- •§1. Введение……………………………………………………………..Стр.3-5
- •§2. Геометрические приложения определенного интеграла.
- •1. Вычисление объема тела
- •2. Вычисление площади плоской фигуры
- •3. Вычисление площади поверхности вращения
- •3. Физические приложения определенного интеграла
- •5. Вычисление статических моментов и координат центра тяжести плоской фигуры
- •4. Примеры.
5. Вычисление статических моментов и координат центра тяжести плоской фигуры
Пусть дана материальная плоская фигура (пластинка), ограниченной кривой у=f(х)≥0 и прямыми у=0, х=а, х =b) (рис 7).
рис 7
Будем считать, что поверхностная плотность пластинки постоянна (=const). Тогда масса всей пластинки равнат.е.
Выделим элементарный участок пластинки в виде бесконечно узкой вертикальной полосы и будем приближенно считать его прямоугольником.
Тогда масса его равна . Центр тяжестипрямоугольника лежит на пересечении диагоналей прямоугольника. Эта точкаотстоит от оси Ох на, а от оси Оу на x (приближенно; точнее на расстоянии). Тогда для элементарных статических моментов относительно осей Ох и Оу выполнены соотношения
Следовательно,
По аналогии с плоской кривой получаем, обозначив координаты центра тяжести плоской фигуры (пластинки) через С(), что.
Отсюда
Или
4. Примеры.
Задание 1. Найти длину окружности радиуса R
Решение: Найдем часть ее длины от точки (0;R). Так как
Задание 2. Вычислить объем V кругового конуса с радиусом основания r и высотой h
Решение: проведем через ось конуса секущую плоскость и выберем эту ось за ось х,считая начальной точкой вершину конуса; ось у проведем перпендикулярно к оси конуса. Уравнение образующей конуса будет
и по формуле
получим:
Задание 3: Найти путь, пройденный телом за 4 секунды от начала движения, если скорость тела v(t)=10t+2 (м/с).
Решение: Если v(t)=10t+2 (м/с), то путь, пройденный телом от начала движения (t =0) до конца 4-й секунды, равен
Задание 4: Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями ,,вокруг оси
Решение:
Аналогично можно доказать, что объём тела, полученного вращением вокруг оси Оу можно вычислить по формуле
Задание 5. Вычислить массу стержня на отрезке от 0 до 2, если его плотность задаётся функцией (слайд 19)
Решение:
Задание 6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .
Решение.
Находим точки пересечения заданных линий. Для этого решаем систему уравнений:
Для нахождения абсцисс точек пересечения заданных линий решаем уравнение:
или .
Находим: x1 = -2, x2 = 4.
Итак, данные линии, представляющие собой параболу и прямую, пересекаются в точках A(-2; 0), B(4; 6).
Эти линии образуют замкнутую фигуру, площадь которой вычисляем по указанной выше формуле:
По формуле Ньютона-Лейбница находим: