- •Высшая математика математический анализ функций одной переменной
- •0501 „Экономика и предпринимательство”,
- •0502 „Менеджмент”
- •Издание рассмотрено и рекомендовано к печати на заседании кафедры физико-математических дисциплин (протокол № 5 от 13 января 2009 г.);
- •Содержание
- •Краткие теоретические сведения
- •1. Пределы и непрерывность функции
- •1.1. Предел числовой последовательности и функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы функции в точке.
- •1.2. Основные теоремы о пределах
- •1.3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •1.4. Примеры вычисление пределов
- •1.5. Непрерывность функции
- •Вопросы для самоконтроля
- •2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- •2.1. Производная функции. Геометрический смысл производной функции
- •2.2. Общие правила дифференцирования функции.
- •Основные правила дифференцирования
- •Производная сложной функции
- •Сводная таблица формул дифференцирования
- •Производная обратной функции
- •Дифференцирование функций, заданных параметрически
- •Дифференцирование неявной функции
- •Логарифмическое дифференцирование
- •Производные высших порядков
- •2.3. Дифференциал функции
- •2.4. Применение дифференциального исчисления функции одной переменной
- •2.4.1. Применение производной при вычислении пределов.
- •Правило Лопиталя
- •2.4.2. Возрастание и убывание функции на интервале
- •2.4.3. Экстремумы функции
- •2.4.4. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
- •Значений функции на отрезке:
- •2.4.5. Выпуклость графика функции. Точки перегиба
- •Интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба:
- •2.4.6. Асимптоты графика функции
- •2.4.7. Полное исследование функции и построения ее графика.
- •2.5. Вопросы для самоконтроля
- •3. Интегральное исчисление функции одной переменной
- •3.1. Неопределенный интеграл
- •3.1.1 Свойства неопределённого интеграла.
- •3.1.2. Таблица неопределенных интегралов
- •3.1.3. Основные методы интегрирования
- •Метод непосредственного интегрирования
- •Метод замены переменной
- •Метод интегрирования по частям
- •3.1.4. Интегрирование дробно-рациональных функций
- •Интегрирование простейших дробей
- •3.1.5. Интегрирование тригонометрических функций.
- •, , .
- •3.1.6. Интегрирование некоторых видов иррациональных функций
- •3.1.7. Интегрирование дифференциального бинома
- •3.1.8. Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции
- •3.1.9. Вопросы для самоконтроля
- •3.2. Определенный интеграл
- •3.2.1. Интегральная сумма и определенный интеграл
- •3.2.2. Свойства определенного интеграла
- •3.2.3. Вычисление определенного интеграла
- •Метод замены переменной в определенном интеграле
- •Метод интегрирования по частям в определенном интеграле
- •3.2.4. Несобственные интегралы
- •3.2.5. Геометрические приложения определенного интеграла
- •Вычисление площадей плоских фигур в декартовых координатах
- •Вычисление объема тела вращения
- •Вычисление длины дуги кривой
- •3.2.6. Вопросы для самоконтроля
- •Литература
- •Индивидуальные задания для расчетно-графической работы
- •4) ; 5).
- •1511 Группа
Вычисление длины дуги кривой
Если функция и ее производнаянепрерывны на отрезке , то длина дуги кривой на отрезке определяется по формуле:
.
Пример 45.
Вычислить длину дуги кривой отдо.
Решение.
Найдем производную заданной функции: . Подставим производную в формулу для вычисления дуги кривой. Границы промежутка интегрирования равны:;.
(ед.).
3.2.6. Вопросы для самоконтроля
Что называется интегральной суммой?
Что называется определенным интегралом функции на отрезке?
Каков геометрический смысл определенного интеграла?
Перечислите основные свойства определенного интеграла.
Запишите формулу Ньютона-Лейбница.
В чем заключается интегрирование методом подстановки определенного интеграла?
В чем заключается метод интегрирования по частям определенного интеграла?
Запишите формулу интегрирования по частям.
Что называется несобственными интегралами?
Какие бывают виды несобственных интегралов?
