Решение:

События – заражение желудочно-кишечными заболеваниями – относятся к повторным независимым испытаниям. Вероятность того, что некоторое событие произойдет ровнораз виспытаниях, вычисляется по формуле Бернулли:

.

По условию: ,,(событие – «хотя бы один» – означает «один и более»), т.е..

Известно, что сумма вероятностей событий, составляющих полную систему, равна 1, т.е. . Для данного случая имеем:или, тогда получаем, что.

Вычислим :.

Ответ: вероятность того, что из группы туристов, насчитывающей 6 человек, заболеет хотя бы один, равна .

Пример 7. Какова вероятность того, что в партии таблеток, насчитывающей 10000 штук, 1) не более 20 окажутся нестандартными, если вероятность того, что отдельная таблетка окажется нестандартной, составляет 0,0012? 2) ровно 12 штук окажутся нестандартными?

Решение:

События – нестандартная таблетка – относятся к повторным независимым испытаниям.

Число испытаний () в данном случае велико, поэтому использование формулы Бернулли для нахождения вероятностиприводит к вычислительным трудностям.

1) для ответа на первый вопрос используем формулу, позволяющую приближённо определять вероятность , с которой происходит событие.

По условию: ,,,,. Анализ условия показывает, что, значит, для вычисления вероятности используем интегральную теорему Лапласа:

, здесь – стандартный интеграл вероятностей (функция Лапласа),,, причем.

Таким образом, получаем: .

По таблице значений функции находим, что, а вероятность.

2) для ответа на второй вопрос используем формулу, позволяющую приближённо определять вероятность , с которой происходит событие:,

где ,(локальная теорема Лапласа).

По условию: ,,,,,.

Вычисляем :.

По таблице значений функции находим, что. Тогда.

Ответ: 1) вероятность того, что в партии таблеток из 10000 штук, не более 20 окажутся нестандартными, равна ;

2) вероятность того, что в партии таблеток из 10000 штук, ровно 12 окажутся нестандартными, равна .

Пример 8. Среднее число самолетов, прибывших в аэропорт за I минуту, равно 3. Найти вероятность того, что за 2 минуты прибудут: а) не менее 3-х самолетов; б) не более 2; в) 4 самолета.

Решение:

События – прибытия самолетов в аэропорт – представляют собой простейший поток событий.

Вероятность появления событий простейшего потока за время длительностьюопределяется формулой Пуассона:, где– интенсивность простейшего потока, или среднее число событий, появляющихся в единицу времени.

По условию: ,:

а) , т.е.. Для полной системы событий имеем:.

Или в данном случае: . Тогда интересующая нас вероятность.

Вычисляем: ,,,,

;

б) , т.е.. Согласно теореме сложения вероятностей получаем, что. Воспользуемся вычислениями, сделанными в предыдущем пункте, и получим, что;

в) . В данном случае искомая вероятностьвычисляется по формуле Пуассона:и будет равна.

Ответ: вероятность того, что за 2 минуты прибудут:

а) не менее 3-х самолетов, равна ;

б) не более 2, равна ;

в) 4 самолета, равна .