Метод - Векторна алгебра
.pdfМіністерство освіти і науки України ОДЕСЬКА НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ ХАРЧОВИХ ТЕХНОЛОГІЙ
Кафедра вищої математики
М е т о д и ч н і в к а з і в к и до практичних занять і самостійної роботи
з курсів «ВИЩА МАТЕМАТИКА»,
«ВИЩА ТА ПРИКЛАДНА МАТЕМАТИКА» розділ «Векторна алгебра»
для студентів усіх напрямів підготовки денної та заочної форм навчання
Затверджено радами спеціальностей |
|
||
6.030504, 6.030509, 6.030601 |
Протокол № |
від |
р. |
6.030507 |
Протокол № |
від |
р. |
6.030510 |
Протокол № |
від |
р. |
6.040106 |
Протокол № |
від |
р. |
6.050101, 6.050102 |
Протокол № |
від |
р. |
6.050202, 6.050702 |
Протокол № |
від |
р. |
6.050601, 6.050701, 6.050304 |
Протокол № |
від |
р. |
6.050503, 6.050502 |
Протокол № |
від |
р. |
6.050604 |
Протокол № |
від |
р. |
6.051701 |
Протокол № |
від |
р. |
6.140101, 6.140103 |
Протокол № |
від |
р. |
Одеса ОНАХТ 2013
Методичні вказівки до практичних занять і самостійної роботи з курсів
«Вища математика», «Вища та прикладна математика» розділ «Векторна
алгебра та аналітична геометрія» для бакалаврів усіх напрямів підготовки
денної та заочної форм навчання /Укладачі Ю.С. Федченко, Н.Г. Коновенко. -
Одеса: ОНАХТ, 2013. - 24 с.
Укладачі Ю.С. Федченко, канд.фіз.-мат. наук, доцент Н.Г. Коновенко, канд.фіз.-мат. наук, доцент
Відповідальний за випуск зав. кафедрою вищої математики В.М. Кузаконь, канд. фіз.-мат. наук, доцент
ЗАГАЛЬНІ ПОЛОЖЕННЯ
Розділ “ Векторна алгебра ” є однією з частин програм курсів “Вища математика”, “Вища та прикладна математика”, який необхідний для вивчення фундаментальних, загальноінженерних і спеціальних дисциплін, для набуття і розвитку навичок, необхідних для застосування математичних засобів в роботі інженера.
Мета практичних занять - розвиток навичок, які використовуються при практичному застосуванні математики.
У результаті вивчення даного матеріалу студент повинен:
1)вміти розв’язувати математичні задачі та зводити розв’язки до практично прийнятого результату, а також розвинути логічне і алгоритмічне мислення;
2)набувати навичок математичного дослідження прикладних питань (застосування математичних засобів для розв’язання заданих практичних задач, вибір оптимального розв’язку, інтерпретація та оцінка отриманих результатів);
3)самостійно опрацьовувати математичні тексти, що містяться в літературі, пов’язаній зі спеціальністю студента;
4)вміти застосовувати всі нові сучасні обчислювальні засоби, а також користуватися таблицями та довідниками.
Виходячи з перерахованих вище основних задач викладання математики і враховуючи інтереси спеціальностей, авторами розроблено дані методичні вказівки.
Контроль успішності та якості навчання здійснюється з використанням методів і засобів, що визначаються вищим навчальним закладом. Академічні успіхи студентів визначаються за допомогою систем оцінювання, що використовуються у вищому навчальному закладі з обов’язковим переведенням оцінок до національної шкали та шкали ECTS.
§1. Вектори. Лінійні операції над векторами
1.1Основні теоретичні відомості
Означення. Вектором називається напрямлений відрізок, тобто відрізок, який має певну довжину і напрям.
Лінійними операціями над векторами є: додавання і віднімання векторів, множення вектора на число.
