Проверка сау на устойчивость

Проверку САУ на устойчивость будем осуществлять двумя способами:

1). Алгебраический критерий (критерий Гурвица)

Характеристический многочлен САУ имеет вид:

,

где: ,

,

,

,

,

,

заменяем звено с запаздыванием эквивалентным :

Ему соответствует матрица 4-го порядка, составленная из коэффициентов характеристического многочлена:

Для того, чтобы данная САУ была устойчива необходимо и достаточно, чтобы определитель третьего порядка был больше нуля.

Данная система автоматического управления является устойчивой, согласно алгебраическому критерию устойчивости САУ.

2). Частотный критерий (критерий Найквиста)

Строим АФХ системы с разомкнутой обратной связью по перемещению с частотной передаточной функцией:

А)

Б)

Рис. 3. АФХ разомкнутой системы для определения устойчивости САУ

А) на диапазоне частот Б) на диапазоне частот

По рисунку 3 видно, что АФХ разомкнутой САУ не охватывает точки

(-1, 0). На основании частотного критерия устойчивости Найквиста, который гласит, что если разомкнутая система устойчива, то для устойчивости замкнутой системы, необходимо и достаточно, чтобы АФХ разомкнутой системы не охватывала точку (-1, 0), можно заключить, что САУ без учета обратной связи по скорости устойчива.

Определение граничных параметров элементов системы по условиям устойчивости

Для определения граничного параметра коэффициента усиления тахогенератора воспользуемся алгебраическим критерием устойчивости.

Эквивалентная передаточная функция САУ с учетом обратной связи по тахогенератору ТГ:

,

где:

пусть , тогда

После ряда преобразований получается:

После замены звена с запаздыванием эквивалентным и раскрытия скобок получается:

Характеристический многочлен САУ имеет вид:

где ; ,

а₁ = T₁ T₂+ T₁ T_п+ T₂ T_п ; ,

a₂ = T₁+ T₂+ T_п ; ,

; ,

; ;

.

Ему соответствует матрица 4-го порядка, составленная из коэффициентов характеристического многочлена:

Из условия устойчивости:

,

,

,

Решая последнее уравнение, получим,

Из неравенства следует, что коэффициент усиления тахогенератора ТГ находится в пределах от 0 до 4.79,

Для проверки правильности расчета коэффициента усиления тахогенератора можно воспользоваться логарифмическим критерием устойчивости. Для этого необходимо построить ЛАЧХ и ФЧХ разомкнутой системы.

Передаточная функция разомкнутой системы

где ;

ЛАЧХ:

ФЧХ:

ЛАЧХ и ФЧХ разомкнутой системы изображены на рис. 4.

Рис. 4. ЛАЧХ и ФЧХ разомкнутой системы

Из рисунка 4 видно, что находится на том же уровне, что и пересечение кривой ФЧХ - (). Это означает, согласно логарифмическому критерию устойчивости, что САУ находится на грани устойчивости. Значит граничное значение коэффициента усиления тахогенератора верное.

Вывод

В результате выполненной курсовой работы по исследованию позиционнойсхемыэлектромеханической следящей системы, были определены параметры структурных звеньев, их передаточные функции, а также передаточная функция и скоростное уравнение всей системы, проверенна устойчивость системы автоматического управления, найден диапазон допустимых значений неизвестного параметра схемы.

САУ является астатической, устойчивой, что подтверждено при помощи критериев Гурвица иНайквиста (без учета обратной связи по скорости). Система с учетом обратной связи по скорости является устойчивойпри коэффициентетахогенераторанаходящемся в пределах. Для значения, система была проверена на устойчивость с помощью логарифмического критерия (следствия из критерия Найквиста) на устойчивость.

Список литературы

1. Методические указания и задания к курсовой работе по теории автоматического управления для студентов-бакалавров специальности “Электротехника” /Сост. Герасимяк Р.П., Мазур А.С., Бошерницан И.Е., Бушер В.В. – Одесса: ОГПУ, 1993.

2. Попович М. Г., Ковальчук О. В. Теорія автоматичного керування. – К.: Либідь, 1997. -544 с.

3. Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория автоматического управления. – М.: Наука, 1975. -768 с.

4. Теория автоматического управления. Ч.1. Теория линейных систем автоматического управления. / Бабаков Н.А., Воронов А.А. и др. – М.: Высш.шк., 1986.

5. Теория автоматического управления../Куропаткин П.В. – М., Высш.шк., 1973.

6. Динамика элементов автоматического электропривода: Учеб. пособие / Р. П. Герасимяк. – Киев: УМК У, 1989. – 100 с.