gurtov

3.7. Флуктуации поверхностного потенциала в МДП-структурах

Рассмотрев зависимость величины среднеквадратичной флуктуации σψ от параметров МДП-структуры применительно к переносу заряда в инверсионном канале, Брюс получил аналогичную зависимость в виде:

1

1

2

2

q

Nox

2

(εs + εox )ε0

σψ (λ,dox ) =

ln

+

, (3.147)

(εs

+ εox )ε0

4π

(Cox + Css + Csc )λ

где Cox, Css, Csc – удельные емкости окисла, поверхностных состояний и полупроводника, λ – среднее расстояние носителей в инверсионном слое до поверхности.

Выражение (3.147) для σψ было получено Брюсом из решения уравнения Пуассона с использованием функций Грина. Для областей слабой инверсии выражение (3.147) принимает вид:

1

2

q

Nox

2

εs + εox

dox

σψ (λ,dox ) =

ln

+

.

(3.148)

(εs

+ εox )ε0

4π

εox

λ

Для случая λ >> dox выражения (3.148) и (3.146) дают одинаковое функциональное поведение зависимости σψ ~ λ–1 и отличаются по величине в 2 раз. В области малых величин λ ~ dox зависимости σψ(λ) также несколько отличаются.

3.7.8.Пространственный масштаб статистических флуктуаций

Рассмотрим, какой характерный пространственный масштаб имеют статистические флуктуации поверхностного потенциала в МДП-структурах. Пусть на границе раздела полупроводник – диэлектрик находятся точечные заряженные центры с поверхностной плотностью Nox. В силу случайного характера их расположения в плоскости границы раздела распределение зарядов задается уравнением Пуассона. Если мы разобьем плоскость границы раздела на произвольные площадки с размером L, то на одних площадках зарядов будет больше, на других — меньше. Это эквивалентно тому, что наряду с плоскостью, заряженной равномерно, имеется дополнительный набор положительно и отрицательно заряженных площадок. Ситуация будет чем-то напоминать шахматную доску с чередующимися белыми и черными полями. Необходимо рассмотреть, как будет вести себя потенциал такой знакопеременной системы зарядов.

Будем считать за плотность заряда σ на таких площадках избыточную, по сравнению со средней, плотность заряда, обусловленную случайным распределением заряженных центров на поверхности.

Величина σ будет равна:

σ =	Qox	=	qNox	.	(3.149)
	S
			S

При пуассоновском распределении точечных зарядов на плоскости величина

среднеквадратичного отклонения	N равна:
N =
	N = N		ox S = L Nox ,			(3.150)

где N — среднее число зарядов на площадке S с размерами L; Nox — средняя плотность зарядов на единицу площади.

Рассмотрим, чему равен потенциал заряженной плоскости с линейным размером L. Элементарное интегрирование даст, что потенциал U, создаваемый заряженной

Gurtov.indd 113

17.11.2005 12:28:01

Глава 3. Физика поверхности и МДП-структуры

плоскостью на расстоянии λ вглубь полупроводника на нормали, проходящей через ее центр, будет:

	σL			λ			λ 2
U =					−	1−		.	(3.151)
	*
	2ε	ε0 L					L

Величина потенциала U0 на плоскости при λ = 0 будет:

U		=	σL		.	(3.152)
	0
			2ε*ε	0

Как следует из уравнений (3.151) и (3.152), величина потенциала U0 на границе раздела полупроводник – диэлектрик пропорциональна U0 ~ σL. Тогда с учетом (3.149) и (3.150) имеем для статистических флуктуаций:

U		=	q Nox		.	(3.153)
	0
			2ε*ε	0

Из соотношения (3.153) видно, что при пуассоновском распределении заряда в плоскости границы раздела полупроводник – диэлектрик величина флуктуации потенциала на поверхности U0 не зависит от масштаба флуктуаций L, а определяется только средней плотностью заряда Nox.

