- •Министерство аграрной политики украины
- •Издание рассмотрено и рекомендовано к печати на заседании кафедры физико-математических дисциплин (протокол № 2 от 9 октября 2007г.);
- •Содержание
- •1. Линейная алгебра
- •1.1. Системы линейных уравнений
- •1.2. Метод обратной матрицы
- •1.3. Метод Крамера
- •1.4. Метод Гаусса
- •1.5. Вопросы для самоконтроля
- •2. Аналитическая геометрия на плоскости
- •2.1. Линии первого порядка
- •2.2. Линии второго порядка Окружность
- •Гипербола
- •Парабола
- •2.3. Вопросы для самоконтроля
- •3. Векторная алгебра
- •3.1. Основные определения и понятия
- •3.2. Скалярное произведение векторов
- •3.3. Векторное произведение векторов
- •3.4. Смешанное произведение векторов
- •3.5. Вопросы для самоконтроля
- •4. Аналитическая геометрия в пространстве
- •4.1. Плоскость в пространстве
- •4.2. Прямая в пространстве
- •4.3. Прямая и плоскость в пространстве
- •4.4. Вопросы для самоконтроля
- •Литература
- •Индивидуальные задания к расчётно-графической работе Задание 1
- •Задание 2
- •Задание 3
- •Задание 4
- •Задание 5
- •Для выполнения ргр
- •211 Группа
- •212 Группа
- •213 Группа
- •214 Группа
- •215 Группа
- •311 Группа
- •312 Группа
- •313 Группа
- •314 Группа
- •315 Группа
- •316 Группа
- •1111 Группа
- •1112 Группа
- •1211 Группа
- •1212 Группа
- •1311 Группа
- •1312 Группа
- •1313 Группа
- •1511 Группа
- •1512 Группа
1. Линейная алгебра
1.1. Системы линейных уравнений
Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n переменных, называется система вида:
где числа аij, i = 1, 2,…, m, j = 1, 2, …, n, называются коэффициентами при переменных, числа bi – свободными членами уравнений.
Систему можно записать в компактной матричной форме
А · Х = В,
где А – матрица коэффициентов при переменных; Х – матрица-столбец переменных; В – матрица-столбец свободных членов:
А = ,Х = ,В = .
Решением системы называется такая совокупность n чисел (х1 = k1, x2 = k2, …, xn = kn), при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.
Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.
Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. В последнем случае каждое ее решение называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением.
Две системы называются эквивалентными (равносильными), если они имеют одно и то же общее решение. Эквивалентные системы получаются при элементарных преобразованиях системы при условии, что преобразования выполняются лишь над строками.
К элементарным преобразованиям относятся следующие:
1) Умножение строки на число, отличное от нуля.
2) Прибавление к одной строке другой, умноженной на любое число.
3) Перемена местами двух строк.
Для нахождения решения системы линейных уравнений применяют метод Крамера, метод обратной матрицы и метод Гаусса.
1.2. Метод обратной матрицы
Пусть число уравнений системы равно числу переменных: т = п. Тогда матрица системы является квадратной. Ее определитель (А) называется определителем системы.
Для получения решения системы линейных уравнений при т = п в общем виде предположим, что квадратная матрица системы А невырожденная: ее определитель (А) ≠ 0. В этом случае существует обратная матрица А-1.
Умножим обе части матричного равенства А Х = В на матрицу А-1 слева. В результате получим такие соотношения:
А–1 (АХ) = А–1В;
А–1 (АХ) = (А–1А) Х = ЕХ = Х.
Следовательно, решением системы линейных уравнений методом обратной матрицы является матрица-столбец, равная произведению обратной матрицы А-1 и матрицы свободных членов В:
Х = А–1 В.
Отыскание решения системы по данной формуле называют матричным методом решения системы.
Пример 1. Решить систему линейных уравнений матричным методом
Решение.
Обозначим: А – матрица коэффициентов при переменных; Х – матрица-столбец переменных х1, х2, х3; В – матрица-столбец свободных членов:
А = ,Х = ,В = .
Исходную систему уравнений запишем в матричном виде:
А · Х = В.
Решение системы будем искать в виде:
Х = А–1 ·В.
Вычислим определитель матрицы А:
∆ = = 18 + 3 + 4 – 2 – 12 – 9 = 2 0.
Так как ∆ 0, то матрица А имеет обратную матрицу А–1.
Найдем транспонированную матрицу АТ:
АТ = .
Вычислим союзную матрицу Ас, составленную из алгебраических дополнений Aij элементов матрицы АТ:
Ас = =.
Запишем обратную матрицу А–1:
А–1 = =.
Найдем решение системы линейных уравнений в матричной форме:
Х = А–1 · В = ∙=
= .
Отсюда х1 = 2, х2 = 3, х3 = –1.