10.2. Внутрішній закон композиції

10.2.1. Властивості внутрішнього закону

Операції на множині S можуть мати деякі загальні властивості, які звичайно виражаються співвідношеннями між елементами з S:

Комутативність а Т b = b Т а

Асоціативність а Т (b Т с) = (а Т b) Т с

Дистрибутивність

зліва (а Т b)  с = (а  с) Т (b  с)

і праворуч с  (а Т b) = (с  а) Т (с  b).

Приклад. Ha множині дійсних чисел додавання й множення асоціативні й комутативні. Множення дистрибутивно (ліворуч і праворуч) щодо додавання, але додавання не дистрибутивно щодо множення, тому що взагалі а+bc  (а+b)(а+с). Піднесення до ступеня не асоціативне (а^b)^c  а(^bс), не комутативне a^b  b^а, але дистрібутивне праворуч щодо множення, тому що (ab)^c = a^cb^c.

Приклад. Перетин й об'єднання множин взаємно дистрибутивні відносно один одного. Якщо в множині F  S композиція будь-яких двох елементів з F також належить F, то F називається замкнутою щодо розглянутого закону композиції. Так підмножина парних чисел є замкнутою щодо додавання й множення.

10.2.2. Регулярний, нейтральний і симетричний елементи

Закон композиції наділяє елементи множини деякіми загальними властивостями. При різних законах ті самі елементи можуть мати різні властивості. Можна говорити про властивості елементів множини S щодо заданого на ньому закону композиції T.

Елемент а називається регулярним, якщо із відношень а T х = а Т у и х T а = у T а випливає х = у (скорочення на регулярний елемент). Усяке число регулярно щодо додавання, а для множення регулярно всяке число, крім нуля (0x = 0у не тягне х = у).

Нейтральним елементом е  S називають такий елемент, що для всіх елементів х з S справедливо е T х = х T е = х (якщо нейтральний елемент існує, то він єдиний і регулярний). Серед чисел нуль - нейтральний елемент щодо додавання, а одиниця - щодо множення.

Приклад. Порожня множина є нейтральним елементом щодо об'єднання, а універсум - щодо перетину. На множині всіх квадратних матриць n-ro порядку із числовими елементами нульова й одинична матриці служать відповідно нейтральними елементами щодо додавання й множення.

Якщо множина містить нейтральний елемент е щодо закону композиції Т, то елемент b називається симетричним (зворотним, протилежним) елементу а, якщо а T b = b T a = е; при цьому а називають елементом, що симетрується, й b позначається через а, тобто b = а. Щодо асоціативного закону, елемент а, симетричний елементу а (якщо він існує), єдиний і регулярний.

При додаванні симетричним деякому числу х буде -х, а при множенні х^-1.

Приклад. Симетричними елементами на множині квадратних матриць n-го порядку щодо множення є взаємно оберненні матриці. Множина всіх власних підмножин щодо об'єднання або перетин не містить симетричних елементів.

Множина, у якої всякій елемент має симетричний відносно себе, називається таким, що симетрується.

10.2.3. Адитивні й мультиплікативні позначення

Властивості законів композиції можна представити у двох формах. В адитивних позначеннях операція Т записується символом додавання (+), а в мультиплікативних - символом множення (•).

Якщо множина наділена двома законами композиції, то найчастіше перший з них Т важається адитивним, а другий  уважається мультиплікативним. В адитивному запису нейтральний елемент позначається через 0 і називається нулем, а симетричний елементу а позначається через (-a). У мультиплікативному запису нейтральний елемент позначається через 1 і називається одиницею, а симетричний елементу а позначається через а^-1.

Приклад. Як відзначалося, множина цілих чисел володіє адитивною операцією + і мультиплікативною операцією , нулем 0 й одиницею 1.

Приклад. Множина довільних об'єктів володіє адитивною операцією  і мультиплікативною операцією , нулем  і одиницею U.

Якщо закон композиції асоціативний й комутативний, а елементи множини х₁ х₂, ..., х_n  S відзначені операторним індексом i, то в адитивному запису

х₁ + х₂, +..., + х_n = _i=1ⁿ х_i

і в мультиплікативному запису

х₁ • х₂, •..., • х_n = _i=1ⁿ х_i

Тут, на відміну від елементарної алгебри, знаки (+) і (•) не обов'язково означають додавання й множення чисел. Вони просто заміняють у різних співвідношеннях символи Т и , указуючи на те, що над елементами множини (необов'язково числами) виконуються деякі операції. Ці операції можуть лише зовні нагадувати звичайні операції додавання або множення чисел, але у загальному випадку – це інші операції.

Зручність адитивних і мультиплікативних позначень полягає в тому, що при операціях над числами різні відношення збігаються із загальноприйнятою формою запису.

Контрольні запитання

1. Що розуміють під знаком операції, операндами, оперторами й результатом операції?

2. Що називають законом композиції?

3. У чому розходження між зовнішнім й внутрішнім законами композиції?

4. Що розуміють під групоїдом?

5. Як побудувати матрицю й граф групоїда?

6. Якіми властивостями володіє внутрішній закон композиції?

7. Що називається регулярним, нейтральним і симетричним елементами відповідно?

8. Яка множина називається такою, що симетрується?

9. Що розуміють під адитивними й мультиплікативними операціями? Наведіть приклади адитивних і мультиплікативних операцій.

10. Як позначаються нейтральні елементи для адитивної й мультиплікативної операцій?

Список літератури

Основна

1. Сигорский В.П. Математический аппарат инженера. – К.: Техника, 1975. - С.137-141.

2. Горбатов В.А. Основы дискретной математики. – М.: Высшая школа, 1986. - С.6-47.

3. Белоусов А.И., Ткачев С.Б. Дискретная математика: Учеб. Для вузов. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. - С.112-273.

4. Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. – СПб.: Питер, 2001. - С.51-78.

Додаткова

5. Белоусов А.И., Ткачев С.Б. Дискретная математика: Учеб. Для вузов. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. - С.112-175.

6. Кук Д., Бейз Г. Компьютерная математика. – М.: Наука, 1990. - С.134-195.

7. Биркгоф Г., Барти Т. Современная прикладная алгебра. – М.: Мир, 1976. - С.204-236, 258-346.

8. Ван Дер Варден Б.Л. Алгебра – М.: Наука, 1979. – С.20-80.

9. Мальцев А.И. Алгебраические системы – М.: Наука, 1970. - С.42-138.

10. Курош А.Г. Лекции по общей алгебре. – М.: Наука, 1973. - С.33-107.

Для практичних занять

11. Методичні вказівки і завдання до контрольних робіт з дисципліни «Основи дискретної математики» для студентів очної та заочної форм навчання фахів 6.0804, 6.0915. Частина друга / О.М. Мартинюк. – Одеса: ОНПУ, 2005. – С.4-6.

Лекція 11. Алгебраїчні системи

Вступ

Лекція має за мету навести базові поняття алгебраїчних систем. Розглянуто основні визначення груп, кілець, тіл і полів, розглянуті поняття підсистеми й дільників нуля, окремо досліджені властивості груп підстановок і кільце множин. Звернено увагу на властивості законів композиції алгебраїчних систем.

У лекції присутні два параграфи:

1. Алгебраїчні системи (моделі)

2. Групи підстановок і кільця множин