Означення (правило трикутника). Сумою a b двох векторів a і b
називається вектор, початок якого збігається з початком вектора a , а кінець
— із кінцем вектора b :
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
a + b |
|
|
b |
b + a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
b |
|
b |
||||||
|
|
|
|
|
a + b |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
правило трикутника |
правило паралелограма |
Правило паралелограма: відносять вектори a і b до спільного початку й на них будують паралелограм, як на сторонах. Тоді a b є вектор, який збігається з діагоналлю цього паралелограма, що виходить із спільного початку векторів a і b .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Означення. Різницею |
|
|
a b двох векторів a і b називається вектор, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
який у сумі з вектором b дає вектор a : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b – a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1; y1; z1 |
|
і |
|
x2; y2; z2 задано своїми проекціями |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Нехай вектори |
a |
|
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
на осі координат Ox,Oy,Oz , або інший запис: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
a x1 i y1 j z1 k , |
b x2 i y2 j z2 k. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
При додаванні (відніманні) векторів їхні однойменні координати |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
додаються (віднімаються): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 x2, y1 y2, z1 z2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 x2, y1 y2, z1 z2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Означення. |
|
Добутком вектора a на число |
називається вектор a |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(або також a ), |
модуль якого |
дорівнює добутку |
|
модуля вектора a на |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
модуль числа : |
a |
|
|
|
a |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Якщо 0 , тоді вектор a має однаковий напрям з вектором a , |
|
a a , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
якщо 0, тоді вектор a має протилежний напрям з вектором |
a , a a . |
При множенні вектора на скаляр кожна координата вектора множиться на цей скляр: a x1, y1, z1 .
Властивості лінійних операцій над векторами: a b b a ;
a b c a b c ;
1 2 a 1 2 a ;
1 2 a 1 a 2 a ;
a b a b .
Довжина вектора обчислюється за наступною формулою:
|
|
|
x2 |
y2 |
z2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Означення. Одиничний вектор, напрям якого збігається з напрямом |
|||||||||||||||||||||||
вектора |
|
, називається ортом вектора |
|
|
і позначається |
|
0 . |
|||||||||||||||||||
a |
a |
a |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
x |
|
|
y |
|
|
|
z |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Орт вектора a : a |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
, |
|
|
|
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|
|
a |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Напрямок вектора a визначається кутами , , , які утворено даним вектором з осями координат Ox, Oy, Oz.
Косинуси цих кутів (напрямні косинуси вектора) визначаються за
наступними формулами: |
cos |
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
x2 |
y |
2 z2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
y1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x2 |
y2 |
|
z2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
z1 |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x2 |
y2 |
z |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
та задовольняють умову |
|
cos2 cos2 cos2 1 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Означення. Вектори a і |
b називаються колінеарними (позначення |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
a |
|
b ), якщо вони лежать на одній або на паралельних прямих. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
y1 |
|
z1 |
. |
||||||||||||||||
Умова колінеарності векторів a і b : |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
y2 |
|
z2 |
1.2 Розв’язання задач
Завдання 1. Дано вектор a 1; 2;0 та вектор b 2;3; 2 . Знайти:
1)a b ;
2)a b ;
3)c1 5a 2b ;
4)c2 3a 2b .
Рішення
1)a b 1 2; 2 3;0 2 3;1; 2 ;
2)a b 1 2; 2 3;0 2 1; 5;2 ;
3)c1 5a 2b 5 1; 2;0 2 2;3; 2 5; 10;0 4;6; 4 9; 4; 4 ;
4)c2 3a 2b 3 1; 2;0 2 2;3; 2 3; 6;0 4;6; 4 1; 12;4 .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Завдання 2. Чи колінеарні вектори c1 5a 2b , |
c2 3a 2b , де |
|||||||||||||
|
1; 2;0 , а |
|
2;3; 2 . |
|
|
|
|
|
|
||||||
a |
b |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Рішення |
|
|
|
|
|
|
Спочатку треба знайти координати векторів c1 та c2 . Скористаємося результатами попередньої задачі і маємо, що
c1 5a 2b 9; 4; 4 , c2 3a 2b 1; 12;4 .