Для выявления особенностей экранировки потенциала знакопеременной системы зарядов рассмотрим модельную задачу. Пусть на границе раздела полупроводник – диэлектрик распределен заряд с плотностью σ(x, y), изменяющейся по гармоническому закону:

	πx		πy
σ(x, y) = σ0 sin	sin		.	(3.154)
	L		L

Для нахождения потенциала, создаваемого в полупроводнике такой системой зарядов, запишем уравнение Пуассона в виде:

	Δϕ(x, y,z) = −	ρ(x, y,z)		,	(3.155)
		ε	ε*
		0

где ρ(x, y, z) — объемная плотность заряда.

Решение уравнения Пуассона приводит к следующему значению потенциала φ(x, y, z):

ϕ(x, y,z) =	2σ(x, y)L			−	λ	π
			exp		L		2	,	(3.156)
	*	ε0
	4πε

где L — линейный масштаб одной ячейки;

λ — расстояние от границы раздела вглубь полупроводника до точки, в которой рассчитывается потенциал.

Вследствие экранировки заряда, находящегося на границе раздела полупроводник – диэлектрик металлическим затвором МДП-структуры, за счет сил зеркального отражения в затворе возникает потенциал Uотр, описываемый в полупроводнике соотношением:

Uотр = −	2σ(x, y)L			−	(λ + 2dox )	π
			exp				2	.
	*	ε0			L
	4πε

Gurtov.indd 114

17.11.2005 12:28:01

3.7. Флуктуации поверхностного потенциала в МДП-структурах

Суммарный потенциал в полупроводнике с учетом экранировки, как показано

на рис. 3.32, будет равен:

U(x, y,z) =

2σ(x, y)L

−

λ

π

−

λ + 2dox

(3.157)

*

ε0

exp

L

2

− exp

L

π 2 .

4πε

На рис. 3.32 приведена зависимость потенциала U (x, y, z) от расстояния λ вглубь

полупроводника, рассчитанная по уравнению (3.157).

1,0

U/U0

0,8

0,6

2

0,4

2

Uпр

2dox

Uпр

U

0,2

1

λ, Å

0

Uобр

100

200

300

–0,2

1

2

dox = 50 Å

–0,4

–0,6

L1 = 200 Å

L2 = 1000 Å

–0,8

–1,0

Рис. 3.32. Зависимость потенциала U/U0

знакопеременной системы

зарядов типа «шахматная доска» от расстояния λ вглубь полу-

проводника с учетом экранировки затвором МДП-структуры

На рис. 3.33 приведен закон спада потенциала вглубь полупроводника в зависи-
мости от масштаба L. Как следует из этого рисунка, мелкомасштабные флуктуации
на больших расстояниях экранируются эффективнее, чем крупномасштабные.
1,0
U/U0
			6
	4	5
0,1
	1	2	3
0,01			λ, Å
	102
101		103	104
Рис. 3.33. Потенциал U/U0 системы зарядов типа «шахматная доска»
	в зависимости от расстояния λ вглубь полупроводника:

dox = 50 Å: 1 – L = 100 Å; 2 – L = 1000 Å; 3 – L = 10 000 Å;

dox = 1000 Å: 4 – L = 100 Å; 5 – L = 1000 Å; 6 – L = 10 000 Å

Gurtov.indd 115

17.11.2005 12:28:02

Глава 3. Физика поверхности и МДП-структуры

На рис. 3.34 показан характер экранировки потенциала в зависимости от масштаба L при разных толщинах подзатворного диэлектрика dox и различных расстояниях λ.

1,0

U/U0

1000 Å

	λ = 50 Å		200 Å
0,1
	100 Å		dox = 50 Å
	200 Å
0,01	100	101	102	L, Å

Рис. 3.34. Зависимость потенциала U/U0 системы зарядов типа «шахматная доска» от размера L при различных толщинах окисла dox и расстояниях λ вглубь полупроводника

Видно, что зависимость потенциала U от масштаба L имеет выраженный максимум. Исследование соотношения (3.157) на экстремум показывает, что оптимальная величина масштаба Lопт, соответствующая максимальному значению потенциала (U/U0)max, будет равна:

Lопт =	2 2πdox			.	(3.158)
		λ + 2dox
	ln	λ

На рис. 3.35 приведена зависимость масштаба Lопт, рассчитанная по соотношению (3.158) от толщины диэлектрика при разных расстояниях вглубь полупроводника.

При больших значениях толщины диэлектрика оптимальный масштаб имеет размеры порядка толщины диэлектрика Lопт ~ dox, при малых толщинах диэлектрика величина оптимального масштаба существенно больше толщины диэлектрика Lопт >> dox.

104

Lопт, Å

λ = 200 Å

103

100 Å

50 Å

20 Å

102	102	103 dox, Å
101

Рис. 3.35. Зависимость оптимального масштаба Lопт, соответствующего максимальному значению относительного потенциала U/U0, от толщины подзатворного диэлектрика dox

Gurtov.indd 116

17.11.2005 12:28:02

3.7. Флуктуации поверхностного потенциала в МДП-структурах

3.7.9.Сравнительный анализ зависимости

среднеквадратичной флуктуации σψ и потенциала оптимальной флуктуации

Представляет определенный интерес сравнение спада потенциала U (λ), рассчитанного по соотношению (3.157) для флуктуаций различного масштаба L, со спадом величины среднеквадратичной флуктуации σψ(λ). Воспользуемся тем фактом, что для различных масштабов L величина потенциала на поверхности U0 будет одинакова, как было показано в уравнении (3.123). Будем также учитывать для каждого значения расстояния λ только оптимальные флуктуации, дающие максимальное значение потенциала, то есть флуктуации размером L = Lопт, рассчитанным по (3.158). Величину U0 выберем для всех случаев такую, чтобы для одной из толщин диэлектрика значения σψ и потенциала U совпали при больших значениях λ → ∞.

При других значениях толщины диэлектрика такое совпадение наблюдалось автоматически.

На рис. 3.36 приведен график потенциала оптимальной флуктуации, рассчитанный подобным образом. Из графика видно, что при больших λ наблюдается совпадение характера зависимости среднеквадратичной флуктуации σψ и потенциала оптимальной флуктуации U от расстояния λ вглубь полупроводника.

30	U, σu, мВ
25
20
15		1000 Å
10	200 Å
5	dox= 50 Å	λ, Å
0	102	103
101

Рис. 3.36. Зависимость потенциала оптимальной флуктуации U0 и величины среднеквадратичной флуктуации σU от расстояния λ вглубь полупроводника для системы случайно распределенных точечных зарядов на границе раздела окисел – полупроводник

Расхождение наблюдается при малых значениях λ, причем с уменьшением толщины диэлектрика dox область значения λ, где наблюдается это расхождение, также уменьшается. При значениях λ → 0, то есть при приближении к границе раздела полупроводник – диэлектрик, величина среднеквадратичной флуктуации σψ логарифмически расходится, в то время как потенциал оптимальной флуктуации имеет конечное значение, равное U0.

Зависимость величины потенциала флуктуации U от масштаба L приведена ранее на рис. 3.34. При пуассоновском характере распределения точечных зарядов

Gurtov.indd 117

17.11.2005 12:28:03

Глава 3. Физика поверхности и МДП-структуры

очевидно, что должна наблюдаться минимальная величина масштаба флуктуации, определяемая средним расстоянием между заряженными точечными центрами.

1
Lmin ≈ a = Nox−2 .	(3.159)

Для Nox = 1010 см–2 величина Lmin будет порядка 1000 Å, для Nox = 1012 см–2 величина Lmin будет порядка 100 Å.

Таким образом, дискретность зарядов на границе раздела полупроводник – диэлектрик является физической причиной ограничения минимального масштаба флуктуации. Физическое ограничение максимального масштаба флуктуаций определяется размерами исследуемой МДП-структуры: Lmax ≈ Lобр.

