16.Св-ва опр.Инт-ла(ои)
1.Пост.множ-во (const)можно выносить со знака ОИ:∫аbAf(x)dx= =A∫abf(x)dx
2.∫ab(f1(x)±f2(x))dx=∫abf1(x)dx±∫abf2(x)dx
3.Если на [a;b] Ұx f(x)≤φ(x) ∫abf(x)dx≤∫abφ(x)dx
4.Если m и M наим. и наиб. зн-я f(x) Є[a;b],то m(b-a)≤∫abf(x)dx≤M(b-a)
5.Теорема о среднем: если f(x) непрерывна на [a;b],то на этом отр. найдется такая точка Ẽ Є (a;b),что ∫abf(x)dx=(b-a)·f(Ẽ)
6.A,B,C ∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫abf(x)dx,если только все эти инт-лы сущ-ют.
17.Ои с переменным верхним пределом.
∫abf(x)dx,где b-перем.(меняет зн-я).Пусть в ОИ ∫bf(x)dx нижний предел a-закреплен,а верхний предел b-меняется.Тогда будет меняться зн-е ОИ,т.е.инт.-это ф-я,завис. от верхнего предела.Для того,чтобы иметь привычные обозн-я,верхний предел обозн. через x,а подинт-ю перем-ю через t.Мы получим: Ф(х)=∫axf(t)dt
Теорема: если f(x) непрер. на отр. ф-я и Ф(х)=∫axf(t)dt,то имеет место рав-во:Ф`(X)=f(x),т.е. произв. от ОИ по верхнему пределу=подинт. ф-и,в кот. вместо перем. Интеграции подставлено зн-е верхнего предела.
18.Методы вычисл-я ои.
Теорема:если F(x)-первообр. от непрер.ф-и f(x),то справедл. ф-ла:∫abf(x)dx=F(x)|ab=F(b)-F(a).Этот метод исп-ся,когда может быть найдена первообр.(F) для подинт.ф-и f(x).Ф-ла инт-я по частям:∫ab udv=uv|ab-∫ab vdu.
Инт-е методом подстановки:
Т-ма:если ф-я 1)x=φ(t) и ее произв. x`=φ`(t) непрер.на инт. tЄ [ά;β]
2)Множ.зн-й ф-и x=φ(t) при tЄ[ά;β] явл. отр.[a;b] в частности φ(ά)=a,φ(β)=b
3)f(φ(t)) опр-на и непрер.на отр.[a;b]:∫ab b(x)dx=∫άβf(φ(t))φ`(t)dt(ф-ла замены перемен-х в ОИ.Замечание:
1)При вычисл-и ОИ метод подст-ки возвр. к старой перем-й не требуется.
2)Часто вместо подст-ки x=φ(t) исп. подст-ка t=g(x)
3)Не следует забывать менять пределы интегр-я при замене перем-х.
19.Экономич-й смысл ои.
Пусть ф-я z=f(t) опис. изм. произв-ти некот. произв-ва с течением времени.Найдем объем продукции U,произв-й за промежуток времени[0;T].Если произв-ть не изм. с теч. времени,то ф-я f-постоянная.Объем продукции-ΔU произв. за время[t;t+Δt]задается ф-лой ΔU=f(t)·Δt.В общем сл. справ.приближ. рав-во ΔU≈f(Ẽ)·Δt,где Ẽ-точка из инт.[t;t+Δt].Разобъем наш интервал на n-частей:t0=0…≤t1≤t2≤…≤tn.Для величины объема продукции ΔUi имеем:f(Ẽi)Δti для всех i от [1;n].При усл.,что max Δti→0 каждая из исп-мых приближений будет более точной.ΔUi=limmaxΔt→0f(Ẽi)Δti.Учитывая опр. ОИ,получим:U=∫0Tf(t)dt.Т.е.,если f(t)-производ. труда в момент t,то ОИ ∫0Tf(t)dt предст.собой объем выпускаемой продукции за промежуток [0;T].ВЫВОД:Величина объема произв.продукции за промеж.времени[0;T]численно равна площади под графиком ф-и(криволин. трапеции)z=f(t),кот. описывает изм-я произв-ти труда с теч. времени от [0;T] или u=∫0Tf(t)dt.
№20 Геометрические приложения определённого интеграла
S-и плоских фигур
Декартова сис-ма координат
***S криволиней ной трапеции, расположенной выше ОХ: S = ∫ваf(x) dx, где f(x)>=0, x Є [a,b]
S криволиней ной трапеции, расположенной ниже ОХ,т.е. f(x)<0: S = - ∫ваf(x) dx
В общем случае: S =│ ∫ваf(x) dx│
2)Фигура описывается двумя кривыми f1(x )>f2(x)
S = ∫ваf2(x) dx- ∫ваf1(x) dx
3)если фигура имеет сложную форму, то рямыми параллельными ОУ её следует разбить на части,чтобы применить известные формулы.
4)Если криволинейная трапеция ограничена у=с,у= d,ОУ,х=φ(у)>=0,то S= S = ∫dexdy
5) криволинейная трапеция ограничена кривой,заданной параметром
X=x(t),y=y(t) ,где tЄ[a,b]
X=a,x=b => S = |∫αβy(t) x(t)dt|
Полярная сис-ма координат
S фигуры, ограниченной непрерывными линиями r=r(φ), φ=α, φ=β,α< β. r, φ-полярные координаты
S =1/2∫αβ r 2(φ)d φ
***V тела
1)по известным площадям параллельных сечений, перпендикулярныхнекоторой оси (ОХ)
S(х), где хЄ[а,в] => V = ∫ва S (x) dx-ф-ла V тела по S параллельных сечений
2) V тела вращения
Вокруг ОХ вращается криволинейная трапеция, полученная на кривой у=f(x).Кр.тр. ограничена линиями х=а,у=в, у=f(x).
V= π∫вау2dу
Вокруг ОУ вращается криволинейная трапеция, полученная на кривой у=f(x).Кр.тр. ограничена линиями х=0,у=с, у=d,х= φ(у)
V= π∫dcx2dу
***Вычисление длины дуги
В прямоуг сис-ме координат задана прямая АВ, Ур-ие котор запис-ся по ф-ле y=f(x), где хЄ[а,в].Если y=f(x) непрерывна и её произв-ая = y’=f’(x),то она имеет длину
Lab=∫βα
dt
Пусть кривая АВ задана Ур-ем в полярных координатах: z(φ),α<=φ<=β.Предоложим,что z(φ),r’(φ)- непрерывные ф-ции на отрезке [α,β], тогда
Lab=∫βα
dφ
***S фигуры вращения
АВ имеет график
ф-ции y=f(x)>=0,
xЄ[а,в].
Если ф-ции у и у’ непрерывны на отрезке
[а,в], то Sх==∫вау
dφ,где
у’x=у’х
Если параметрически задана прямая,т.е. х=х|t|, y=y|t|, α<=t<=β
Sх==∫αβу(t)
dt