МАТЕМАТИКА 2Ч

41

а)	y(x) = x ln x,			x0	= 1	y0	= 0
б)	x2 + y2 = 25,			x0	= 4	y0	= -3
в)	y = (x +1)3		,	x0	= 2	y0	= 3
		3 - x

13.Провести повне дослідження функції за допомогою диференціального числення та побудувати їх графіки:

а)

в)

д)

f(x) = 2 - x2

x+ 5

f (x) = (x - 3)

f (x)= (1- x)3 (x - 2)2

б)

;

x ; г)

е)

	f (x) =	x + 5
		(x - 2)3
	f (x) =	x
		ex
	y = xex

3.2Індивідуальні завдання

3.2.1Знайти похідну функції, використовуючи визначення похідної.

1.	y = sin 3x					2.	y = tg 2x
4.	y = 1+ x - x			2		5.	y =		x	3		+	x			2		- 2x
7.	y = 2 /(x + 2)					8.	3				2
							y =	cos2x
											2
10.	y = e3x+2					11.	y = sin 2x /3
13.	y = 3x2 + 5x - 6					14.	y =
										x -1
16.	æ x				ö	17.	y = cos (x / 3)
	y = 4cosç			+ 2	÷
		3
	è				ø

3.y = 21−3x

6.y = 2 × ex 2

9.y =1/(1 − x)

12.y = 2x -3x2

15.y = 2 × sin 2x

18. y =1/ x

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

42

19.

y = x

2

+ 2x

20.

21.

y = 3 x2

y = 3x +1

22.

y = x−2

23.

y = sin

x

24.

y = 3x+1

4

25.

y = ctg4x

26.

y =1/(2x + 5)

27.

y = ctg (x / 2)

28.

y = 6 − 4x2

29

y = 3x2 / 2

30.

y = (x +1)2

3.2.2 Знайти похідну функції, використовуючи таблицю

похідних та правила диференціювання

5

x

3

1. a) y =

+ 2sin 3x - cos

2

3

б) y = 2cos x−5 - 3

x4 +1

в)

y = sin3 2x × ln(x2 -1)-

e2x

arctg

x

6

x5

2 .а) y =

- 3cos 2x + sin 4

5

б) y = 5tg(x3 + 2x)+ e

3x−4

sin 5x

1 - 2x

2

в) y =

- 3arcsin

x ×

(x3 + 2x)2

3. а) y = 3tg4x -

4

x3

+ 3

π

3

б) y = sin3 (x2 + 2x)- earctg 4x

ln2 (2x +1)

+ 3cos2 x ×

в) y =

x4

+ 2

arctg 3x

4. а) y = 35 ctg 5x - 32x2 + 5π

б) y = sin3 (2arccos x )- etg 2x

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

43

в) y =

ln(1 + x5 )

- cos3x× arctg 3 2x

5x

7

5. а) y = tg2 × sin3x + e5 -

x4

4

б) y = arctg

1

+ ln(x2 + 2x)

x

в) y =

x2 - 6

- log6 5x× arccos(3x - 3)

tg 2x

ex

- 23

6. а) y =

x2

+ ln 3 × sin 2x

3

б) y = 3ln(1 +

)- 2

x

1 + cos x

в) y =

arcsin2 x

- tg 2 2x × ctg3x

(2x +1)3

7. а) y =

tg3x

-

6

x5

+ π 2

5

3

б) y = ln(1 + sin 2 x)- arctg(sin x)

в) y =

2x2+3x

- arcsin2 2x × cos3 3x

x2 - 5x

3x2

+ 7 × 7

8. а) y =

+

x5

π

2

1 + x

æ

ö

б) y = 2 arcsin

1 - x

2

- lnç

÷

2

è

ø

в) y = sin 2 7x × ex2 −3 -

arctg4x

x

2 + 3x + 2

2

9. а) y = 3

π 2

-

+ 5ln 4x

3 x2

б) y = ln tg

x

- sin 3 (2x2 + 5)

3

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

44

в) y = (2x + 3)× 2 + 3x - x2 - arccos2 2x sin3 x

10. а) y =

3

+

- 3ctg

x

sin 2

5

x

4

4

æ

ö

ctg x

1 - 2x

2

+ e

б) y = arccosç

÷

è

ø

в) y =

ln 5x

- (3x - x2 )× cos3 2x

x2 + 2x

x

11. а) y = 2x3

- 3

+ 5 tg

x

cos1

5

б) y = ln 2 (sin 2x)-

ex2

- cos 3x

в) y =

x3 + 6x

- 5x2 +2x × cos 2x

x2 +10

x2 3

3cos 2x

12. a) y = sin 3 +

x

+

3

2

б) y = (5x -

2)