Таким образом, на границе раздела окисел – полупроводник возможны все масштабы флуктуаций заряда от Lmin до Lmax. Но в силу экранировки затвором во флуктуации потенциала дают максимальный вклад такие масштабы, которые удовлетворяют соотношению (3.158). В данном случае МДП-структура выступает чем-то в виде RC-фильтра, который из набора сигналов всех гармоник выделяет преимущественно одну частоту.

При переходе от области слабой к области сильной инверсии начинает играть свою роль экранирование свободными носителями. В некотором смысле это эквивалентно установке и приближению к границе второго затвора со стороны полупроводниковой подложки. Учтем этот факт экранировки следующим образом. Введем расстояние dnn из условия равенства емкостей области пространственного заряда Csc и емкости конденсатора с диэлектрической проницаемостью εs и расстоянием между обкладками dnn. Получаем:

Csc	=	εsε	.	(3.160)
		dnn

Величина dnn для области сильной инверсии будет эквивалентна среднему расстоянию свободных носителей в области пространственного заряда до границы раздела полупроводник – диэлектрик. С ростом избытка свободных носителей в инверсионном канале Гp,n величина dnn будет уменьшаться и, как следует из рис. 3.36, будет происходить экранировка флуктуаций сначала больших масштабов. При этом будет уменьшаться и абсолютная величина флуктуаций потенциала, как видно из рис. 3.36, и потенциальный рельеф будет становиться все мелкомасштабнее.

Максимальная длина свободного пробега дырок в инверсионных каналах кремниевых МДП-структур, рассчитанная из значения подвижности в максимуме зависимости μ(Гp) при температурах T = (77÷350) К, составляет величину не более λ = (200÷300) Å.

Величина линейного масштаба оптимальной флуктуации, как видно из рис. 3.35, во всех случаях обычно больше длины свободного пробега, в том числе и в МДПструктурах со сверхтонким подзатворным диэлектриком. Этот факт позволяет рассматривать процесс переноса свободных носителей заряда в сложном потенциальном рельефе в инверсионных каналах МДП-структур как процесс «протекания» в случайном потенциальном поле, а не как процесс рассеяния.

Gurtov.indd 118

17.11.2005 12:28:03

Задачи

Задачи

3.1.Рассчитать дебаевскую длину экранирования в кремнии с удельным сопротивлением ρ = 15 Ом·см и сравнить с глубиной проникновения электрического поля, T = 300 К.

3.2.Рассчитать и сравнить дебаевские длины экранирования LD в собственных полупроводниках – кремнии Si, германии Ge, арсениде галлия GaAs, антимониде

индия InSb при комнатной температуре.

3.3.Рассчитать объемную концентрацию электронов и дырок на поверхности ns, ps для n-Si c ρ = 1 Ом·см при значениях поверхностного потенциала ψs = 0,3 В; –0,2 В, –0,5 В, –0,9 B. Определить состояние поверхности.

3.4.Найти величину заряда Qsc и емкости Csc ОПЗ кремния марки КДБ-10 при значениях поверхностного потенциала ψs, равных ψs = 0; φ0, 2φ0.

3.5.Найти в классическом случае среднее расстояние λc, на котором локализованы свободные электроны в инверсионном канале в p-Si с сопротивлением ρ = 0,1 Ом·см

при поверхностном потенциале	ψs	= 3	ϕ0 при температурах T = 300 К и T = 77 К.
		2

3.6. Оценить дебройлевскую длину волны электронов для кремния Si, германия

Ge, арсенида галлия GaAs и антимонида индия InSb при комнатной T = 300 К и азотной T = 77 К температурах.

3.7. Рассчитать энергию дна первых трех квантовых подзон в n-Si при значении ψs = 2φ0 иприNA = 1016 см–3.Найтисреднююобластьлокализацииlc электронаотповерхности на каждом из этих уровней и полное число электронов Ni в подзонах T = 77 К.

