РГР_ВчМ_1_-2_kurs_33__33 / РГР вчм -2 курс / ргр но 1 / В-11 / РГР-ДУ высших порядков В-11

Задание №1. Найти решение дифференциальных уравнений , построить соответствующие кривые:

1. 

>> y=dsolve('Dy=2*x*y/(x^2+y^2)','x')

y =

[ 1/2*exp(C1)+1/2*(exp(C1)^2+4*x^2)^(1/2)]

[ 1/2*exp(C1)-1/2*(exp(C1)^2+4*x^2)^(1/2)]

>> % строим симейство интегральных кривых :

>> for C1=2:3:9

y1=1/2*exp(C1)+1/2*(exp(C1)^2+4*x^2)^(1/2);

y2=1/2*exp(C1)-1/2*(exp(C1)^2+4*x^2)^(1/2);

ezplot(y1), hold on, grid on, ezplot(y2)

end

>> % подставляем начальные условия и строим интегральную кривую:

end

>> y=dsolve('Dy=2*x*y/(x^2+y^2)','y(-3)=8','x')

y =

55/16+1/2*(3025/64+4*x^2)^(1/2)

>> ezplot(y)

>> grid on

2. , если y(1)=1;

>> y=dsolve('Dy=3^x+y','x')

y =

1/(-1+log(3))*exp(x*log(3))+exp(x)*C1

>> % строим симейство интегральных кривых :

>> for C1=2:3:9

y=1/(-1+log(3))*exp(x*log(3))+exp(x)*C1;

ezplot(y), hold on, grid on

end

>> % подставляем начальные условия и строим интегральную кривую:

>> y=dsolve('Dy=3^x+y','y(1)=1','x')

y =

1/(-1+log(3))*exp(x*log(3))+exp(x)*(-4+log(3))/exp(1)/(-1+log(3))

>> ezplot(y), grid on

*************************************************************************

Задание №2. Найти символьное и численное решения (на интервале [-1;1]) дифференциального уравнения .

1. 

.

>> % Аналитическое решение уравнения:

>> y=dsolve('D3y+5*D2y+7*Dy+3*y=(16*x+20)*exp(x)','x')

y =

exp(x)*x+C1*exp(-x)+C2*exp(-3*x)+C3*exp(-x)*x

>> % строим симейство интегральных кривых :

>> for C1=2:3:9

for C2=2:3:9

for C3=2:3:9

y=exp(x)*x+C1*exp(-x)+C2*exp(-3*x)+C3*exp(-x)*x;

ezplot(y), hold on, grid on

end

end

end

>> % подставляем начальные условия и строим интегральную кривую:

>>y=dsolve('D3y+5*D2y+7*Dy+3*y=(16*x+20)*exp(x)','D2y(1)=-1,Dy(1)=3, y(1)=5','x')

y =

exp(x)*x+(8*exp(1)^2-21/2*exp(1))*exp(-x)+(-2*exp(1)^4+5/2*exp(1)^3)*exp(-3*x)+(-7*exp(1)^2+13*exp(1))*exp(-x)*x

>> ezplot(y), grid on

>> % Численное решение:

>> % создаем файл-функцию:

function d=fun(x,y)

d=[y(3); y(2); (16*x+20)*exp(x)-5*y(3)-7*y(2)-3*y(1)];

>> [X Y]=ode113(@fun,[1 1.6], [-1 3 5]);

>> plot(X,Y,'r')

>> grid on

2. 

.

>> % Аналитическое решение уравнения:

>> y=dsolve('D2y+2*Dy=3*exp(x)*(sin(x)+cos(x))','x')

y =

9/10*exp(x)*sin(x)-3/10*exp(x)*cos(x)+C1+C2*exp(-2*x)

>> for C1=2:3:9

for C2=2:3:9

y=9/10*exp(x)*sin(x)-3/10*exp(x)*cos(x)+C1+C2*exp(-2*x);

ezplot(y), hold on, grid on

end

end

>> % подставляем начальные условия и строим интегральную кривую:

>> y=dsolve('D2y+2*Dy=3*exp(x)*(sin(x)+cos(x))','Dy(0)=pi, y(0)=pi','x')

y =

9/10*exp(x)*sin(x)-3/10*exp(x)*cos(x)+3/2*pi+(3/10-1/2*pi)*exp(-2*x)

>> ezplot(y), grid on

>> % Численное решение:

>> % создаем файл-функцию:

function d1=fun1(x,y)

d1=[y(2); 3*exp(x)*(sin(x)+cos(x))-2*y(2)];

>> [X Y]=ode45(@fun1,[0 5], [pi pi]);

>> plot(X,Y,'r')

>> grid on

*************************************************************************

Задание №3. Найти численное и символьное решение (на интервале [0;3]) системы дифференциальных уравнений, построить графики решений.

>> % Символьное решение:

>> % создаем файл-программу:

function sistem1

syms C1 C2

clc

[x y]=dsolve('Dx=-x+8*y','Dy=x+y');

disp('x=')

pretty(x)

disp('y=')

pretty(y)

subplot(2,1,1)

hold on

grid on

for c1=0:3

for c2=0:3

subplot(2,1,1)

ezplot(subs(x,[C1 C2],[c1 c2]));

subplot(2,1,2)

ezplot(subs(y,[C1 C2],[c1 c2]));

end

end

x=

2/3 C1 exp(-3 t) + 1/3 C1 exp(3 t) + 4/3 C2 exp(3 t) - 4/3 C2 exp(-3 t)

y=

1/6 C1 exp(3 t) - 1/6 C1 exp(-3 t) + 1/3 C2 exp(-3 t) + 2/3 C2 exp(3 t)

>> % Численное решение:

>> % создаем файл-программу:

function st

syms C1 C2

clc

[x y]=dsolve('Dx=-x+8*y','Dy=x+y','x(0)=1, y(0)=-1');

disp('x=')

pretty(x)

disp('y=')

pretty(y)

% [T M] - матрицa, T - вектор-столбец со значениями независимой переменной,

% M - матрица, столбцы которой содержат значения m(1), m(2);

[T M]=ode113(@ff,[0 3],[1,-1]);

% Значения переменной X находятся в 1 столбце матрицы М.

X=M(:,1);

% Значения переменной Y находятся в 2 столбце матрицы М.

Y=M(:,2);

% Создаем графическое окно и делим его на две части.

% В первом строим функцию х

subplot(2,1,1)

hold on

grid on

plot(T,X,'r*')

ezplot(x,[0,3])

% - функцию у

subplot(2,1,2)

hold on

grid on

plot(T,Y,'m')

ezplot(y,[0 3])

% функция для вычисления правых частей уравнений системы

% x=m1, y=m2, m1'=-m(1)+8m(2); m2'=m(1)+m(2);

function f=ff(t,m)

f=[-m(1)+8*m(2); m(1)+m(2)];

x=

-exp(3 t) + 2 exp(-3 t)

y=

- 1/2 exp(3 t) - 1/2 exp(-3 t)

10