Тема 4. Выборочный метод
В результате выборочного обследования стажа работы сотрудников предприятия получены данные, сведенные в таблицу:
|
Стаж работы (лет)
|
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
|
Число работников
|
m1 |
m1 |
m1 |
m1 |
m1 |
m1 |
N - общее число сотрудников.
Определить:
а). средний стаж работы и среднее квадратическое отклонение;
б). доверительный интервал, в котором с надежностью 0,9973 заключен
в).средний стаж работы сотрудников всего предприятия при повторном и
бесповторном
отборе;
г).доверительный интервал, в котором с надежностью 0,9545 заключена доля сотрудников предприятия, имеющих стаж работы х4 лет и более при
повторном и бесповторном отборе.
N=2500
№2.
|
Стаж работы (лет) |
3 |
7 |
8 |
10 |
12 |
15 |
|
Число работников |
7 |
6 |
5 |
9 |
4 |
10 |
Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей.
Применяется критерий Фишера - Снедекора F. При этом
Fнабл.= Sб2: Sм2 ; Si2 = [ni : (ni – 1)]*σi2 ( i = 1,2)
Sб = max { S1, S2}, Sм = min { S1, S2}
Число степеней свободы: k1* = n1-1, k2*= n2-1,
где n1* - объем выборки, по которой вычисляется большая исправленная
дисперсия, n2* - объем выборки, по которой вычисляется меньшая исправленная дисперсия. По таблице распределения критических точек Фишера - Снедекора находится FKp (α, ki, k2) при односторонней критической области и FKp (α/2, ki, k2) при двусторонней критической области.
Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых известны (большие независимые выборки:
(n1>30,и n2 >30).
Применяется критерий Z нормального распределения. При этом
Zнабл. = [(x1( выбор)- x2(выбор))] : √[(D1 : D2)]
Значение Zкp находится из условий:
Ф(Zкр. ) = 1 - α при двусторонней критической области,
Ф(Zкр. ) = 1 – 2α при односторонней критической области.
Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых неизвестны, но считаются одинаковыми (малые независимые выборки: (n1≤30,и n2 ≤30)
Используется критерий Т распределения Стьюдента. При этом
Т набл. = [(x1( выбор)- x2(выбор))] : √[(n1-1)*S12 + (n2-1)*S22] * √[ ( n1* n2)* (n1+ n2 -2)] : (n1+ n2).
Число степеней свободы : k = n1 + n2 – 2.
Значение ttp(α, k) находится по таблице распределения критических точек Стьюдента..
Сравнение средней нормальной генеральной совокупности со стандартом.
Дисперсия генеральной совокупности известна (большая выборка: n>30)
Применяется критерий Z нормального распределения. При этом
Zнабл. = [(x выбор – α) * √n] : √D
Значение Zкp находится из условия:
Ф(Zкp) = 1 - α при двусторонней критической области,
Ф(Zкp) = 1 - 2α при односторонней критической области.
Сравнение средней нормальной генеральной совокупности со стандартом
Дисперсия генеральной совокупности не известна (малая выборка: n ≤ 30).
Применяется критерий Стьюдента Т. При этом
Т = [(x выбор – α) * √n] : √S
Число степеней свободы : k= n - 1 .
Значение tкp(α, k) находится по таблице распределения критических точек Стьюдента.
Выбор знака неравенства в альтернативной гипотезе.
1. Сравнение генеральных средних.
а)Если по данным выборочного обследования x1 > x2, то в гипотезе H1 нужно взять знак «>» или «≠». При этом, если выборки малые, необходимо учитывать также значение заданного в условии задачи уровня значимости α. Например, если α =0,1, то надо брать знак «≠», так как в таблице распределения критических точек Стьюдента приведены значения tкp (α, k) только для двусторонней критической области.
Пусть α =0,005. В гипотезе H1 надо взять знак «>», так как значения tкp (α, k)
даны в таблице только для односторонней критической области.
Если α =0,01, то в гипотезе H1 можно поставить знак «>» или «≠», потому что
значения tкp (α, k) приведены в таблице как для односторонней, так и для
двусторонней критических областей.
б)Если x1 < x2, то в гипотезе Н1 берется знак «<» и «≠». При малых выборках необходимо руководствоваться пояснениями, приведенными выше.
2. Сравнение генеральных дисперсий.