3.8. Рассчитать, чему равен заряд поверхностных состояний Qss при значениях поверхностного потенциала: ψs = 0; ψs = φ0; ψs = 2φ0 для кремния p-типа при T = 300 К с уровнем легирования NA = 1·1018 см–3. Поверхностные состояния распределены равномерно по зоне с плотностью Nss = 2·1012 см–2·эВ–1. Сравнить заряд Qss с соответствующим зарядом Qsc ОПЗ.

3.9. В запрещенной зоне n-Si с ρ = 7,5 Ом·см имеются моноэнергетические поверхностные состояния (ПС) с концентрацией Ns = 8.1012 см–2 и сечением захвата σt = 10–16 см2, расположенные на Et = 0,45 эВ выше середины запрещенной зоны. Рассчитать постоянную времени ПС τ, эквивалентную последовательную емкость Cs и сопротивление Rs при обогащающем изгибе зон ψs, когда уровень Ферми совпадает с положением уровня ПС, T = 300 К.

3.10. Чему равна плотность поверхностных состояний Nss в МДП-структуре p-Si – Si3N4 – Si (п/к) в состоянии плоских зон, если уровень легирования под-

ложки N			A	= 1,5·1015	см–3, площадь затвора S = 0,5 мм2, толщина нитрида кремния
d	n	= 1,2·10–5 см, а наклон экспериментальной ВФХ равен = C/ V = 42 пФ/В?

3.11. Рассчитать плотность поверхностных состояний Nss, если максимум кривой зависимости нормированной проводимости Gp /ω от ω находится на частоте ω = 2·105 Гц и равен:

Gp

= 2 10−9 Ф см2

.

ω max

Оценить тип ПС по величине сечения захвата σt, если поверхностная концент-

рация электронов n

s0

равна n

s0

= 1·1012

см–3.

3.12. Рассчитать вольт-фарадную характеристику МДП-системы p-Si – SiO2 – Al,

d

ox

= 150 нм, N

A

= 1,5·105 см3, T = 300 К при наличии отрицательного заряда в окисле

N

ox

= –4·1011 см–2 и донорного моноуровня поверхностных состояний N

s

= 6·1011 см–2

на 0,1 эВ ниже середины запрещенной зоны кремния.

Gurtov.indd 119

17.11.2005 12:28:03

ГЛАВА 4

ПОЛУПРОВОДНИКОВЫЕ

ДИОДЫ

Введение

Полупроводниковым диодом называют нелинейный электронный прибор с двумя выводами. В зависимости от внутренней структуры, типа, количества и уровня легирования внутренних элементов диода и вольт-амперной характеристики свойства полупроводниковых диодов бывают различными. В данном разделе будут рассмотрены следующие типы полупроводниковых диодов: выпрямительные диоды на основе p-n-перехода, стабилитроны, варикапы, туннельные и обращенные диоды.

4.1.Характеристики идеального диода на основе p-n-перехода

Основу выпрямительного диода составляет обычный электронно-дырочный переход. Как было показано в главе 2, вольт-амперная характеристика такого диода имеет ярко выраженную нелинейность, приведенную на рис. 4.1б, и описывается уравнением (4.1). В прямом смещении ток диода инжекционный, большой по величине и представляет собой диффузионную компоненту тока основных носителей. При обратном смещении ток диода маленький по величине и представляет собой дрейфовую компоненту тока неосновных носителей. В состоянии равновесия суммарный ток, обусловленный диффузионными и дрейфовыми токами электронов и дырок, равен нулю.

J = Js (eβVG −1),	(4.1)
jpE – jnD + jnE – jpD = 0.	(4.2)

Для анализа приборных характеристик выпрямительного диода важными являются такие дифференциальные параметры, как коэффициент выпрямления, характеристичные сопротивления и емкости диода в зависимости от выбора рабочей точки.

4.1.1. Выпрямление в диоде

Одним из главных свойств полупроводникового диода на основе p-n-перехода является резкая асимметрия вольт-амперной характеристики: высокая проводимость при прямом смещении и низкая при обратном. Это свойство диода используется в выпрямительных диодах. На рис. 4.2 приведена схема, иллюстрирующая выпрямление переменного тока в диоде.

