- •Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України
- •Програма курсу
- •Предмет диференціальної геометрії. Історичний огляд розвитку диференціальної геометрії
- •Тема 1. Вектор-функція скалярного аргументу
- •1.1. Операції над сталими векторами та їх застосування
- •1.2. Вектор-функція скалярного аргументу
- •1.3. Границя вектор-функції
- •1.4. Неперервність вектор-функції
- •1.5. Похідна вектор-функції
- •1.6. Формула Тейлора
- •1.7. Інтеграл від вектор-функції
- •1.8. Вектор сталої довжини
- •Контрольні питання до теми 1
- •Тема 2. Поняття кривої. Регулярна крива і способи її задання
- •2.1. Поняття кривої
- •2.2. Способи аналітичного задання просторової кривої
- •2.3. Випадок плоскої кривої
- •Контрольні питання до теми 2
- •Перелічіть способи аналітичного задання просторової кривої. Запишіть відповідні рівняння. Які умови є достатніми для того, щоб ці рівняння визначали регулярну криву?
- •Тема 3. Дотична пряма і супровідний тригранник кривої
- •3.1. Дотична пряма просторової кривої
- •3.2. Нормальна площина просторової кривої
- •3.3. Дотична і нормаль плоскої кривої
- •3.4. Стична площина кривої
- •3.5. Супровідний тригранник кривої
- •Контрольні питання до теми 3
- •Тема 4. Поняття теорії кривих, пов’язані з поняттями кривини та скруту
- •4.1. Довжина дуги кривої. Натуральна параметризація
- •4.2. Кривина кривої, заданої в натуральній параметризації
- •4.3. Кривина кривої в довільній параметризації
- •4.4. Кривина плоскої кривої
- •4.5. Скрут кривої, заданої в натуральній параметризації
- •4.6. Скрут кривої в довільній параметризації
- •4.7. Формули Френе
- •1. ; 2.; 3..
- •Контрольні питання до теми 4
- •Список використаної та рекомендованої літератури
- •Додаток 1 Питання для підготовки до вхідного контролю з навчальної дисципліни «Диференціальна геометрія та топологія»
- •Додаток 2
- •Завдання вхідного контролю з навчальної дисципліни
- •«Диференціальна геометрія та топологія»
- •Варіант 1
- •Варіант 2
- •Варіант 3
- •Варіант 4
- •Варіант 5
- •Варіант 6
- •Варіант 7
- •Варіант 8
- •Варіант 9
- •Варіант 10
- •Додаток 3 Тестовий контроль з теорії кривих Тест 1. Вектор-функція скалярного аргументу
- •1. Вказати правильні відповіді із запропонованих. Якщо правильних відповідей декілька, перелічити їх усі.
- •2. Вставити пропущені слова так, щоб одержалось правильне твердження.
- •Тест 2. Поняття кривої. Регулярна крива і способи її задання
- •1. Вказати правильні відповіді із запропонованих. Якщо правильних відповідей декілька, перелічити їх усі.
- •Тест 3. Дотична пряма і супровідний тригранник кривої
- •1. Вказати правильні відповіді із запропонованих. Якщо правильних відповідей декілька, перелічити їх усі.
- •Пов’язані з поняттями кривини та скруту
- •1. Вказати правильні відповіді із запропонованих.
- •2. Вставити пропущені слова так, щоб одержалось правильне твердження.
- •Зоря Валентина Дмитрівна,
Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України
Харківський національний педагогічний університет
імені Г.С. Сковороди
В.Д. Зоря, О.В. Коржова, Т.О. Горзій
КРИВІ В ЕВКЛІДОВОМУ ПРОСТОРІ
Курс лекцій
з навчальної дисципліни
«Диференціальна геометрія та топологія»
Навчальний посібник
Харків
2011
УДК514.752.2(042.4)
ББК 22.152.61я73
З 86
Затверджено редакційно-видавничою радою Харківського національного педагогічного університету імені Г.С. Сковороди
Протокол № 9 від 03.11.2011
Зоря В.Д. Криві в евклідовому просторі: Курс лекцій з навчальної дисципліни «Диференціальна геометрія та топологія». Навчальний посібник / В.Д. Зоря, О.В. Коржова, Т.О. Горзій – Харків: ХНПУ імені Г.С. Сковороди, 2011. – 87 с.
У посібнику наведено основний навчальний матеріал з теорії плоских і просторових кривих. Виклад теоретичного матеріалу супроводжується розв’язанням типових задач, до кожної теми запропоновано контрольні питання. Передбачено вхідний контроль знань і практичних дій з раніше вивчених курсів та тестовий контроль з теорії кривих.
Для студентів математичних спеціальностей педагогічних вищих навчальних закладів.
Рецензенти:
Білоусова Л.І. – кандидат фізико-математичних наук, професор, завідувач кафедри інформатики ХНПУ імені Г.С. Сковороди;
Завгородній О.І. – доктор технічних наук, професор, завідувач кафедри вищої математики ХНТУСГ імені П.Василенка;
Процай В.Ф. – кандидат фізико-математичних наук, доцент, доцент кафедри математики ХНПУ імені Г.С. Сковороди
Видано за рахунок авторів
© Харківський національний педагогічний
університет імені Г.С. Сковороди
© Зоря В.Д., Коржова О.В., Горзій Т.О.
