5.2. Цільова функція і її властивості

5.2.1. Нормалізація незалежних перемінних

При рішенні конкретних задач незалежні перемінні (керуючі впливи) можуть мати різний фізичний зміст (Т, Р, , С) і, відповідно, різні одиниці виміру. При рішенні задач оптимізації чисельними методами доцільно оперувати з їх

безрозмірними нормалізованими значеннями.

Звичайно для нормалізації застосовується можливий діапазон зміни значень незалежних перемінних, котрий завжди може бути установлений виходячи з фізичної сутності розв'язуваної задачі.

Наприклад, нехай деякий фізичний параметр вихідної задачі може змінювати своє значення а в межах:

a_Jmin< a_J < a_Jmax (5.8)

Тоді, позначаючи величину діапазону зміна значення а_J через

d_J=a_Jmin - a_Jmin ,

можна ввести безрозмірну перемінну U_J :

U_J = (a_J - a_Jmin)/d_J (5.9)

Перемінна U_J при такому способі визначення буде змінюватися в межах:

0<U_J<1 (5.10)

Нормалізація значно спрощує організацію алгоритмів оптимізації і дозволяє будувати уніфіковані алгоритми пошуку. Необхідно тільки передбачати

прямєі зворотне перерахуванняфізичнихпараметрів

Рис. 5.2

5.2.2. Геометрична інтерпретація цільової функції

Відповідно до співвідношення (5.6) значення критеріюоптимальності R може розглядатися як функція, обумовлена в n-мірному просторі перемінних U_J (j=1,2,...n). Оскільки наочне графічне зображення n-мірного простору відсутнє, використається наступний метод представлення функції R(U) на плоскому кресленні (рис.5.3).

Використовуємо наступний підхід. Допустимо, що задача оптимізації виречена і екстремум знайдений. Проведемо через крапку U_опт у n-мірному просторі двовимірну площину Р. Тоді при видаленні від крапки U_опт у будь-якому напрямку R(U) буде змінюватися.

Якщо R(U) є безупинної функцією від U, те навколо крапки U_опт завжди можна провести в даної площини замкнуту лінію, на якій значення R(U) буде постійним. Таких замкнутих ліній, називаних

Рис. 5.3 лініями постійного рівня, що відповідають різних значень R(U)=С_k, можна провести площини Р навколо крапки U_опт скільки завгодно, причим кожна з цих ліній (наприклад, для випадку пошуку мінімуму) буде цілком охоплювати будь-яку лінію постійного рівня, для якої значення R(U) менше. Форма ліній постійного рівня, відповідаючим різним значенням С_k може при цьому бути дуже різної.

При наявності обмежень типу (5.7а), розглянутий прийом зображення цільової функції також можна використовувати, якщо прийняти до уваги, що кожне з рівнянь (5.7а) визначає в n-мірному просторі (n-1)-мірну поверхню, перетинання якої з двовимірної площиною Р має вид деякої лінії L (рис.5.4).

Рис.5.5

Рис.5.4

Обмеження типу нерівностей (5.7б) незалежно від їхнього числа також представляються описаним способом (рис.5.5).

Розглянутий спосіб не є єдиним і однозначної, так як. форма ліній постійного рівня функції R(U) і обмежень може істотно змінюватися в залежності від орієнтації двовимірної площини Р в n-мірному просторі . Однак цей спосіб найбільше простий і дозволяє наочно представити різні алгоритми рішення

задачнелінійного програмування.