Какие существуют геометрические приложения определенного интеграла?
Как вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными линиями?
Как вычислить объем тела вращения фигуры, ограниченной линиями, вокруг координатной оси?
Как вычислить длину дуги плоской кривой?
Литература
Основная:
Вища математика: Навчальний посібник: У 2 ч./ Ф.М. Ліман, В.Ф. Власенко, С.В. Петренко та інші, За заг. ред. Ф.М. Лимана. – Суми; ВТД „Університетська книга”, 2006. – 614 с.
Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. – 6-е изд. – М.: Наука, 1986. – 576 с.
Шипачев В.С. Высшая математика: Учебник для ВУЗов – 6-е изд. – М.: Высш. шк., 2003. – 479 с.
Высшая математика для экономистов: Учебник для ВУЗов / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман; Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – 2-е изд. – М., ЮНИТИ, 2002. – 471 с.
Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. – 10-е изд. – М.: Наука, 1969. – 352 с.
Шипачёв В.С. Задачник по высшей математике: Учебн. пособие для ВУЗов – 3-е изд. – М.: Высш. шк., 2002. – 304 с.
Дополнительная:
Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. Т. 1, 2. – 7-е изд. – М.: Наука, 1966. – т.1 – 552 с., т.2 – 312 с.
Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа для втузов. – 7-е изд. – М.: Наука, 1971. – 736 с.
Шипачёв В.С. Основы высшей математики: Учебн. пособие для ВУЗов – 5-е изд. – М.: Высш. шк., 2003. – 479 с.
Соболь Б.В., Мишняков Н.Т., Поркшеян В.М. Практикум по высшей математике. – Ростов н/Д: Изд-во «Феникс», 2004. – 640 с.
Индивидуальные задания для расчетно-графической работы
ЗАДАНИЕ 1. Вычислить пределы.
1. а) ; б); в);
г) ; д).
2. а) ; б); в);
г) ; д).
3. а) ; б); в);
г) ; д).
4. а) ; б); в);
г) ; д).
5. а) ; б); в);
г) ; д).
6. а) ; б); в);
г) ; д).
7. а) ; б); в);
г) ; д).
8. а) ; б); в);
г) ; д).
9. а) ; б); в);
г) ; д).
10. а) ; б); в);
г) ; д).
11. а) ; б); в);
г) ; д).
12. а) ; б); в);
г) ; д).
13. а) ; б); в);
г) ; д).
14. а) ; б); в);
г); д).
15. а) ; б); в);
г) ; д).
16. а) ; б); в);
г); д).
17. а) ; б); в);
г); д).
18. а) ; б); в);
г) ; д).
19. а) ; б); в);
г) ; д).
20. а) ; б); в);
г) ; д).
21. а) ; б); в);
г) ; д).
22. а) ; б); в);
г) ; д).
23. а) ; б); в);
г); д).
24. а) ; б); в);
г); д).
25. а) ; б); в);
г); д).
26. а) ; б); в);
г); д).
27. а); б); в);
г) ; д).
28. а) ; б); в);
г) ; д).
29. а) ; б); в);
г) ; д).
30. а) ; б); в);
г) ; д).
ЗАДАНИЕ 2. Найти производные данных функций, используя формулы дифференцирования в произвольной точке.
1. а) б)у = ln arctg x2; в) ;
г) ; д); е)х2 + cos xу2 – 2у = 0.
2. а) б)у = 5ln ctg 2; в) ;
г) ; д); е) sinx – arctg y + ху = 0.
3. а) ; б) у = ln arctg2 x2; в) ;
г) ; д); е) ех – cosху – y3 = 0.
4. а) б)у = arctg3; в)
г) д); е)х sin у – у cos x – 2 = 0.
5. а); б); в);
г); д) ; е) ex – x2 + yex – e y = 0.
6. а) б)у = ln4 cos; в);
г) д); е) 2x – sin 2x – х2y2 = 0.
7. а) ; б) ; в);
г) ; д); е) exy – x2 + y2 = 0.
8. а) б)у = sin3 еtg 3x; в) ;
г) ; д); е)y sin x + cos y = 0.
