gurtov

2.3. Эффект поля

плотности заряда σ = 1012 см–2 толщина слоя пространственного заряда ионизованных доноровбудетравна1012/1015 = 10–3 см,или10 микрон.Отсюдаследует,чтоэлектрическое поле в полупроводник может проникать на значительные расстояния [10, 30].

Изменение концентрации свободных носителей в приповерхностной области полупроводника под действием внешнего электрического поля получило название

эффекта поля [30, 39, 45].

При наличии внешнего поля приповерхностная область в полупроводнике не будет электронейтральной. Заряд, возникший в этой области, обычно называется пространственным зарядом, а сама область – областью пространственного заряда (ОПЗ). Наличие электрического поля E(z) в ОПЗ меняет величину потенциальной энергии электрона. Если поле направлено от поверхности вглубь полупроводника, то электроны в этом случае будут иметь минимальную энергию у поверхности, что соответствует наличию потенциальной ямы для электронов там же.

Изменение потенциальной энергии электронов:

U =U(x) −U(∞) = ∫x E(x)dx ,	(2.15)
∞

где U(∞) – потенциальная энергия электронов в квазинейтральном объеме полупроводника. Поскольку на дне зоны проводимости кинетическая энергия электронов

равна нулю (k = 0, E = 2 k2 = 0), то изменение потенциальной энергии по координате

2m*

должно точно так же изменить энергетическое положение дна зоны проводимости EC (а соответственно и вершины валентной зоны EV). На зонных диаграммах это выражается в изгибе энергетических зон.

Величина разности потенциалов между квазинейтральным объемом и произвольной точкой ОПЗ получила название электростатического потенциала:

=	1	∞∫E(x) dx.	(2.16)
	q x

Значение электростатического потенциала на поверхности полупроводника называется поверхностным потенциалом и обозначается символом ψs.

Знак поверхностного потенциала ψs соответствует знаку заряда на металлическом электроде, вызывающего изгиб энергетических зон.

При ψs > 0 зоны изогнуты вниз, при ψs < 0 зоны изогнуты вверх (рис. 2.3).

ψS

EC

EC

ψS

ϕ0(x)

F

F

ϕ0n

ψS

Ei

Ei

ψS

ψS

EV

EV

ψS

а

ψS <0

б

ψS >0

Рис. 2.3. Энергетические зоны на поверхности полупроводника n-типа:

а) в случае обеднения; б) в случае обогащения

Gurtov.indd 33

17.11.2005 12:27:36

Глава 2. Барьеры Шоттки, p-n-переходы и гетеропереходы

2.4.Концентрация электронов и дырок в области пространственного заряда

Рассчитаем, как меняется концентрация электронов и дырок в области пространственного заряда. Для определенности рассмотрим полупроводник n-типа. В условиях термодинамического равновесия концентрация основных nn0 и неосновных pn0 носителей выражается следующим образом:

−(EC −F )

−(EC −F + qϕ0n

−qϕ0n )

−(EC −F + qϕ0n ) qϕ0n

qϕ0n

nn0 = NC e

kT

= NC e

kT

= NC e

kT

e

kT

= ni e

kT

, (2.17)

поскольку EC – F + qφ0n = Eg/2.

Обозначим

q

= β, тогда:

kT

= ni eβϕ0n .

nn0

(2.18)

Для области пространственного заряда объемное положение уровня Ферми относительно середины запрещенной зоны φ(x) меняется от точки к точке: φ(x) = φ0n + ψ(x), как и концентрация основных nn0(x) и неосновных p0n(x) носителей. В предыдущем выражении для φ(x), как видно из рис. 2.3а, используются модули значений объемного положения уровня Ферми φ0n.

С учетом зависимости φ(x) = φ0n + ψ(x) выражения для концентраций будут:

n	n0	(x) = n	·eβφ(x).	(2.19)
		i

Учитывая (2.18), получим для координатной зависимости основных носителей для полупроводника n-типа:

nn0 (x) = ni eβϕ( z) = ni eβ(ϕ0 n + ( x)) = nn0 eβ ( x).

(2.20)

Для координатной зависимости в области пространственного заряда концентрации неосновных носителей получаем:

pn0 (x) = pi e−β ( z) = pi e−β( 0 n + ( x)) = nn0 e−β( ( x)+2 0 n ).

(2.21)

Величины ns и ps – концентрации электронов и дырок на поверхности – носят названия поверхностных концентраций и в равновесном случае определяются через значения концентраций основных носителей в квазинейтральном объеме nn0 и поверхностный потенциал следующим образом:

ns = nn0 e s ; ps = nn0 e− ( s +2ϕ0 ).