Два вектори колінеарні, якщо їх проекції на осі координат пропорційні, отже, перевіримо пропорційність проекцій векторів на осі координат.
Оскільки |
9 |
|
|
4 |
|
4 |
, то вектори не є колінеарними. |
|
1 |
12 |
4 |
||||||
|
|
|
|
Завдання 3. Дано точки: A 1;2; 3 , B 1;0;2 , C 1;1;0 .
Знайти: 1) AB 4BC ;
2) орт вектора AB .
Рішення
1) Спочатку знайдемо координати векторів AB та BC :
AB 1 1;0 2;2 3 0; 2;5 ,
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1;1 0;0 2 2;1; 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
BC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Далі знаходимо координати вектора AB 4BC : |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
0; 2;5 4 2;1; 2 8;2; 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
AB |
BC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Для |
|
|
|
|
знаходження |
|
довжини |
|
вектора |
|
скористаємося |
формулою: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
x2 |
y2 |
z2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 2 22 3 2 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
AB |
4 |
BC |
|
64 4 9 |
77 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
Для знаходження орта вектора необхідно кожну проекцію вектора |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
на |
|
|
|
|
|
осі |
|
|
|
координат |
розділити |
|
|
на |
його |
довжину. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 1;0 2;2 3 0; 2;5 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
AB |
|
AB |
|
0 4 25 |
29 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
AB |
|
|
0; |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29 |
|
|
|
|
29 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.3 Вправи для самостійної роботи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3; 2;6 і |
|
|
|
2;1;0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1. |
Дано |
два вектори |
a |
b |
Знайти |
проекції на |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
1 |
|
|
|
||||||
координатні осі наступних векторів: 1) a b ; |
2) a b ; |
|
3) 2a ; |
b ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5) 2a 3b; |
6) |
a b . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2; 1;3 |
і |
|
6;3; 9 . |
||||||||||||||||||||||||||||||
2. |
Перевірити колінеарність векторів |
a |
b |
Встановити, який з них довший й у скільки разів, як вони спрямовані – в одну чи в протилежні сторони.
3. Визначити, при яких значеннях , , вектори a і b колінеарні:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) a 2i 3 j k, |
b i 6 j 2k, |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2) a i 2 j 4k, |
b 6i 4 j k. |
4. Перевірити, що чотири точки А (3; –1; 2), В(1; 2; –1), C(–1;1; –3), D (3; —5; 3) є вершинами трапеції.
5. Дано точки А (–1; 5; –10), В(5; –7; 8), C (2; 2; –7) і D (5; – 4; 2).
Перевірити, що вектори AB й CD є колінеарними; установити, який з них довший й у скільки разів, як вони спрямовані — в одну чи в протилежні сторони.
|
|
6. Знайти орт вектора |
|
|
6; 2; 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
7. |
|
Дано точки А (–1; 3; –7), В(2; –1; 5), C (0; |
1; –5). Для вектора |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2AB CD знайти довжину та напрямні косинуси. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Знайти вектор |
|
, якщо |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
7 |
|
4 |
|
|
|
|
та протилежного з ним |
|||||||||||||||||||||||||
8. |
|
d |
d |
|
c |
c |
i |
j |
k |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
напряму, якщо |
|
|
|
|
27 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3; 2;1 , |
|
1;1; 2 |
, |
|
|
2;1; 3 . Знайти |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Задано три вектори |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9. |
|
p |
q |
r |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
11; 6;5 за базисом векторів |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
розклад вектор |
c |
p |
, |
|
q , |
r . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2;1;0 , |
|
1; 1;2 , |
|
|
|
2;2; 1 , |
|
3;7; 7 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10. |
Задано вектори |
a |
b |
c |
d |
Знайти розклад кожного з векторів за базисом інших трьох.
§2. Скалярний добуток двох векторів. Властивості скалярного добутку
2.1Основні теоретичні відомості
Означення. Скалярним добутком двох ненульових векторів a і b
називається число, яке дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними:
a b a b cos .