9. а) ; б); в);
г) ; д); е) cos (x – y) – 2x + 4y = 0.
10. а) ; б)у = ; в);
г) ; д); е).
11. а) ; б)у = ; в);
г); д); е)xy + ln y + cos 2x = 0.
12. а) ; б)у = ln arcsin x2; в) ;
г) ; д); е).
13. а) ; б)у = arccos; в);
г) ; д); е) (x + y)2 = x – y.
14. а) ; б)у = log5sin(x2 + 2x + 2); в);
г) ; д); е)y ln x – x ln y = x + y.
15. а) ; б); в);
г) ; д); е)x3 y3 – 2 x y + 3 = 0.
16. а) ; б)у = tg3arcsin; в);
г) ; д); е)x2 y2 – cos (x + у2) = 0.
17. а) ; б)у = arctg3; в);
г) ; д); е) cos (x y) – 2x + 3у2 = 0.
18. а) ; б); в);
г) ; д); е).
19. а) ; б); в);
г); д); е) 5x2 y2 – 7y + 9 = 0.
20. а) ; б)у = arctg3(x5 – 3x); в) ;
г) ; д); е)x3 y3 – 2 x y – 3 = 0.
21. а) ; б)у = ln tg2; в) ;
г) ; д); е)x2 + x4 y2 + у4 = 3.
22. а); б)у = ln(); в);
г); д); е)x2 + sin y2 – x y = 0.
23. а) ; б); в);
г); д); е)x3 + y3 – 3 x2 y = 0.
24. а) ; б)у = sin; в);
г) д); е)x4 + y4 – x2 y2 = 0.
25. а) ; б)у = log3arcsin3x; в);
г) ; д) ; е)y – x еу – sin ху + 3 = 0.
26. а) ; б)у = ln2arcsin; в);
г)д); е)y3 + еху + x3 – 4 = 0.
27. а) ; б)у = ; в);
г) ; д); е)x y + 2еу – 4 = 0.
28. а) ; б)у = ; в);
г) ; д); е)x3 y3 – sin y + 3 = 0.
29. а) ; б)у = arcsin; в);
г) ; д); е) 2sinx + cos xy 2 = 0.
30. а) ; б)у = tg sin2cos4x; в);
г) ; д); е)x3 y2 – cos y + 4 = 0.
ЗАДАНИЕ 3. Провести полное исследование функций по схеме:
Область определения функции.
Непрерывность функции, вертикальные асимптоты.
Точки пересечения функции с осями координат.
Четность, нечетность.
Периодичность.
Промежутки возрастания, убывания, экстремумы функции.
Промежутки выпуклости, вогнутости, точки перегиба.
Наклонные асимптоты.
Построение графика.
1. а) y = ;2. а) y = ;
б) у = х; б) y = x lnx;
3. а) y = ;4. а) y =
б) y = x – lnx; б) y = ;
5. а) y = ;6. а) y = ;
б) y = exe–x; б) y = xe–x;
7. а) y = ;8. а) y = ;
б) y = ; б) y = ;
9. а) у = ;10. а) у = ;
б) у = ; б)у = ;
11. а) у = ;12. а) у = ;
б) у = ; б)у = ;
13. а) у = ;14. а) у = ;
б) у = ; б)у = ;
15. а) у = ;16. а) у = х + ;
б) у = ; б)у = ;
17. а) у = ;18. а) у = ;
б) у = ln(x2 + 4x); б) y = ;
19. а) у = ;20. а) у = ;
б) у =; б)у = х2е–х;
21. а) у = ;22. а) у = ;
б) у = х – 2lnx; б) у = ;
23. а) у = ;24. а) у = ;
б) у = ; б)у = ;
25. а) у = ;26. а) у = ;
б) у = ; б)у = ;
27. а) у = ;28. а) у = ;
б) у = х2 lnx; б) у = ;
29. а) у = ;30. а) у = ;
б) у = ; б)у = .
ЗАДАНИЕ 4. Вычислить неопределенные интегралы.
1. 1); 2); 3);