4. Рівняння які нерозв’язні відносно похідної

. (2)

Рівняння (2) називають диференціальним рівнянням першого поряд­ку, не розв’язаним відносно похідної або неявним диферен­ціаль­ним рівнянням першого порядку.

Розв’язком диференціального рівняння (2) на деяко­му інтервалі називають функцію , яка визначена і неперервно дифе­рен­­ційовна на цьому інтервалі і перетворює рівняння (2) у тотожність

.

Функцію, яка задана параметрично, , ,

називають розв’язком рівняння (2) на проміжку , якщо для всіх виконується тотожність

, причому , .

Теорема 1. Нехай функція у рівнянні (2) задовольняє такі три умови:

1. вона визначена і неперервно диференційовна разом з своїми частин­ними похідними в деякому замкненому околі точки ;

2. ;

3. 

Тоді рівняння (2) має єдиний розв’язок , визначений і неперервно диференційовний у деякому околі точки , який задо­вольняє початкову умову , і для якого .

Нехай кожне з цих рівнянь має загальний розв’язок

, (5)

або загальний інтеграл , , (6)

де С – довільна стала. Сукупність загальних розв’язків (5) або загаль­них інте­гралів (6) називають загальним інтегра­лом рівняння (2)

Розв’язок рівняння (2), в кожній точці графіка якого виконується умова єдиності розв’язку задачі Коші, називають частинним роз­в’яз­ком цього рівняння.

Особливим розв’язком рівняння (2) називають розв’язок, у кож­ній точці графіка якого порушується властивість єдиності, тобто через кожну точку якого проходить щонайменше дві інтегральні кри­ві, що мають однаковий напрям дотичної.

Рівняння степеня n. Найбільш важливим частковим випад­ком рів­нян­ня (1) є рівняння першого порядку n-го степеня. Так нази­вають рівняння вигляду

(9) де – функції, неперервні у деякій області , причому

Відкидаючи комплексні значення, матимемо диференціальних рівнянь першого порядку, розв’язаних відносно похідної:

(10)

Припустимо, що в кожній точці області G інтегральні кри­ві різних рівнянь (10) не дотикаються одна до одної. Тоді сукупність загальних розв’яз­ків ,

або загальних інтегралів ,

рівнянь (10) є загальним інтегралом рівняння (9). Його можна запи­са­ти також у вигляді

або як

5. Рівняння, які не допускають зниження порядку

Розглянемо диференціальне рівняння

(1)

Якщо ввести нову невідому функцію за формулою

, (2)

то рівняння (1) можна записати у вигляді

(3)

Отримане рівняння (3) має -ий порядок, тобто за допомогою заміни (2) вдалося понизити порядок рівняння (1) на k одиниць.

Припустимо, що розв’язуючи рівняння (3), нам вдалося знайти його загальний розв’язок . Тоді, враховуючи (2), для знахо­дження функції отримуємо рівняння k-го порядку

, (4)

яке розглядалось на лекції 9 (формула (10)). Інтегруючи рівняння (4), одержимо ще k довільних сталих. Таким чином, одержимо

.

Якщо є загальним інтегралом рівняння (3), то при­хо­димо до рівняння вигляду , яке вивчалось раніше (лекція 9, формула (9)). Якщо це рівняння допускає параметричне представлен­ня, то отримаємо загальний розв’язок (у параметричній формі) за допомогою k довільних сталих.

6. Лінійні однорідні рівняння n-го порядку зі сталими коеф.

   Розглянемо рівняння (1),де коефіцієнти – сталі дійсні числа, а – неперервна на інтер­валі функція .Загальним розв’язком буде лінійна комбінація

,

де – довільні ста­лі.

. (5)

Рівняння (5) називають характеристичним рівнянням, яке від­по­відає диференціальному рівнянню (2), його корені – характе­рис­тичними числами рівняння (2), вираз у лівій частині (5) – характе­рис­тичним многочленом.

Випадок 1. Усі характеристичні числа рівняння (5) прості (різні) і дійсні. Тоді, функції

є частинними розв’язками рівняння (2). Покажемо, що ці розв’язки є лінійно незалежними, тобто утворюють ФСР. Це випливає з того, що вронскіан функцій відмінний від нуля. Справді:

Очевидно, що ,