4

- ln

3

æ

x2

ö

çe

+ 5x÷

è

ø

в) y =

arcsin x2

- (3 - 2x)3 × tg 5x

x -1

13. а) y = 3tg

x

+ sin

-

1

3

3

5

2

x

2

б) y = 2

- 3ln(1 + tg 2 x)

e2x +1

в) y =

sin 2

x

- 2x2 +3x × arcsin(5x +1)

cos

x

- 2 cos

x

1

14. а) y = e

3

+

2

33 x

б) y = ln(x3 + 3cos x)- 2arcsin 5x

-

arctg

в) y = (2x -1)×

x

2 + x - x2

x2 + 5

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

45

15. а) y = ln 3 + 4ctg

x

-

x

4

3

25

x

б) y = ln(x2

+ 3sin x)- 2arcsin 3x

в) y = 3arctg

×(6x - x2 )-

tg3x

x

x2

+ 3

16. а) y = 62x−3 -

4

+ tg2

3 x2

æ

ö

2sin3 x

x

2

- e

б) y = arctgç

-1÷

è

ø

в) y =

cos 2 x

+ ln(1 + 2x)× (x3 + 3x)

arccos 2x

17. а) y =

1

+ sin

+ ln(2x -1)

2

5

x

3

æ

ö

+

x

2

+ 5

2arctg

x

3

-1

б) y = lnç x

÷ -

è

ø

в) y = 3x2 +5x × arcsin

-

tg25x

x

e2 sin x

18. а) y =

3

x4

- arctg2x -

sin1

4

б) y = ln(cos 2 x + x2 )- 3

2sin 2x

+ x3

в) y = arcctg 2 5x × ln(x - 4)-

log3 (x + 4)

1

x

cos5 x

19. a) y =

- cos

+ 5sin 5

3

x

5

3

- ln3 (1 - sin x3 )

б) y =

5x - x2

в) y = arccos4 x × ln(x2 + x -1)- arctg(x + 7)

(x - 2)2

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

46

20. а) y = sin tg2 -

4

+ 2ln(3x +1)

37 x5

2arctg(e

)

æ

1

ö

x

−x

ç

÷

б) y = lnçarccos

÷

-

- e

è

x

ø

esin x

2

в) y =

-

arccos x × 3−x

(x - 5

)7

21. а) y = sin 8

-

3

+ tg(2x + 3)

3

4 x

æ

x

ö

2

3x

б) y = arctgçtg

+

1÷ - esin

2

è

ø

4 ln(3x + 7)

в) y = tg 4 3x × arctg7x2 -

5x2

8

-

22. а) y =

x5

+ cos(2x -1)

sin 2

5

- (3x2 + 4x)5

б) y = arccos

1 + 2x2

в) y =

4 log 2 (3x - 5)

+ 3

−x2

× arcsin 3x

3

(x

- 2)2

10

x9

æ x

ö

23. а) y =

- ln sin 3 + tgç

+

2÷

9

è 3

ø

б) y = ln 2 (x + cos x)- 2sin3 2x

в) y = ln(2x + 3)× e−x2

+

log3 (2x + 5)

x

cos 5x

24. а) y = ln cos1 - arcsin

+

1

2

8

x

7

2

б) y = arccos

+ 2sin2 3x

4 - 2x

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

47

в) y = ctg 3 4x × arctg2x2 +

etgx

2x2 + 3x

2

25. а) y =

- ln 3 + sin(2x + 3)

35 x3

æ

ö

2x2 −5x

1 - e

x

2

б) y = lnçarcsin

÷ -

è

ø

в) y = 3cos x × arcsin2 3x -

ctg 2 5x

3x2 - 4

3

- 3

x

26. а) y =

π 2

+ sin

6

3

x

5

2

+ 35x−3x2

б) y = arctg

x2 -1

в) y =

e−ctg 2x

- log3 (2x + 4)× arctg 3 7x

3x2 +

4x + 2

27. а) y = 5

-

36

x5

- tg

x

sin 3

4

2

б) y = ln(sin3 x + e2x )- 3

x2 + 3x + ectgx

в) y = 4−sin 2x × arctg3x -

cos(7x + 2)