Нехай a x1, y1, z1 , b x2, y2, z2 .
Скалярний добуток через координати векторів: a b x1x2 y1y2 z1z2 .
Властивості скалярного добутку:
1)a b b a ;
2)a b a b ;
3)a b c a b a c ;
4)скалярний квадрат: a a a2 a 2 .
Деякі застосування скалярного добутку
1) Косинус кута між векторами a і b :
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
cos |
|
|
|
a b |
|
|
|
|
x1x2 y1y2 z1z2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
b |
|
|
|
|
x12 y12 z12 |
|
|
x22 y22 z22 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Наслідок: a b |
a b 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2) Проекція вектора |
b на напрям, який задано вектором a : |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
a |
|
b |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
пр |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
a |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
3) Робота |
постійної |
|
сили: |
робота сили F при переміщенні S дорівнює |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
A F S cos |
т. б. |
|
|
A F S. |
2.2 Розв’язання задач |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1; 2;0 |
та вектор |
|
2;3; 2 . |
||||||||||
Завдання 1. |
Дано |
вектор |
a |
b |
|||||||||||||
Необхідно: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1) знайти скалярний добуток векторів a і b ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2) перевірити |
чи є |
перпендикулярними |
вектори c1 5a 2b та |
c 2 3a 2b .
Рішення
1) Скалярний добуток векторів, які задано координатами, обчислюємо за формулою: a b x1x2 y1y2 z1z2 .
Знайдемо скалярний добуток векторів a і b :
a b 1; 2;0 2;3; 2 1 2 2 3 0 2 2 6 0 4 .
2) Два вектори перпендикулярні, якщо їх скалярний добуток дорівнює нулю. Спочатку треба знайти координати векторів c1 та c2 .
c1 5a 2b 5 1; 2;0 2 2;3; 2 5; 10;0 4;6; 4 9; 4; 4 ,
c2 3a 2b 3 1; 2;0 2 2;3; 2 3; 6;0 4;6; 4 1; 12;4 Тоді c1 c2 9; 4; 4 1; 12;4 9 48 16 23 0 .
Таким чином, вектори є не перпендикулярними.
Завдання 2. Знайти , щоб вектори a 1; 2 ;1 і b 2 ;3; 2 були
перпендикулярними?
Рішення
Для визначення , при якому вектори перпендикулярні, необхідно використати умову перпендикулярності двох векторів (цю умову було
розглянуто в завданні 1) ми зможемо знайти з умови a b 0 :
a b 1; 2 ;1 2 ;3; 2 2 6 2 0.
Розв’яжемо отримане рівняння:
4 2 0,4 2 ,
12 .
Завдання 3. Дано точки: A 1;2; 3 , B 1;0;2 , C 1;1;0 .
Знайти: 1) прAB AB 4BC ;
2) cos AB, AC .
Рішення
Спочатку знайдемо координати векторів AB та BC :
AB 1 1;0 2;2 3 0; 2;5 ,
AC 1 1;1 2;0 3 2; 1;3
BC 1 1;1 0;0 2 2;1; 2 .
1) З означення скалярного добутку випливає, що проекцію вектора на
вектор можна обчислити за формулою прAB BC AB BC . Для нашого
AB
випадку дана формула матиме наступний вигляд:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
AB |
AB |
BC |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пр |
|
|
|
AB |
BC |
||||||||||||||||||||||||||||||
AB |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
AB |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Знаходимо координати вектора AB 4BC : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
0; 2;5 4 2;1; 2 8;2; 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
AB |
BC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Оскільки |
AB |
0 4 25 29 , то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0; 2;5 |
|
8;2; 3 |
4 15 |
|
|
|
19 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
пр |
|
|
AB |
BC |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
AB |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
29 |
|
29 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
29 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) Кут між векторами можна знайти з означення скалярного добутку:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0; 2;5 2; 1;3 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
AB AC |
|
|
|
17 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
cos AB, AC |
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
AB |
|
AC |
|
|
29 14 |
406 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|