а) Пусть по условию задачи σi2 > σ22 . В гипотезе Н1, надо взять знак «>» или «≠». В первом случае по таблице распределения критических точек Фишера - Снедекора находится Fкp (α, k1, k2), во втором случае Fкp (α /2, k1, k2). Поэтому при выборе знака неравенства необходимо принимать во внимание значение заданного уровня значимости а, так как в данном методическом пособии приведены значения Fкp при α =0,05, 0,025; 0,01; 0,005.
б) Если σi2 < σ22 , то в гипотезе берется знак «≠». Знак «<» брать нельзя, так как в этом случае критическая область будет левосторонняя и Fнaб (Fнаб всегда больше единицы ) никогда не попадет в критическую область, т.е. вероятность попадания в критическую область равна нулю. Это противоречит условию задачи. Действительно, вероятность отвергнуть правильную нулевую гипотезу, т.е. вероятность того, что Fнаб попадет в критическую область, равна заданному значению α.
3. Сравнение генеральной средней со стандартом. Для выбора знака неравенства в гипотезе H1 при решении этого типа задач надо руководствоваться пояснениями, приведенными в п.1. При малой выборке необходимо сначала по данным обследования найти выборочную среднюю х выб и выборочную дисперсию σвыб2.
Задача 1. Для сравнения точности двух станков-автоматов по двум независимым выборкам объемов n1 и n2, извлеченным из нормально распределенных генеральных совокупностей х1и х2, найдены выборочные средние квадратические отклонения σ12. и σ22. При уровне значимости α проверить нулевую гипотезу Н0: D1 = D2 при конкурирующей Н1: D1 > D2 (1-15 варианты) и при H1 : D1 = D2 (16-30 варианты). Какой из станков лучше налажен? Данные приведены в таблице.
|
Номер варианта |
n1 |
n2 |
σ 1 |
σ2 |
α | ||||||
|
1 |
18 |
15 |
0,9 |
0,8 |
0,01 | ||||||
|
2 |
10 |
12 |
1,2 |
1,1 |
0,025 | ||||||
|
3 |
13 |
14 |
0,8 |
0,6 |
0,01 | ||||||
|
4 |
13 |
18 |
1,8 |
0,7 |
0,025 | ||||||
|
5 |
9 |
12 |
0,5 |
0,3 |
0,005 | ||||||
|
6 |
8 |
10 |
1,2 |
0,8 |
0,01 | ||||||
|
7 |
14 |
20 |
1,6 |
0,9 |
0,05 | ||||||
|
8 |
13 |
17 |
2,7 |
2,5 |
0,005 | ||||||
|
9 |
20 |
19 |
2,4 |
2,2 |
0,025 | ||||||
|
10 |
12 |
18 |
3,1 |
2,5 |
0,05 | ||||||
|
11 |
21 |
24 |
0,7 |
0,6 |
0,025 | ||||||
|
12 |
8 |
9 |
0,8 |
0,6 |
0,05 | ||||||
|
13 |
12 |
11 |
3,3 |
2,8 |
0,025 | ||||||
|
14 |
11 |
14 |
1,7 |
0,8 |
0,01 | ||||||
|
15 |
7 |
10 |
0,6 |
0,3 |
0,025 | ||||||
|
16 |
16 |
11 |
1,6 |
3,2 |
0,02 | ||||||
|
17 |
17 |
13 |
1,5 |
1,8 |
0,05 | ||||||
|
18 |
14 |
12 |
3,1 |
3,6 |
0,02 | ||||||
|
19 |
17 |
20 |
0,6 |
0,4 |
0,01 | ||||||
|
20 |
12 |
16 |
1,1 |
2,7 |
0,1 | ||||||
|
21 |
13 |
15 |
0,1 |
0,4 |
0,02 | ||||||
|
22 |
18 |
13 |
1,3 |
2,2 |
0,05 | ||||||
|
23 |
13 |
10 |
2,7 |
2,4 |
0,01 | ||||||
|
24 |
10 |
14 |
2,7 |
2,9 |
0,02 | ||||||
|
25 |
11 |
12 |
1,3 |
0,7 |
0,05 | ||||||
|
26 |
14 |
17 |
0,9 |
1,2 |
0,1 | ||||||
|
27 |
10 |
9 |
1,3 |
0,9 |
0,05 | ||||||
|
28 |
11 |
15 |
0,2 |
0,6 |
0,01 | ||||||
|
29 |
13 |
15 |
1 1,8 |
0,9 |
0,02 | ||||||
|
30 |
15 |
14 |
0,5 |
0,4 |
0,01 | ||||||