Зразок виконання завдань
Задача 1. Обчислити добуток матриць
Розв’язання
Перша матриця має 2 строки та 4 стовпця, отже її розмір . Друга матриця має 4 строки та 3 стовпця, отже її розмір . Матриця-добуток буде мати розмір. Для обчислення елементуматриці-добутку треба помножитиу строку першої матриці най стовпець другої матриці:
,
,
,
,
,
.
Таким чином дістанемо:
.
Задача 2. Обчислити визначник
Розв’язання
Для обчислення визначника скористаємось елементарними перетвореннями над строками або стовпцями визначника, а саме можливістю додавати до будь-якої строки (стовпця) іншу строку (стовпець) помножену на будь-яке ненульове число. Такі дії спрямовані на одержання в обраній нами строчці (стовпці) трьох нулів. Строку або стовпець обираємо довільно. Для виконання меншої кількості обчислень можна обрати строку (стовпець), де є нулі. Оберемо, наприклад, останню строку. Для того, щоб вона дістала вигляду , виконаємо дві дії: до першого стовпця додамо четвертий та від третього стовпця віднімемо подвоєний четвертий. Маємо:
.
Далі за правилом обчислення визначника, розкладаємо визначник за четвертою строчкою. Помножимо єдиний ненульовий елемент цієї строки на його алгебраїчне доповнення, яке складається з визначника третього порядку та знаку . Обчислюючи визначник третього порядку за правилом трикутників, дістанемо:
.
Задача 3. Розв'язати систему лінійних неоднорідних алгебраїчних рівнянь: 1) за правилом Крамера; 2) методом Жордана – Гауса; 3) за допомогою оберненої матриці.
Розв’язання
1) Розв'яжемо систему рівнянь за правилом Крамера. Складемо визначник з коефіцієнтів лівої частини системи:
.
Оскільки , система має єдиний розв'язок, який знаходиться за формулами
,
де визначники ,, таутворюються з визначниказаміною стовпця коефіцієнтів при відповідній змінній на стовпець вільних членів.
;
;
.
2) Розв'яжемо систему за допомогою оберненої матриці.
Позначимо – матрицю-стовпець невідомих,– матрицю коефіцієнтів при невідомих,– матрицю-стовпець вільних членів. За допомогою цих матриць запишемо систему рівнянь у матричній формі:, звідки одержимо.
Знайдемо обернену матрицю . Визначник матриці, отже, матрицяA не вироджена і має обернену матрицю, а система рівнянь є визначеною. Складемо транспоновану матрицю:
.
Обчислимо алгебраїчні доповнення елементів цієї матриці і запишемо їх у приєднану матрицю:
.
Таким чином, обернена матриця має вигляд .
Знайдемо розв'язок системи у вигляді
.
3) Розв'яжемо систему рівнянь методом Жордана – Гауса. Запишемо розширену матрицю системи та зведемо її до діагонального вигляду методом елементарних перетворень. Спочатку віднімемо з другого рядка подвоєний перший та з третього рядка перший, скоротимо одержані рядки:
Поміняємо місцями другий та третій рядки і віднімемо з третього рядка подвоєний другий, далі віднімемо останній рядок з перших двох, скоротимо одержані рядки:
.
Отже, розв’язок системи: .
Задача 4. Дана система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь
Знайти фундаментальну систему розв'язків та загальний розв'язок цієї системи.
Розв’язання
Розв'яжемо систему рівнянь методом Жордана – Гауса. Запишемо розширену матрицю системи й зведемо її до діагонального вигляду методом елементарних перетворень. Спочатку віднімемо з другого рядка перший та з третього рядка перший, помножений на три, скоротимо одержані рядки:
.
Додамо до першого рядка другий та віднімемо з третього рядка другий, скоротимо одержані рядки:
.
Отже, маємо систему рівнянь
Змінні є базисними, а зміннає довільною і приймає будь-яке значення. Загальний розв'язок системи :
.
Загальний розв'язок залежить від однієї довільної сталої, тому система має лише один фундаментальний розв'язок, який знайдемо, покладаючи :
.
Задача 5.Обчислити ранг матриці
.
Розв’язання
Для обчислення рангу матриці скористаємось елементарними перетвореннями над строками або стовпцями матриці: перестановкою строк (стовпців), множенням строки (стовпця) на ненульове число, додаванням до будь-якої строки (стовпця) іншої строки (стовпець) помноженої на будь-яке ненульове число. Такі дії спрямовані на одержання в першому стовпці усіх нулів під головною діагоналлю. Спочатку переставимо першу і останню строки, щоб на головній діагоналі опинилася 1:
Далі до другої строки додаємо першу, від третьої строки віднімаємо подвоєну першу, від четвертої строки віднімаємо помножену на 5 першу, від п’ятої строки віднімаємо потроєну першу:
Бачимо, що друга, третя, четверта та п’ята строки пропорційні, отже залишаємо одну з них:
.