(2.22)

В выражениях (2.20)–(2.22) используется поверхностный потенциал с учетом знака.

2.5. Дебаевская длина экранирования

Количественной характеристикой эффекта поля, характеризующей глубину проникновения поля в полупроводник, является дебаевская длина экранирования. Рассмотрим случай, когда полупроводник внесен во внешнее слабое поле. Критерий слабого поля заключается в том, что возмущение потенциальной энергии невелико по сравнению с тепловой энергией, то есть величина поверхностного потенциала ψs будет меньше kT/q. Воспользуемся для нахождения распределения электростатического

Gurtov.indd 34

17.11.2005 12:27:37

2.5. Дебаевская длина экранирования

потенциала ψs в ОПЗ уравнением Пуассона, при этом будем считать, что ось z направлена перпендикулярно поверхности полупроводника:

	d2		(z)	,	(2.23)
	dz2 = −		s 0

где ρ(z) – плотность заряда в ОПЗ, εs – относительная диэлектрическая проницаемость полупроводника.

Заряд в ОПЗ состоит из заряда ионизованных доноров и заряда свободных электронов:

	ρ(z) = q [ND+ – n(z)].										(2.24)
Величина N+ = n	, а n (z) описывается соотношением (2.19). Поскольку в нашем
D 0
случае βψs << 1, то:						2
	n(z) = n0e		+	(	2	)	+...		= n0 (1+	)
		= n0 1+									(2.25)
										.
Тогда плотность объемного заряда:
	ρ(z) = q[n0 – n0(1 + βψ)] = –qn0βψ.										(2.26)

Подставляя значение ρ(z) из (2.26) в (2.23), получаем:

	d2		q2n0	.	(2.27)
	dz2	= kT s 0

Введем характерную величину:

L =	kTεsε0	=	εsε0		kT	(2.28)
			qND		q
D	q2n0

и назовем ее дебаевской длиной экранирования. Тогда уравнение (2.27) придет к виду:

d2 − = 0. dz2 L2D

Решение дифференциального уравнения (2.29) имеет вид:

−	z	−	z
z = C1e	LD + C2e		LD .
Используем граничные условия:

при z → ∞, ψ(z) → 0 получаем C1 = 0, при z = 0, ψ(z) = ψs получаем С2 = ψs.

(2.29)

(2.30)

Таким образом, при малом возмущении электростатический потенциал, а следовательно, и электрическое поле спадают по экспоненциальному закону вглубь полупроводника:

	z		z
(z) = se−		; E(z) = Ese−		.	(2.31)
	LD		LD

Gurtov.indd 35

17.11.2005 12:27:37

Глава 2. Барьеры Шоттки, p-n-переходы и гетеропереходы

Известно, что если произвольная величина f (z) описывается законом:

−	z
f (z) = f0e	z0 ,		(2.32)

то среднее значение z, определяющее центроид функции f (z), равно:

∞∫zf (z)dz

< z >=	0	= z0 .	(2.33)
	∞
	∫ f (z)dz

0

Таким образом, по физическому смыслу дебаевская длина экранирования LD соответствует среднему расстоянию, на которое проникает электрическое поле в полупроводник при малых уровнях возмущения.

2.6. Барьер Шоттки

Рассмотрим контакт металл – полупроводник. В случае контакта возможны различные комбинации (p- и n-типы полупроводника) и соотношения термодинамических работ выхода из металла и полупроводника. В зависимости от этих соотношений в области контакта могут реализоваться три состояния. Первое состояние соответствует условию плоских зон в полупроводнике, в этом случае реализуется нейтральный контакт. Второе состояние соответствует условию обогащения приповерхностной области полупроводника (дырками в p-типе и электронами в n-типе), в этом случае реализуется омический контакт. И наконец, в третьем состоянии приповерхностная область полупроводника обеднена основными носителями, в этом случае в области контакта со стороны полупроводника формируется область пространственного заряда ионизованных доноров или акцепторов и реализуется блокирующий контакт, или барьер Шоттки.

В полупроводниковых приборах наибольшее применение получили блокирующие контакты металл – полупроводник, или барьеры Шоттки. Рассмотрим условие возникновения барьера Шоттки. Ранее было показано, что ток термоэлектронной эмиссии с поверхности любого твердого тела определяется уравнением Ричардсона:

Φ
jT = AT 2 e− kT .	(2.34)

Для контакта металл – полупроводник n-типа выберем условие, чтобы термодинамическая работа выхода из полупроводника Фп/п была меньше, чем термодинамическая работа выхода из металла ФМе. В этом случае согласно уравнению (2.34) ток термоэлектронной эмиссии с поверхности полупроводника jп/п будет больше, чем ток термоэлектронной эмиссии с поверхности металла:

ФMe > Фп/п; jMe < jп/п.

