графік функції.
1.	y =	1									;		2.	y =	4
			1												1
		2 + 3					x−4								6 + 7					x+2
3.	y =		1										4.	y =	2
		1													1
			3 + 5			x+2									3 + 4					x−2
5.	y =		1										6.	y =	2
		1													1
		1 + 2			x−1										3 + 5			x+1
7.	y =		1										8.	y =	3
		1													1
		1 + 3		x−4														2 + 2		x−3
9.	y =		5										10.	y =	2
		1													1
			3 + 2				x+4								4 + 5			x+3

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

11.	y =			4
				1
		1 + 4					x−3
13.	y =			5
				1
			4 + 3							x+2
15.	y =			1
				1
		1 + 3			x+6
17.	y =			1
				1
							2 + 5			x−2
19.	y =			3
																1
				4 + 2							x−5
21.	y =			6
				1
			3 + 6							x−2
23.	y =			1
				1
			2 + 3							x−7
25.	y =			3
				1
			2 + 2							x−4
27.	y =			2
				1
		1 + 8			x−5
29.	y =			9
				1
			2 + 7							x−3

35

12.	y =		7
		1
		1 + 3				x−5
14.	y =		6
		1
			2 + 4							x−1
16.	y =		1
		1
			3 + 2						x+7
18.	y =		2
		1
		1 + 3				x−4
20.	y =		1
		1
		1+ 3		x+1
22.	y =		4
		1
							5 + 2		x−5
24.	y =		5
		1
		1 + 4					x+3
26.	y =		1
		1
			3 + 5				x+1
28.	y =		4
		1
			4 + 2							x+3
30.	y =		1
		1
			3 + 2					x+2

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

36

2.2.5 Дослідити функцію на неперервність. Побудувати схематичний графік функції

	ìx + 2, x < 0	2.	ì2, x < -3
1.	ï		ï	£ x < 1
	y = íx2 + 2, 0 £ x < 2		y = íx2 -1, - 3
	ï		ï
	î- x, x ³ 2		îln x, x ³ 1

3.	ì2x +1,				x £ -1
	ï	2 -4, -1 £ x < 3
	y = íx
	ï	+ 2, x ³ 3
	îx
	ì	3	+1,		x £ 0
	ïx
5.	y = íx + 3, 0 < x < 1
	ï	- x, x ³ 1
	î5
	ì	2	- 4,		x £ 2
	ïx
7.	y = í2 - x, 2 < x £ 6
	ï				x > 6
	î2x - 7,
	ì				x £	π
9.	ïsin2x,					4
	ï		π
	ï			< x < 2π
	y = í1,		4
	ï			x ³ 2π
	ïx	-1,
	ï
	î
	ì x		, x	£ 0
	ï5
11 y = íx2 +1, 0 < x £ 2
.	ï3x - 2, x > 2
	î

4.	ì1- 2x, x £ -1
	ï			+1, -1 < x £ 2
	y = í2x2
	îï2x ,			x > 2
	ì	x	,	x £ 0
6.	ïe
	y = í1, 0 < x £ 2
	ï	- 3, x > 2
	îx

ì3x - 2, x £ 0

y= ï2x , 0 < x < 2

8.í

ïîx2 , x ³ 2

ìx + 3, x £ 0

y= ïln x, 0 < x £ e

10.í

ïî1, x > e

	ì	x	£ 0
12.	ï- x,
	ï				π
	ï	0	< x <
	y = ítg x,				2
	ï			π
	ï		x ³
	ïx + 2,			2
	î

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

13

.

15

.

17

.

19

.

21

.

37

ìx + 2, x £ 0

14.

ìx,

x £ 2

ï

0 < x £ π

ï

- x, 2 < x < 4

y = ícos x,

y = í4

ï

> π

ï

2

î-1, x

-9,

x ³ 4

16.

îx

ì2x - 3, x < 1

ì- 2x, x < -2

ï

2

- 2, 1 £ x < 3

ï

2

, - 2 £ x < 2

y = íx

y = íx

ï

ï

î- x, x ³ 3

18.

î3x - 5, x ³ 2

ì

x <

π

ì

x

,

x

£ 0

ï1,

2

ï3

ï

y = í- 2x +1, 0 < x < 3

ï

π

£ x <2π

ï

+ 2,

x ³ 3

y = ísin x,

2

îx

ï

ïx, x ³ 2π

ï

î

ì2 - x,

x < -3

20.