ctg2x3

6

x5

x

28. а) y = 5 cos tg3 -

+ ctg

5

2

x -

2

б) y = 2 arcsin

-

3 + 6x - x2

6

в) y = ln tg

x

× arctg2x -

1 -

1 - x2

2

1 +

1 + x

2

3

29. а) y = tg ln 2 +

- arccos 2x

7 x4

б) y =

1

ln(1 - 4x2 )-

arcsin 2x

8

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

48

в) y = ctg8 x × arctg 2 x + 2x2 + 3x sin 2x

30. а) y = tg8

-

2

+ ctg3x

4

3 x7

б) y = arcsin

x

æ

+ e

x3 ö

-1

- lnç

2

÷

2

è

ø

sin 2 3x

× earcsin

в) y =

+ tg2

−x+1

x

cos 6x

3.2.3

Знайти

похідні

логарифмічне диференціювання

	1.				tg2x
		а) y = (sin	x )

2.а) y = (arctg x) etgx

3.а) y = (x2 +1)ctg8x

4.а) y = (sin 3x) ln tg x

5.а) y = xsin 2x

6.а) y = (cos x)sin x

7.а) y = (2x) x

8.а) y = (arctg3x) 2x

функцій, використовуючи

	б) y =					x - 2
		(x +1)3 (x + 5)4
				3
	б) y =					x - 3
		(x + 5)3 (x + 1)2
	б) y = (2x +1)
								x -1
					x3
	y = x × 3			x2
				x +1

	б) y = (x -1)× 5				4x +1
						x
	б) y = (5x + 4)
						x +1
		6x3
		(x -1)3 3
	б) y =			x2 +1
		(x + 5)2

б) y = (x + 2)2 4x -1

(x - 3)3

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

9.а) y = xln2 x

10.а) y = (sin 2x) cos 2x

11.1

а) y = x x

12. а) y = (2x)sin2 x

13.а) y = (x2 +1)sin2x

14.а) y = (2x) arctg 2x

15.а) y = (tgx) ln(x +1)

16.а) y = (ctg2x)3x2

17.а) y = (arctgx) e2x

18.	а) y = (arcsin					)cos 8x
				x
19.	а) y = (cos 6x) 2−x
20.	æ	4	ö sin		x
					4
	а) y = çcos		÷
		x
	è		ø

49

б) y = (x +

1)5 4

x - 3

6 (x + 3)5

5

× (x2 +1)3

x +1

б) y =

(x

+ 5)2

б) y =

(x - 2)7

(x + 2)5 (x - 3)7

б) y =

x -1

(x + 2)3 3

(x - 3)2

5

б) y =

2x - 3

(x + 3)3 × (x + 5)

(x + 4)6 3

б) y =

x + 5

(x -1)4

б) y = (x +1)4

x - 5

(x + 3)3

б) y =

(x +1)6

3

× (3x + 2)3

x - 5

(x +1)3

б) y =

x - 2

5 3x + 4

(x + 3)3

б) y =

2x + 5

(3x + 2)5

6(x + 2)

б) y =

2x2 + 3x

(x - 5)3

б) y =

4x4 ×7

(x +1)3

(2x - 5)4

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

50

21.а)

22.а)

23.а)

24.

а)

25.

а)

26.а)

27.а)

28.а)

29.

а)

30. а)

( )cos 2x y = arctg x

y = (x + e2x )sin5x

y = (1 - cos 4x)arctg 2x

y = (3x + 4)2

x

y = (3x2 + 5x)cos 3x

y = (ln(x2 +1))tg2x

y = (2x + 3) etgx

y = (3x - 3) chx

y = (x5 - 3x)cos 3x

y = (arcsin 2x)cos2 x

б) y = 2(x -1)5 3x - 3

4(2x -1)3

б) y = 3(x (+ 4)3 2)x + 5 3x2 + 2 2

б) y =

x3

4(x +1)

4

4

×

(2x -1)5

(x2 + 1)3 4

б) y =

(2x +1)3

(3x -1)5

б) y =

3

(x2 +1)× x

(2x + 3)5

б) y =

(x3 + 1)3

4

(4x + 3)2

(2x - 5)3

б) y = x × 4x2 + 3x

3 2x + 7

4 x3 (x -1)

б) y = (x2 + 4)5

б) y = 32x + 7

(x + 2)4 (2x + 5)3

б) y = (x2 - 3)3 52x + 9

(3x + 4)4

3.2.4.Знайти першу і другу похідну функції, заданої неявно

1.	x	2	+ y	3	- 3xy	= 0	2.	y	3	- 3y + 2x = 0
3.	x3 + 2x2 y + 3xy2 + y2 = 0						4.	2x + 2 y = 2x+ y

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com