Краткие сведения по теории погрешностей

Численное значение физической величины определяется путем измерения. Измерить какую-либо физическую величину – значит сравнить ее с другой однородной величиной, принятой за единицу измерения. Измерения бывают прямые и косвенные.

Прямыми называются измерения, при которых искомое значение физической величины находят непосредственно при помощи отсчета по соответствующему измерительному прибору или путем сравнения с мерой.

Косвенными называются измерения, при которых искомое значение физической величины находят на основании прямых измерений нескольких величин, которые связаны с искомой величиной известной функциональной зависимостью.

Истинное значение физической величины узнать принципиально невозможно, хотя объективно оно существует. За истинное значение принимается величина, отсчитанная по прибору или устройству один раз, или среднее значение нескольких измерений.

При прямых измерениях среднее арифметическое значение некоторой физической величины X_ср определяется по формуле:

(1)

По своим свойствам и характеру влияния на результаты измерений погрешности (ошибки) подразделяются на грубые, систематические и случайные.

К грубым погрешностям относятся промахи и просчеты при измерениях или наблюдениях, вызванные невнимательностью экспериментатора, плохой организацией эксперимента и другими причинами.

К систематическим погрешностям относятся погрешности, которые в процессе наблюдения сохраняют свою величину и знак, и не зависят от числа измерений.

Грубые и систематические погрешности необходимо выявлять и исключать из эксперимента. Если нельзя устранить какую-либо сис-

тематическую погрешность, то необходимо вводить соответствую-

щую поправку в результаты измерений.

Случайные погрешности – это погрешности, которые приводят к различным результатам измерений, выполненных одним и тем же методом, под влиянием случайных объективных и субъективных причин, которые невозможно предсказать или учесть. При бесконечно большом числе измерений случайные погрешности принимают ряд непрерывных значений. Причем погрешности одинаковой абсолютной величины встречаются одинаково часто, а сама частота появления погрешностей уменьшается с увеличением значения погрешности, т. е. большие погрешности встречаются реже, чем малые.

На практике случайные погрешности оцениваются как абсолютные отклонения от среднего значения искомой величины, или вычисляются как интервалы, в которых они находятся с определенной доверительной вероятностью.

Абсолютной случайной погрешностью (ошибкой) измерения ΔХ_i называется абсолютное значение отклонения отдельного i-того результата измерения X_i от среднего значения X_ср :

ΔХ_i = |X_i - X_ср| (2) Абсолютной среднеарифметической погрешностью среднего арифметического результата измерений называется величина, равная

(3)

Если при использовании какого-либо средства измерения искомая величина определяется только один раз, то за среднюю абсолютную погрешность принимается погрешность, указанная на приборе, или вычисленная по классу точности. Если на измерительном устройстве не указаны ни абсолютная приборная погрешность, ни класс точности, то за среднюю абсолютную погрешность принимается погрешность отсчета, равная половине цены наименьшего деления шкалы прибора.

Точность выполненных измерений определяется относительной погрешностью, вычисляемой как отношение абсолютной погрешности к среднему значению искомой величины:

(4)

Обычно относительная погрешность выражается в процентах.

Окончательный результат измерений представляется в виде:

X = X_ср ± ΔX_ср (5)

Более полную и объективную оценку случайной ошибки можно дать по методу Стьюдента. Согласно этому методу, после нахождения значений X_ср и ΔХ_i по формулам (1) и (2), определяется величина средней квадратичной погрешности среднего арифметического S_Xcp :

(6)

Затем, найдя по таблице 1 коэффициент Стьюдента t_α,n , зависящий от числа измерений n и доверительной вероятности α , вычисляется величина погрешности измерения X_{α, n} по следующей формуле:

X_{α, n} = t_{α, n}· S_Xcp (7)

Таблица 1. Коэффициенты Стьюдента

α n	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	0,95	0,997
3	0,82	1,06	1,4	1,9	2,9	4,3	26
4	0,77	0,98	1,3	1,6	2,4	3,2	10
5	0,74	0,92	1,2	1,5	2,1	2,8	7
8	0,71	0,9	1,1	1,4	1,9	2,4	5
10	0,7	0,88	1,1	1,4	1,8	2,3	4
∞	0,67	0,84	1	1,3	1,6	2	3

Окончательный результат измерений представляется в виде:

X = X_ср ± X_{α, n} (8)

или

X_ср – X_{α, n} ≤ X ≤ X_ср + X_{α, n} (9)

При этом обязательно следует указывать единицу измерения данной физической величины и числовые значения α и n . Результат, представленный в виде (8) или (9), означает, что истинное значение измеренной величины X находится в доверительном интервале от X_ср - X_{α, n} до X_ср + X_{α, n} с доверительной вероятностью  .

В заключение отметим, что доверительный интервал X_{α, n} = σ , вычисленный с вероятностью α = 0,7, называется стандартной погрешностью. Доверительные интервалы, найденные для вероятностей 0,95 и 0,997, превышают стандартную погрешность соответственно в 2 и 3 раза. При выполнении лабораторных работ рекомендуется принимать значение α = 0,95.