Конъюнкция
Конъюнкция1 – это суждение, полученное из любых двух других суждений посредством логического союза «и».
Пример. Если суждения «Сегодня жарко» и «Вчера было холодно» соединить связкой «и», получится конъюнкция «Сегодня жарко и вчера было холодно».
Конъюнкция истинна только в случае, когда оба входящих в нее суждения являются истинными.
Если хотя бы один из ее членов ложен, то и вся конъюнкция ложна.
Суждение А может быть либо истинным, либо ложным, и то же самое можно сказать о суждении В. Следовательно, возможны четыре пары значений истинности для этих суждений.
Обозначим конъюнкцию символом «˄». Используется также символ «&». Таблица истинности для конъюнкции такова.
|
А |
В |
А ˄ В |
|
и |
и |
и |
|
и |
л |
л |
|
л |
и |
л |
|
л |
л |
л |
Дизъюнкция
Нестрогая дизъюнкция2 – это суждение, полученное из любых двух суждений при помощи логического союза «или».
В повседневном языке слово «или» имеет два разных смысла. Иногда оно означает «одно или другое или оба», а иногда «одно или другое, но не оба вместе». В логике и математике слово «или» всегда употребляется в неисключающем значении.
Итак, дизъюнкция является нестрогой, если ее члены не исключают друг друга.
Пример. Суждение «В этом сезоне я хочу пойти на “Пиковую даму” или на “Аиду”» является нестрогой дизъюнкцией.
Строгая дизъюнкция ‒ это суждение, полученное из любых двух суждений при помощи логического союза «либо…, либо…».
Суждение, содержащее строгую дизъюнкцию, иногда называется альтернативным.
Пример. В суждении «Он учится в Московском или в Саратовском университете» подразумевается, что упоминаемый человек учится только в одном из этих университетов.
Нестрогая дизъюнкция означает, что, по крайней мере, одно из этих суждений истинно, независимо от того, истинны они оба или нет. Строгая дизъюнкция означает, что одно из них истинно, а второе – ложно.
Символ «v» обозначает нестрогую дизъюнкцию, символ «V» – строгую дизъюнкцию. Применяются также другие обозначения.
Нестрогая дизъюнкция истинна, когда хотя бы одно из входящих в нее суждений истинно, и ложна тогда, когда оба ее члена ложны.
Строгая дизъюнкция истинна, когда истинным является только один из ее членов, и она ложна, когда оба ее члена истинны или оба ложны.
Таблица истинности для дизъюнкции такова.
|
А |
В |
A v В |
A V B |
|
и |
и |
и |
л |
|
и |
л |
и |
и |
|
л |
и |
и |
и |
|
л |
л |
л |
л |
Импликация
Импликация3 – это суждение, полученное из любых двух суждений посредством логического союза «если …, то …».
Примеры. «Если есть огонь, то есть дым», «Если число делится на 9, то оно делится на 3» и т.п.
Суждение, которому предпослано слово «если», называется основанием, или антецедентом4. Суждение, идущее после слова «то», называется следствием, или консеквентом5. Антецедент ‒ достаточное условие для консеквента, консеквент – необходимое условие для антецедента.
Логический союз «если ..., то ...» может выражаться с помощью различных языковых средств.
Пример. «Так как вода ‒ жидкость, она передает давление во все стороны равномерно».
Импликация не предполагает, что суждения А и В как-то связаны между собой по содержанию. В случае истинности В суждение «если А, то В» истинно независимо от того, является А истинным или ложным и связано оно по смыслу с В или нет.
Не может случиться так, чтобы основание было истинным, а следствие – ложным.
Только когда основание истинно, а следствие ложно, вся импликация ложна.
Примеры. Истинными считаются суждения: «Если на Солнце есть жизнь, то дважды два равно четырем», «Если Волга – озеро, то Токио – большой город» и т.п. К истинным относятся, к примеру, высказывания: «Если Солнце – куб, то Земля – треугольник», «Если дважды два равно пяти, то Токио ‒ маленький город» и т.п.
В обычном рассуждении все эти суждения вряд ли будут рассматриваться как имеющие смысл и еще в меньшей степени как истинные.
Будем обозначать импликацию символом «→». Таблица истинности для импликации такова.
|
А |
В |
A → В |
|
и |
и |
и |
|
и |
л |
л |
|
л |
и |
и |
|
л |
л |
и |