ì1- x,

x < -1

ï

2

,

- 3 £ x < 2

ï

y = í- x

y = í2x + 4, -1 £ x < 2

ï

- 3x, x ³ 2

ï

2

-1, x ³ 2

î2

îx

ì

-

π

, x £

π

22.

ì

2

- 4, x < -1

ïx

4

4

ïx

ï

π

y = í3x, -1 £ x £ 2

ï

< x

< π

ï

x > 2

y = ícos2x,

4

î4 ,

ï

ï1, x ³ π

ï

î

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

23

.

25

.

27

.

29

.

		38
ìx -1,	x £ 1	24
ï	< x < 3	.
y = íln x, 1
ï
î- x, x ³ 3

ì	2				26
ïx		, x £ 0			.
y = íx +1, 0 < x < 2
îïx3 - 5,			x ³ 2		28
ìx + 3,			x < -1
ï	- 2x,		-1 £ x £	1	.
y = í2
ï			> 1
îln x, x
ì4, x < -2					30
ï	2 , - 2 £ x < 2				.
y = íx
ï	- x,		x > 2
î3

		ì	6		, x < - 3
		ï
				x
		ï
	y =		- x - 5, - 3 £ x < 1
		í
		ïï	2 x , x ³ 1
		î

ìx +10, x £ -3

y= ïíx2 + 4, - 3 < x < 2 ïîx3 , x ³ 2

ì- x2 + 3, x £ 1

ï

y = ïí2 , 1 < x < 3 ïx

ïîx - 3, x ³ 3

ìx3 , x £ -1

ï

y = íx2 - 2, -1 < x < 3 ïîx + 2, x ³ 3

3. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЇ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

3.1. Аудиторні завдання

1.Знайти похідну за означенням

а) y = sin 5x / 2

б) y = 5x3 - 3x2 + 2

2. Знайти похідну функції, використовуючи таблицю похідних та правила диференціювання.

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

39

1

+ 3

+ (2x - 3)7

а)

y = x4 / 4 -

sin 2 3

23

x2

б)

y = ln 3

x3 - 2x + 4

- arcsin

2x3 -1

в)

y = ecos2 (x+2) ×tg(3x4 + 5x)-

arctg2x

sin 3

x

2

3.

Знайти

похідну,

використовуючи

логарифмічне

диференціювання.

а)

в)

д)

а) y = (cos3			)ln(x3+6)
		x
5
	x2 + 5x

б) y = (6x - 4)2 (x + 5)3

4. Знайти першу і другу похідні функції, заданої неявно.

а) sin(x + y) = 2e2x+ y

б) x2 + xy3 + y2 = 0

5. Знайти першу і другу похідну функції, заданої параметрично.

ì x = t 2	- 3t	б)	ì x = arcsin t		)
í	- 3t 2		í	2
îy = 2t			îy = ln(1- t
ì x = ln t		г)	ìx = cos2t
í			í
îy = t 2 -1		е)	îy = sin 2 t
ì x = ln t			ìx = arctgt
í			í
îy = 1/(1- t)			î y = t 2 / 2

6. Знайти границі функцій, користуючись правилом Лопіталя.

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

40

а)	lim	xsin x - 3ex2 + 3			;	г)	lim (6x2 + 5)e−7x ;
		4x2
	x→0						x→∞
б)	lim	3tg 2 x - x2	;			д)	lim ln sin x×tgx ;
		xsin 2x
	x→0						π
							x→ 2
в)	lim	cos x - xe2x -1			;
		5x - x3
	x→0

7. Довести, що задана функція є розв'язком заданого рівняння.

а) y = (arcsin x)/ 1- x2 ,

б) y = x(1- ln x) , в) y = xe−x2 / 2 ,

(1- x2 )y¢ - xy = 1; y′ = y / x −1;

y′′ + 2y + xy′ = 0;

8. Дослідити функцію на екстремум за допомогою першої

	похідної. Знайти інтервали монотонності функції.
		ln x			ex+5			3
	а) y =		;	б) y =			в) y =		3	(x -1)2 - x
						;
		x			x2 -1			2

9. Знайти найбільше та найменше значення функції на заданому проміжку:

y =	x	+	1	;	[1; 4]
			x
4

10. Дослідити функцію на перегин. Знайти інтервали опуклості та угнутості функції:

	а) y =		2x	; б) y = x ×e3x−2
			- x2
	4				x2
	11. Знайти асимптоти заданих ліній : y =					- 4x	; y =	x +1		.
					5x - 2			9	- x2

12. Знайти рівняння дотичної та нормалі до кривих в заданих точках:

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com