- •Лекция 13. Необходимое и достаточные условия локального экстремума функции План
- •1. Стационарные точки функции. Необходимое условие локального экстремума функции
- •2. Первое достаточное условие локального экстремума
- •3. Второе и третье достаточные условия локального экстремума
- •4. Наименьшее и наибольшее значения функции на сегменте
- •5. Выпуклые функции и точки перегиба
- •Вопросы
3. Второе и третье достаточные условия локального экстремума
Теорема 2 (второе достаточное условие локального экстремума). Пусть функция определена на , , и выполняются условия:
1. ;
2. существует ,
тогда имеет локальный экстремум в точке , а именно
локальный максимум, если ;
локальный минимум, если .
Второе достаточное условие является частным случаем третьего достаточного условия локального экстремума.
Пусть функция определена на и раз дифференцирована в точке , и выполняются условия:
,
(1)
.
Воспользуемся для формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано:
, ,
которая, учитывая условия (1), принимает вид:
, . (2)
Запишем остаточный член в следующем виде:
, де .
Тогда из (2) получим:
. (3)
Поскольку , то для любых , достаточно близких к имеем:
.
Рассмотрим два возможных случая для значения .
1. Пусть - четное, т.е. . Допустим, что . Тогда при переходе через правая часть (3) будет сохранять знак «+», то есть при всех , достаточно близких к , имеем:
,
т.е. в точке функция имеет локальный минимум.
Аналогично получим, что когда и , то имеет в точке локальный максимум.
2. Пусть - нечетное, т.е. . Допустим, что . Тогда для в достаточно малой окрестности имеем:
, (4)
а для в достаточно малой окрестности имеем:
. (5)
Из (4) и (5) вытекает, что экстремума в точке нет.
Мы доказали следующую теорему.
Теорема 3 (третье достаточное условие локального экстремума). Пусть функция определена на , раз дифференцирована в точке , и выполняются условия (1). Тогда если - четное, то имеет локальный экстремум в точке (локальный максимум, когда , локальный минимум, когда ). Если - нечетное, то экстремума в точке нет.
4. Наименьшее и наибольшее значения функции на сегменте
Пусть функция определена и непрерывна на , дифференцирована в , за исключением конечного количества точек. По первой и второй теоремам Вейерштрасса она ограничена и достигает на этом сегменте своих точных верхней и нижней границ, которые являются ее наибольшим и наименьшим значениями на этом сегменте. Надо эти значения найти.
Допустим, что не имеет на точек, где , или не существует. Это означает, что сохраняет свой знак везде на , а функция - строго монотонна на . Тогда наименьшее и наибольшее значения она будет принимать на концах сегмента .
Если на сегменте имеет конечное число точек , где не существует или равняется нулю, то эти точки разбивают сегмент на частичные сегменты: , в каждом из которых уже нет таких точек, где или не существует, а потому - строго монотонна на каждом из , а потому наименьшее и наибольшее значения она будет принимать на концах .
Таким образом, для того, чтобы найти наименьшее и наибольшее значения непрерывной на сегменте функции надо:
1. Найти производную функции на ;
2. Найти все стационарные точки функции, и точки, в которых не существует, которые принадлежат . Обозначим эти точки ;
3. Вычислить значения ;
4. Сравнить все значения, полученные на предыдущем шаге, и выбрать из них наименьшее и наибольшее.
Пример. Для функции найти ее наименьшее и наибольшее значения на сегменте . На функция является непрерывной. Выполним последовательно все 4 вышеперечисленные действия:
1. ;
2. Производная не существует там, где ее знаменатель равняется 0:
.
Стационарные точки функции определяются при решении уравнения:
.
Таким образом, на следующем шаге надо будет вычислить значения функции в точках: .
3. .
4. Выбираем наибольшее и наименьшее значения из полученных на предыдущем шаге. Наибольшее значение на сегменте функция принимает в точке , и это значение , наименьшее значение - .