При контакте таких материалов в начальный момент времени ток из полупроводника в металл будет превышать обратный ток из металла в полупроводник и в приповерхностных областях полупроводника и металла будут накапливаться объемные заряды – отрицательные в металле и положительные в полупроводнике. В области контакта возникнет электрическое поле, в результате чего произойдет изгиб энергетических зон. Вследствие эффекта поля термодинамическая работа выхода на поверхности полупроводника возрастет. Этот процесс будет проходить до тех пор, пока в области контакта не выравняются токи термоэлектронной эмиссии и соответственно значения термодинамических работ выхода на поверхности.

Gurtov.indd 36

17.11.2005 12:27:37

2.7. Зонная диаграмма барьера Шоттки при внешнем напряжении

На рис. 2.4 показаны зонные диаграммы различных этапов формирования контакта металл – полупроводник. В условиях равновесия в области контакта токи термоэлектронной эмиссии выравнялись, вследствие эффекта поля возник потенциальный барьер, высота которого равна разности термодинамических работ выхода:

Δφms = (ФМе – Фп/п).

Для контакта металл – полупроводник p-типа выберем условие, чтобы термодинамическая работа выхода из полупроводника Фп/п была больше, чем термодинамическая работа выхода из металла ФМе. В этом случае ток термоэлектронной эмиссии с поверхности полупроводника jп/п будет меньше, чем ток термоэлектронной эмиссии с поверхности металла, согласно уравнению (2.34).

При контакте таких материалов в начальный момент времени ток из металла в полупроводник p-типа будет превышать обратный ток из полупроводника в металл и в приповерхностных областях полупроводника и металла будут накапливаться объемные заряды – положительные в металле и отрицательные в полупроводнике.

jMe→п/п

ΦMe

FMe

металл (Au)

Au

jп/п→Me
E = 0
Φп/п < ΦMe
EC	Fп/п
Ei
EV
полупроводник (n-Si)
n-Si

jMe→п/п	jп/п→Me
ψS = Δϕms	EC	Fп/п
	Ei
	EV
	ОПЗ
	W

Au

n-Si

электроны

ионизованные доноры

Рис. 2.4. Зонная диаграмма, иллюстрирующая образование барьера Шоттки

В дальнейшем картина перехода к равновесному состоянию и формирования потенциального барьера для контакта металл – полупроводник p-типа аналогична рассмотренной выше для контакта металл – полупроводник n-типа.

2.7.Зонная диаграмма барьера Шоттки при внешнем напряжении

Рассмотрим, как меняется зонная диаграмма контакта металл – полупроводник при приложении внешнего напряжения VG, знак которого соответствует знаку напряжения на металлическом электроде. Величина внешнего напряжения при положительном знаке VG > 0 не должна быть больше контактной разности потенциала φms, при отрицательном напряжении VG < 0 она ограничивается только электрическим пробоем структуры. На рис. 2.5 приведены соответствующие зонные диаграммы при положительном и отрицательном напряжениях на металлическом электроде барьеров Шоттки. Из приведенного рисунка видно, что роль внешнего напряжения в барьере

Gurtov.indd 37

17.11.2005 12:27:37

Глава 2. Барьеры Шоттки, p-n-переходы и гетеропереходы

Шоттки сводится только к регулированию высоты потенциального барьера и величины электрического поля в ОПЗ полупроводника.

	VG =0	VG >0	VG <0
			ψS =Δϕms –VG
	ψS =Δϕms	ψS =Δϕms –VG	VG
		VG
	E(x)	E(x)	E(x)
VG	VG		VG
	W0	W1	W2
	а	б	в

Рис. 2.5. Зонная диаграмма барьера Шоттки при различных напряжениях на затворе:

а) VG = 0; б) VG > 0, прямое смещение; в) VG < 0, обратное смещение

Знак поверхностного потенциала на всех зонных диаграммах – отрицательный. На рисунках указана величина потенциального барьера (изгиба энергетических зон), соответствующая модулю значения поверхностного потенциала

ψs = Δφms – VG.

2.8.Распределение электрического поля и потенциала в барьере Шоттки

Рассмотрим более детально, как меняются электрическое поле и потенциал в области пространственного заряда контакта металл – полупроводник в виде барьера Шоттки. Для определенности будем анализировать полупроводник n-типа. За знак приложенного напряжения примем знак напряжения, приложенного к металлическому электроду, полупроводниковый электрод считаем заземленным.

Вне зависимости от полярности напряжения для барьерных структур все внешнее напряжение будет приложено к области пространственного заряда, поскольку в этой области концентрация свободных носителей существенно меньше, чем в других областях барьера Шоттки.

Связь электрического поля и потенциала для любых материалов с пространственно распределенным объемным зарядом описывается уравнением Пуассона. В одномерном приближении это уравнение имеет вид:

2 (x)	= −	(x)	,	(2.35)
∂x2		εsε0

гдеψ(x) – зависимостьпотенциалаоткоординаты,ρ(x) –плотностьобъемногозаряда,εs – диэлектрическая проницаемость полупроводника, ε0 – диэлектрическая постоянная.

Заряд в области пространственного заряда барьера Шоттки для полупроводника n-типа обусловлен зарядом ионизованных доноров с плотностью ND+. Поэтому:

ρ(x) = qND+.

(2.36)

Gurtov.indd 38

17.11.2005 12:27:38

2.8. Распределение электрического поля и потенциала в барьере Шоттки

При интегрировании уравнения Пуассона учтем, что величина электрического поля E(x) = – φ:

	d d					= −		(x)		,	(2.37)
	dx dx
								s 0
или:
		dE			=		qND+		.		(2.38)
		dx					εsε0

Проведем интегрирование уравнения (2.38). Выберем константу интегрирования из расчета, что при x = W электрическое поле E равно нулю:

E(x) = −	qND+			(W − x) .	(2.39)
	ε	ε	0
	s

Из соотношения (2.39) следует, что электрическое поле E максимально на границе металл – полупроводник (x = 0), линейно спадает по области пространственного заряда и равно нулю на границе ОПЗ – квазинейтральный объем полупроводника (x = W ).

Для нахождения распределения потенциала (а следовательно, и зависимости потенциальной энергии от координаты) проинтегрируем еще раз уравнение (2.39) при следующих граничных условиях: x = W, ψ(W ) = 0. Получаем (рис. 2.6):

+	(W − x)2
(x) = −qND				.	(2.40)
	2ε	ε	0
	s

Максимальное значение потенциала реализуется при x = 0 и составляет:

ψmax = ψs – VG = Δφms – VG, при Δφms = ФMe – Фп/п.

(2.41)

В этом случае можно рассчитать значение ширины обедненной области W, подставляя соотношение (2.41) в (2.40):

W =	2εsε0 (Δϕms −VG )	.	(2.42)
	qND+

Соотношение (2.42) является очень важным для барьерных структур. В дальнейшем будет показано, что это уравнение является универсальным и описывает зависимость ширины обедненной области W от приложенного напряжения VG и

легирующей концентрации ND для большинства барьерных структур. На рис. 2.6 приведена диаграмма, иллюстрирующая распределение электрического поля и потенциала в барьере Шоттки при обратном смещении, рассчитанных на основании соотношений (2.39) и (2.40).

Gurtov.indd 39

17.11.2005 12:27:38

2

x min

Глава 2. Барьеры Шоттки, p-n-переходы и гетеропереходы

	E(x)
VG <0
а
0	W	x

б

в

E

W

0

x

Emax

|ψ| ψS

0

W

x

Рис. 2.6. Диаграмма, иллюстрирующая распределение электрического поля и потенциала в барьере Шоттки:

а) структура барьера Шоттки при обратном смещении; б) распределение электрического поля в ОПЗ; в) распределение потенциала в ОПЗ

2.9. Вольт-амперная характеристика барьера Шоттки

Для рассмотрения вольт-амперной характеристики (ВАХ) барьера Шоттки воспользуемся диодным приближением.

Вместо критерия EC = m для барьера Шоттки используем для перехода элек-

2

тронов из полупроводника в металл выражение:

m 2

x min = −q(Δϕms −VG ). (2.43)

2

Подставляя это выражение в (2.5) и (2.7), получаем:

*

2 2

EC −F

q(Δϕms

−VG )

j

=

4 em

k T

e−

e−

=

1

qn

eβVG ,

(2.44)

kT

kT

п п→М

h3

4

s

o

где υ

=

8kT

1

– тепловая скорость электронов, равная

0

2; n – поверхностная концен-

0

m

s

трация в полупроводнике на границе с металлом n

= n e−βΔϕms

; n – равновесная

s

0

0

концентрация основных носителей в полупроводнике, равная

2 m kT

3

EC −F

2

−

n0

= 2

e kT .

h

2

Gurtov.indd 40

17.11.2005 12:27:39

2.10. Электронно-дырочный р-n-переход

В условиях равновесия VG = 0 ток из полупроводника в металл jп/п→M уравновешивается током из металла в полупроводник jп/п→M = 1/4 qnsυ0. При приложении напряжения этот баланс нарушается, и общий ток будет равен сумме этих токов. Следовательно, вольт-амперная характеристика барьера Шоттки будет иметь вид:

J = Jп п→М − JM→п п	=	1	qns 0 (eβVG −1).	(2.45)
	4

В более компактной форме ВАХ записывается в виде:

J = J0 (eβVG −1); J0	=	1	qns 0.	(2.46)
	4

На рис. 2.7 приведена вольт-амперная характеристика барьера Шоттки.

