§4 Частные производные первого порядка

Будем рассматривать функции трех независимых переменных. Пусть в некоторой трехмерной области Vзадана функцияu=f(x,y,z)переменныхx,y,zи пустьM₀(x₀,y₀,z₀)- некоторая внутренняя точкаV.

Дадим независимому переменному x приращение Δx=x-x₀, тогда функция и получит так называемое частное приращение поx:

Определение 1.7 Если существует конечный предел отношения частного приращения по xфункцииf(x,y,z)в точкеM₀(x₀,y₀,z₀)к вызвавшему его приращениюΔxприΔx 0, то этот предел называется частной производной похфункцииu=f(x,y,z)в точке М₀и обозначается одним из символов:

По определению,

Частные производные по yи поzопределяются аналогично:

Производные f'_x,f'_y,f'_zназываются ещё и частными производными первого порядка функцииf(x,y,z), или первыми частными производными.

Так как частное приращение Δxf(M₀)получается лишь за счет приращения независимой переменнойxпри фиксированных значениях других независимых переменных, то частная производнаяf'_x(M₀)может рассматриваться как производная функцииf(x,y₀,z₀)одного переменногоx. Следовательно, чтобы найти производную поx, нужно все остальные независимые переменные считать постоянными и вычислять производную поxкак от функции одного независимого переменногоx.

Аналогично вычисляются частные производные по другим независимым переменным.

Если частные производные существуют в каждой точке области V, то они будут функциями тех же независимых переменных, что и сама функция.

Пример 1.6. Найти частные производные функцииu=z^-xy, z > 0.

Решение

пример 1.7. Показать, что функция

удовлетворяет тождеству:

Решение

– данное равенство справедливо для всех точек М(х;у;z), кроме точкиМ₀(a;b;c).

Рассмотрим функцию z=f(х,у) двух независимых переменных и установим геометрический смысл частных переменных z'_x=f'_x(х,у)иz'_y=f'_y(х,у).

В этом случае уравнение z=f(х,у)есть уравнение некоторой поверхности (рис.1.3). Проведем плоскостьy = const. В сечении этой плоскостью поверхностиz=f(х,у)получится некоторая линияl₁пересечения, вдоль которой изменяются лишь величиныхиz.

Частная производная z'_x(её геометрический смысл непосредственно следует из известного нам геометрического смысла производной функции одной переменной) численно равна тангенсу углаαнаклона, по отношению к осиОх, касательнойL₁к кривойl₁, получающейся в сечении поверхностиz=f(х,у)плоскостьюy = constв точкеМ(х,у,f(xy)): z'_x= tgα.

В сечении же поверхности z=f(х,у)плоскостьюх = constполучится линия пересеченияl₂, вдоль которой изменяются лишь величиныуиz. Тогда частная производнаяz'_yчисленно равна тангенсу углаβнаклона по отношению к осиОу, касательнойL₂к указанной линииl₂пересечения в точкеМ(х,у,f(xy)): z'_x= tgβ.

пример 1.8. Какой угол образует с осью Охкасательная к линии:

в точке М(2,4,5)?

Решение

Используем геометрический смысл частной производной по переменной х(при постоянному):

§5 Полный дифференциал функции нескольких переменных. Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

Определение 1.8. Пусть на области Dзадана функция двух переменныхz =f(х,у),M₀(x₀;y₀)- внутренняя точка областиD,M(x₀+Δx;y+Δy)- "соседняя" сM₀точка изD.

Рассмотрим полное приращение функции:

Если Δzпредставлено в виде:

где A, B- постоянные (не зависящие отΔx, Δy),- расстояние междуMиM₀,α(Δx,Δy)- бесконечно малая приΔx 0, Δy 0; тогда функцияz =f(х,у)называется дифференцируемой в точкеM₀, а выражение

называется полным дифференциалом функции z =f(х;у)в точкеM₀.

Теорема 1.1. Если z =f(х;у)дифференцируема в точкеM₀, то

Доказательство

Так как в (1.16) Δx, Δy- произвольные бесконечно малые, то можно взятьΔy =0, Δx≠0, Δx 0, тогда

после чего из (1.16) следует

Тогда

Аналогично доказывается, что

и теорема 1.1. доказана.

Замечание: из дифференцируемости z =f(х,у)в точкеM₀следует существование частных производных. Обратное утверждение неверно (из существования частных производных в точкеM₀не следует дифференцируемость в точкеM₀).

В итоге, с учётом теоремы 1.1 формула (1.18) примет вид:

Следствие. Функция, дифференцируемая в точке M₀, непрерывна в этой точке (так как из (1.17) следует, что приΔx 0, Δy 0: Δz 0, z(M) z(M0)).

Замечание: Аналогично для случая трех и более переменных. Выражение (1.17) примет вид:

где

Используя геометрический смысл (рис.1.3) частных производных иможно получить следующее уравнение (1.24) касательной плоскостиπ_касs к поверхности:z =f(х,у)в точкеC₀(x₀,y₀,z₀), z₀=z(M):

Из сравнения (1.24) и (1.21) получаем геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных:

- приращение аппликаты z при движении точки С по касательной плоскости из точки С0 в точку

где находится из (1.24).

Уравнение нормали Lнк поверхности:z =f(х,у)в точкеС0получается, как уравнение прямой, проходящей черезС₀перпендикулярно к касательной плоскости: