3. Друга і третя достатні умови локального екстремума

Теорема 2 (друга достатня умова локального екстремума). Нехай функція визначена на _{, , і виконуються умови:}

_{1. ;}

_{2. існує ,}

_{тоді має локальний екстремум в точці , а саме}

• _{локальний максимум, якщо ;}

• _{локальний мінімум, якщо .}

_{Друга достатня умова є частковим випадком третьої достатньої умови локального екстремума.}

Нехай функція визначена на _{і разів диференційована в точці , і виконуються умови:}

_,

₍₁₎

_.

_{Скористаємося для формулою Тейлора з залишковим членом в формі Пєано:}

_{, ,}

_{яка, враховуючи умови (1), приймає вигляд:}

_{, . (2)}

_{Запишемо залишковий член в наступному вигляді:}

_{, де .}

_{Тоді з (2) отримаємо:}

_{. (3)}

_{Оскільки , то для будь-яких , достатньо близьких до маємо:}

_.

_{Розглянемо два можливі випадки для значення .}

_{1. Нехай - парне, тобто . Припустимо, що . Тоді при переході через права частина (3) буде зберігати знак «+», тобто при всіх , достатньо близьких до , маємо:}

_,

_{тобто в точці функція має локальний мінімум.}

_{Аналогічно отримаємо, що коли і , то має в точці локальний максимум.}

_{2. Нехай - непарне, тобто . Припустимо, що . Тоді для в достатньо малому околі маємо:}

_{, (4)}

_{а для в достатньо малому околі маємо:}

_{. (5)}

_{З (4) і (5) витікає, що екстремума в точці немає.}

_{Ми довели наступну теорему.}

_{Теорема 3 (третя достатня умова локального екстремума).} Нехай функція визначена на _{і разів диференційована в точці , і виконуються умови (1). Тоді якщо - парне, то має локальний екстремум в точці (локальний максимум, коли , локальний мінімум, коли ). Якщо - непарне, то екстремума в точці немає.}

4. Найменше й найбільше значення функції на сегменті

Нехай функція визначена і неперервна на _{, диференційована в , за виключенням скінченної кількості точок. За першою і другою теоремами Вейєрштрасса вона обмежена і досягає на цьому сегменті своїх точних верхньої і нижньої меж, які є її найбільшим і найменшим значеннями на цьому сегменті. Треба ці значення знайти.}

_{Припустимо, що не має на точок, де , чи не існує. Це означає, що зберігає свій знак скрізь на , а функція - строго монотонна на . Тоді найменше і найбільше значення вона буде приймати на кінцях сегмента .}

_{Якщо на сегменті має скінченну кількість точок , де не існує, чи дорівнює нулю, то ці точки розбивають сегмент на часткові сегменти: , в кожному з яких вже нема таких точок, де , чи не існує, а тому - строго монотонна на кожному з , а тому найменше і найбільше значення вона буде приймати на кінцях .}

_{Таким чином, для того, щоб знайти найбільше і найменше значення неперервної на сегменті функції треба:}

_{1. Знайти похідну функції на ;}

_{2. Знайти всі стаціонарні точки функції, і точки, в яких не існує, що належать . Позначимо ці точки ;}

_{3. Обчислити значення ;}

_{4. Порівняти всі значення, отримані на попередньому кроці, і обрати найменше і найбільше.}

_{Приклад. Для функції знайти її найменше і найбільше значення на сегменті . На функція є неперервною. Виконаємо послідовно всі 4 дії, перераховані вище:}

_{1. ;}

_{2. Похідна не існує там, де її знаменник дорівнює 0:}

_.

_{Стаціонарні точки функції визначаються при рішенні рівняння:}

_.

_{Таким чином, на наступному кроці треба буде обчислити значення функції в точках: .}

_{3. .}

_{4. Обираємо найбільше і найменше значення з отриманих на попередньому кроці. Найбільше значення на сегменті функція приймає в точці , і це значення , найменше значення - .}