J

Jп/п→Me

JMe→п/п = J0 VG

Рис. 2.7. Вольт-амперная характеристика барьера Шоттки

Вольт-амперная характеристика барьера Шоттки имеет ярко выраженный несимметричный вид. В области прямых смещений ток экспоненциально сильно растет с ростом приложенного напряжения. В области обратных смещений ток от напряжения не зависит. В обоих случаях, при прямом и обратном смещении, ток в барьере Шоттки обусловлен основными носителями – электронами. По этой причине диоды на основе барьера Шоттки являются быстродействующими приборами, поскольку в них отсутствуют рекомбинационные и диффузионные процессы. Несимметричность вольт-амперной характеристики барьера Шоттки – типичная для барьерных структур. Зависимость тока от напряжения в таких структурах обусловлена изменением числа носителей, принимающих участие в процессах зарядопереноса. Роль внешнего напряжения заключается в изменении числа электронов, переходящих из одной части барьерной структуры в другую.

2.10. Электронно-дырочный р-n-переход

Электронно-дырочным, или p-n-переходом, называют контакт двух полупроводников одного вида с различными типами проводимости (электронным и дырочным).

Классическим примером p-n-перехода являются: n-Si – p-Si, n-Ge – p-Ge. Рассмотрим контакт двух полупроводников n- и p-типа. Величина работы вы-

хода Ф определяется расстоянием от уровня Ферми до уровня вакуума. Термодинамическая работа выхода в полупроводнике p-типа Фp всегда больше, чем термодинамическая работа выхода Фn в полупроводнике n-типа. Из соотношений (2.13) и (2.14) следует, что:

Ф = Фp – Фn = φn + φp > 0.

(2.47)

Gurtov.indd 41

17.11.2005 12:27:39

Глава 2. Барьеры Шоттки, p-n-переходы и гетеропереходы

При контакте полупроводников n- и p-типов вследствие различного значения токов термоэлектронной эмиссии (из-за разных значений работы выхода) поток электронов из полупроводника n-типа в полупроводник p-типа будет больше. Электроны из полупроводника n-типа будут при переходе в полупроводник p-типа рекомбинировать с дырками. Вследствие несбалансированности токов в полупроводнике n-типа возникнет избыточный положительный заряд, а в полупроводнике p-типа – отрицательный. Положительный заряд обусловлен ионизованными донорами, отрицательный заряд – ионизованными акцепторами. Вследствие эффекта поля произойдет изгиб энергетических зон в полупроводниках n- и p-типов, причем в полупроводнике p-типа на поверхности термодинамическая работа выхода будет уменьшаться, а в полупроводнике n-типа на поверхности термодинамическая работа выхода будет увеличиваться. Условию термодинамического равновесия соответствуют равные значения токов термоэлектронной эмиссии с поверхности полупроводников p- и n-типов, а следовательно, и равные значения термодинамической работы выхода.

На рис. 2.8 приведены зонные диаграммы, иллюстрирующие этапы формирования электронно-дырочного перехода.

Jp→n

Jn→p

Jp→n

Jn→p

E = 0

E = 0

ϕpSi

ϕnSi

EC

F

EC

F

Ei

F

EV

Ei

EV

p-Si

n-Si

ОПЗ

W

ионизированные ионизированные акцепторы доноры

Рис. 2.8. Схема, иллюстрирующая образование p-n-перехода

Граница областей донорной и акцепторной примеси в полупроводнике получила название металлургического p-n-перехода. Границу, где уровень Ферми пересекает середину запрещенной зоны, называют физическим p-n-переходом.

2.10.1.Распределение свободных носителей в p-n-переходе

Рассмотрим несимметричный p-n-переход, будем считать, что концентрация акцепторов больше, чем концентрация доноров NA > ND; в этом случае для объемного положения уровня Ферми получаем φn < φp. В условиях равновесия (VG = 0) высота потенциального барьера p-n-перехода будет:

ΔΦ = ϕ	n	+ ϕ	p	=	kT	ln	NA ND	.	(2.48)
					q
							ni2

Gurtov.indd 42

17.11.2005 12:27:39