Віднімаємо від другого стовпця потроєний перший, від третього стовпця подвоєний другий, до четвертого додаємо перший, від п’ятого віднімаємо перший помножений на 8. Дістанемо в цих стовпцях нулі у першій строчці:
.
Розділимо першу строчу на 5:
.
Віднімаємо від третього стовпця другий помножений на 0,6, до четвертого додаємо другий помножений на 0,4 від п’ятого віднімаємо перший помножений на 2,2. Дістанемо в цих стовпцях нулі у другій строчці:
.
Ранг матриці дорівнює кількості одиниць на головній діагоналі, отже дорівнює 2.
Задача 6. Знайти координативектораубазисі,якщовектори заданіубазисі:
.
Розв’язання
Складемо матрицю переходу від старого базису до нового, вписуючи координати векторів по стовбцях:
.
Знайдемо обернену до матриці . Для цього потрібно обчислити її визначник та алгебраїчні доповнення до всіх елементів:
,
,
,
.
Обернена матриця має вигляд
.
Знайдемо координативектора у новому базисі за формулою перетворення координат при перетворенні базису:
.
Задача 7. Знайти матрицю у базисі,де , , якщо вона заданаубазисі.
.
Розв’язання
Складемо матрицю переходу від старого базису до нового, вписуючи координати векторів по стовбцях:
.
Знайдемо обернену до матриці . Для цього потрібно обчислити її визначник та алгебраїчні доповнення до всіх елементів:
,
,
,
.
Обернена матриця має вигляд
.
Знайдемо матрицю у новому базисі за формулою перетворення координат при перетворенні базису:
.
Задача 8.Знайти власні вектори та власні значення матриці
Розв’язання
Знайдемо власні значення матриці A. Для цього розв’яжемо характеристичне рівняння:
,
звідки ,,. Для визначення координат власних векторів, що відповідають власним значенням, складемо однорідну систему:
Підставляючи у систему власне значення , отримаємо
Власним вектором, що відповідає власному значенню є вектор. Для власного значеннямаємо систему:
З другого рівняння випливає, що змінна приймає будь-які відмінні від нуля значення. Прими одержимо нульовий вектор, який не може бути
властивим. Отже,
Власному значенню відповідає власний вектор.
Аналогічно для :
Власним вектором для є.
Задача 9. Дослідити на знаковизначеність квадратичну форму
та звести її до канонічного вигляду методом ортогональних перетворень, якщо ,,.
Розв’язання
Матриця квадратичної форми має вигляд . Знайдемо її власні значення. Для цього розв’яжемо характеристичне рівняння:
,
звідки ,,. Для визначення координат власних векторів, що відповідають власним значенням, складемо однорідну систему:
Підставляючи у систему власне значення , отримаємо
Покладаючи , дістанемо власний вектордовжини.
Підставляючи далі у систему власне значення , отримаємо
Покладаючи , дістанемо власний вектордовжини.
Підставляючи у систему останнє власне значення, отримаємо
Покладаючи , дістанемо власний вектордовжини.
Нормуємо власні вектори:
, ,.
Складемо матрицю ортогонального перетворення, що зводить квадратичну форму до канонічного вигляду, записуючи координати нормованих власних векторів по стовпцях:
.
Саме перетворення має вигляд:
.
Після виконання перетворення квадратична форма зведеться до канонічного вигляду:
,
де коефіцієнтами при квадратах змінних є власні значення матриці квадратичної форми.
Всі власні значення квадратичної форми є додатними, тому квадратична форма є додатно визначеною.
Квадратичну форму можна дослідити на знаковизначеність за критерієм Сильвестра. Для цього обчислимо головні мінори матриці квадратичної форми:
.
Всі вони є додатними, тому квадратична форма є додатно визначеною.
Задача 10. Користуючись теорією квадратичних форм, звести до канонічного вигляду рівняння кривої другого порядку
,
визначити тип кривої та побудувати її.
Розв’язання
Матриця квадратичної форми має вигляд . Знайдемо власні значення та власні вектори матриці. Для цього розв'яжемо характеристичне рівняння:
.
Власними значеннями є , та . Обчислимо власний вектор для:
Покладаючи , дістанемо власний вектор.
Розглянемо далі :
Покладаючи , дістанемо власний вектор.
Довжина обох векторів , то ж нормовані власні вектори
.
Складемо матрицю ортогонального перетворення, що зводить квадратичну форму до канонічного вигляду, записуючи координати нормованих власних векторів по стовпцях:
.
Саме перетворення має вигляд:
Після виконання перетворення рівняння кривої буде мати вигляд:
де коефіцієнтами при квадратах змінних є власні значення матриці квадратичної форми. Спрощуючи, маємо
.
Виділимо повні квадрати по змінних та:
.
Виконаємо друге перетворення координат:
Рівняння кривої звелося до вигляду , або . Це канонічне рівняння еліпса з півосями. Поєднуючи обидва перетворення координат, маємо
Нова система координат утворена поворотом на кутпроти годинникової стрілки, тому що нові координатні вісімають бути спрямовані по власних векторах, та паралельним переносом у новий центр . Побудуємо графік еліпса.