ЗМІСТ
Вступ…………………………………………………………………………………………...... |
4 |
Програма курсу «Диференціальна геометрія та топологія» …………………….......... |
6 |
Предмет диференціальної геометрії. Історичний огляд розвитку диференціальної геометрії………………………………………………………………………………………… |
9 |
Тема 1. Вектор-функція скалярного аргументу…………………………………... |
12 |
1.1. Операції над сталими векторами та їх застосування……………………….. |
12 |
1.2. Вектор-функція скалярного аргументу……………………………………….. |
15 |
1.3. Границя вектор-функції…………………………………………………………. |
17 |
1.4. Неперервність вектор-функції………………………………………………….. |
18 |
1.5. Похідна вектор-функції…………………………………………………………. |
19 |
1.6. Формула Тейлора………………………………………………………………… |
22 |
1.7. Інтеграл від вектор-функції…………………………………………………….. |
23 |
1.8. Вектор сталої довжини…………………………………………………………... |
24 |
Контрольні питання до теми 1…………………………………………………….. |
24 |
Тема 2. Поняття кривої. Регулярна крива і способи її задання…………….. |
26 |
2.1. Поняття кривої……………………………………………………………………. |
26 |
2.2. Способи аналітичного задання просторової кривої………………………… |
30 |
2.3. Випадок плоскої кривої…………………………………………………………. |
32 |
Контрольні питання до теми 2…………………………………………………….. |
32 |
Тема 3. Дотична пряма і супровідний тригранник кривої…………………….. |
34 |
3.1. Дотична пряма просторової кривої……………………………………………. |
34 |
3.2. Нормальна площина просторової кривої……………………………………... |
38 |
3.3. Дотична і нормаль плоскої кривої……………………………………………... |
39 |
3.4. Стична площина кривої…………………………………………………………. |
40 |
3.5. Супровідний тригранник кривої……………………………………………...... |
44 |
Контрольні питання до теми 3…………………………………………………….. |
46 |
Тема 4. Поняття теорії кривих, пов’язані з поняттями кривини та скруту |
48 |
4.1. Довжина дуги кривої. Натуральна параметризація…………………………. |
48 |
4.2. Кривина кривої, заданої в натуральній параметризації…………………….. |
50 |
4.3. Кривина кривої в довільній параметризації………………………………….. |
52 |
4.4. Кривина плоскої кривої………………………………………………………….. |
54 |
4.5. Скрут кривої, заданої в натуральній параметризації……………………….. |
54 |
4.6. Скрут кривої в довільній параметризації……………………………………… |
56 |
4.7. Формули Френе…………………………………………………………………… |
57 |
Контрольні питання до теми 4……………………………………………………... |
58 |
Список використаної та рекомендованої літератури……………………………………. |
59 |
Додаток 1. Питання для підготовки до вхідного контролю з навчальної дисципліни «Диференціальна геометрія та топологія»…………….………………………………….. |
61 |
Додаток 2. Завдання вхідного контролю з навчальної дисципліни «Диференціальна геометрія та топологія»………………………………………………... |
65 |
Додаток 3. Тестовий контроль з теорії кривих……………………………………………. |
75 |
ВСТУП
Даний курс лекцій призначений для студентів математичних спеціальностей педагогічних вищих навчальних закладів, для яких навчальними планами передбачено вивчення дисципліни «Диференціальна геометрія і топологія». Її основою є теорія плоских і просторових кривих – важливий розділ класичної диференціальної геометрії. Саме в теорії кривих вперше в диференціальній геометрії даються точні означення та поняття, вводяться геометричні характеристики поведінки кривих, формується геометрична інтуїція, яка потім розвивається і поглиблюється в процесі вивчення теорії поверхонь. Криві та поверхні здавна широко застосовуються в математиці, техніці, архітектурі, будівництві.
В процесі вивчення диференціальної геометрії інтегруються знання, отримані студентами під час вивчення курсів аналітичної геометрії, лінійної алгебри, математичного аналізу, диференціальних рівнянь. Тому для запобігання виникнення труднощів у студентів у ході вивчення та для успішного застосування елементів головних знань і практичних дій з раніше вивчених курсів дуже важливо забезпечити їх актуалізацію. Згадати те, що потрібно студентам для вивчення курсу, допоможе підготовка до обов’язкового вхідного контролю (додатки 1 і 2).
Свідоме і наполегливе опанування студентами теоретичним матеріалом є не тільки необхідною умовою успішного засвоєння даного курсу, розуміння його зв’язків з іншими навчальними дисциплінами і потребами людської практики, але й запорукою ефективної професійної діяльності в майбутньому. Саме глибоке розуміння сутності конкретного математичного методу, його особливостей і меж застосування, проникнення в сутність математичних понять і фактів, їх обґрунтування і логічних зв’язків формують математичне мислення і математичну культуру, без яких неможливе становлення майбутнього вчителя математики.
Бажано, щоб навчальна діяльність студента була зосереджена на усвідомленому сприйнятті теоретичного матеріалу на лекції, роботі над її текстом у позааудиторний час, самостійному оволодінні окремими питаннями курсу, на роботі з навчальною літературою, використанні понять, законів, теорем, формул у процесі розв'язування математичних задач. Опрацьовуючи теоретичний матеріал, важливо зосередитись на означенні основних понять, поясненні їх простими прикладами і наочними рисунками, встановленні зв’язків між введеними поняттями, доведенні основних теорем, розв’язанні наведених в навчальному посібнику типових задач.
Для підвищення уваги студентів до теоретичної частини курсу, створення умов для активізації систематичної самостійної діяльності студентів та її контролю до кожної теми запропоновано контрольні питання і тестові завдання.
Наведений теоретичний матеріал відповідає навчальній програмі з курсу «Диференціальна геометрія і топологія», розрахованій на 42 години лекційних та 22 години практичних занять. На вивчення теорії кривих передбачено по 10 годин лекційних та практичних занять.