Gurtov.indd 120

17.11.2005 12:28:03

4.1. Характеристики идеального диода на основе p-n-перехода

КД210

1,53

	4	M5
	14
	ø2
11		11,5

2

ø8,8

ø5,35

10

20

а

J

J = JpD + JnD диффузионный ток

VG

J = JpE + JnE

дрейфовый ток

б

в

Рис. 4.1. Параметры полупроводникового диода:

а) конструкция прибора (с указанием размера в мм); б) вольт-амперная характеристика; в) схемотехническое обозначение

		I
Vвх	+VG	R	V		I, мА
Vвх		Vвых	–3	–2	–1

tt

4

3

2

1

VG, В

0 1 2 3

Рис. 4.2. Схема, иллюстрирующая выпрямление переменного тока с помощью диода [60, 68]

Рассмотрим, каков будет коэффициент выпрямления идеального диода на основе p-n-перехода. Для этого рассчитаем по уравнению (4.1) коэффициент выпрямления K как отношение прямого тока к обратному току диода при значениях напряжения U = ± 0,01 В; 0,025 В; ±0,1 В; 0,25 В; ±1 B. Получаем:

K =	J	+	=	eβVG −1
					.	(4.3)
	J
		−		e−βVG −1

Gurtov.indd 121

17.11.2005 12:28:03

Глава 4. Полупроводниковые диоды

Учтем, что величина β–1 при комнатной температуре составляет: β–1 = 0,025 В. Результаты расчета приведены в таблице.

VG, B	±0,01	0,025	±0,1	0,25	±1
K, отн. ед.	1,0	1,1	55	2,3·104	2,8·1020

Как следует из таблицы и соотношения (4.3), при значениях переменного напряжения, модуль которого VG меньше, чем тепловой потенциал kT/q, полупроводниковый диод не выпрямляет переменный ток. Коэффициент выпрямления достигает приемлемых величин при значениях VG, по крайней мере в 4 раза больших, чем тепловой потенциал kT/q, что при комнатной температуре T = 300 K соответствует значению напряжения VG = ± 0,1 В.

4.1.2. Характеристическое сопротивление

Различают два вида характеристического сопротивления диодов: дифференциальное сопротивление rD и сопротивление по постоянному току RD.

Дифференциальное сопротивление определяется как:

rD =

dU

=

dI

−1

= βjseβV + βjs

−βjs

−1

= β(I + Is

) −1

=

kT / q

. (4.4)

dI

I + Is

dU

На прямом участке вольт-амперной характеристики диода дифференциальное сопротивление rD невелико и составляет значение несколько ом. Действительно, при значении прямого тока диода I = 25 мА и значении теплового потенциала kT/q = 25 мВ величина дифференциального сопротивления rD будет равна rD = 1 Ом. На обратном участке вольт-амперной характеристики диода дифференциальное сопротивление rD стремится к бесконечности, поскольку в идеальных диодах при обратном смещении ток не зависит от напряжения.

Сопротивление по постоянному току RD определяется как отношение приложенного напряжения VG к протекающему току I через диод:

RD	=	U	=	U	.	(4.5)
				I0 (eβU −1)
		I

На прямом участке вольт-амперной характеристики сопротивление по постоянному току больше, чем дифференциальное сопротивление RD > rD, а на обратном участке — меньше RD < rD.

В точке вблизи нулевого значения напряжения VG << kT/q значения сопротивления по постоянному току и дифференциального сопротивления совпадают. Действительно, разложив экспоненту в ряд в соотношении (4.5), получаем:

RD	=	kT		1	= rD .	(4.6)
		q I0

Используя характерное значение для обратного тока диода I0 = 25 мкА, получаем величину сопротивления диода в нулевой точке RD0 = rD0 = 1 кОм. На рис. 4.3а приведена зависимость дифференциального сопротивления диода ГД402 от величины тока при прямом смещении.

Gurtov.indd 122

17.11.2005 12:28:04