3. Оценка качества модели.

В таблице приведем вычисленные по модели значения Y и значения остаточной компоненты.

t	Y	X1	X2	yt	y-yt
1	36	40	32	48,95584	-12,9558
2	28	44	40	59,27904	-31,279
3	66	28	44	53,71713	12,28287
4	74	52	28	52,13475	21,86525
5	80	50	50	72,7788	7,2212
6	84	64	56	87,07446	-3,07446
7	82	70	50	84,69382	-2,69382
8	98	68	56	89,45747	8,542532
9	112	78	60	99,38508	12,61492
10	96	90	62	108,5191	-12,5191
	756	584	478

Y-	Y-- (Y-)		(Y-)^2				Yt-		(Yt-)^2		y-	(y- )^2
-23,279044	10,323204	106,5685	167,8538		110,2		110,2		709,9113		-39,6	1568,16
-25,717128	-5,561916	30,93491	978,3786		110,2		110,2		266,3736		-47,6	2265,76
13,865248	-1,582376	2,503914	150,8689		110,2		110,2		478,8601		-9,6	92,16
1,2212	20,644048	426,1767	478,0891		110,2		110,2		550,6179		-1,6	2,56
-7,074464	14,295664	204,366	52,14573		110,2		110,2		7,959169		4,4	19,36
-0,69382	-2,380644	5,667466	9,452329	110,2		110,2		131,6633		8,4		70,56
-7,457468	4,763648	22,69234	7,256666		110,2		110,2		82,69756		6,4	40,96
-1,385078	9,92761	98,55744	72,97485		110,2		110,2		192,0294		22,4	501,76
3,48086	9,134062	83,43109	159,1363		110,2		110,2		565,7299		36,4	1324,96
47,04416	-59,5633	3547,787	156,7289		110,2		110,2		1083,67		20,4	416,16
	0	4528,685	2232,885				-0,00447		4069,512		5,68	6302,4

Проверку независимости проведем с помощью d – критерия Дарбина – Уотсона:

В качестве критических табличных уровней при N=10, двух объясняющих факторах при уровне значимости в 5% возьмем величины d1=0,98 и d2=1,54.

Из формулы следует, что при отсутствии автокорреляции d=2 (приблизительно), при полной положительной автокорреляции d=0 (приблизительно), при полной отрицательной d=4 (приблизительно).

Проверим наличие автокорреляции.

Для этого вычислим коэффициент автокорреляции и проверим его значимость при помощи критерия стандартной ошибки.

Y	y+1	y^2	y+1^2	y*y+1
36	28	1296	784	1008
28	66	784	4356	1848
66	74	4356	5476	4884
74	80	5476	6400	5920
80	84	6400	7056	6720
84	82	7056	6724	6888
82	98	6724	9604	8036
98	112	9604	12544	10976
112	96	12544	9216	10752
96	36	9216	1296	3456
756	756	63456	63456	60488

Коэффициент автокорреляции определим по формуле:

Определим среднее квадратическое отклонение как

Если r1 находится в интервале – 0,529*0,316≤ r1*0,529≤0,316, то можно считать, что данные не показывают наличие автокорреляции первого порядка, так как -0,167≤ r1*0,529≤0,316, и свойство независимости выполняется.

Вычислим для модели коэффициент детерминации.

Составим расчетную таблицу.

Y			(Yt-)	(Yt-)^2	(Y-)	(Y-)^2
36		75,6	-26,6442	709,9113	-39,6	1568,16
28		75,6	-16,321	266,3736	-47,6	2265,76
66		75,6	-21,8829	478,8601	-9,6	92,16
74		75,6	-23,4652	550,6179	-1,6	2,56
80		75,6	-2,8212	7,959169	4,4	19,36
84		75,6	11,47446	131,6633	8,4	70,56
82		75,6	9,09382	82,69756	6,4	40,96
98		75,6	13,85747	192,0294	22,4	501,76
112		75,6	23,78508	565,7299	36,4	1324,96
96		75,6	32,91914	1083,67	20,4	416,16
756			-0,00447	4069,512	5,68434E-14	6302,4

Следовательно, около 35,43% вариации зависимой переменной учтено в модели и обусловлено влиянием включенных факторов.

Проверку значимости уравнения регрессии произведем на основе вычисления F – критерия Фишера:

Табличное значение F критерия при доверительной вероятности 0,95 при V1=к=2 и V2=n-л-1=10-2-1=7 составляет 3,81.

Так как Fрасч<Fтабл, то уравнение регрессии следует принять адекватным.

5. Проанализируем влияние факторов на зависимую переменную по модели (для каждого коэффициента регрессии вычислим коэффициент эластичности).

Коэффициент эластичности Э показывает, насколько % изменяется зависимая переменная при изменении фактора на 1%.

Бета коэффициент с математической точки зрения показывает, на какую часть величины среднего квадратического отклонения меняется среднее значение зависимой переменной с изменением независимой переменной на одно среднеквадратическое отклонение при фиксированном на постоянном уровне значении остальных независимых переменных.

Тогда

6. Определим точечные и интервальные прогнозные оценки объема прибыли на два квартала вперед.

Прогнозные значения X1₁₁, X2₁₁, X1₁₂, X2₁₂ определим с помощью экстраполяционного метода.

Воспользуемся трендовой моделью.

Проведем аналитическое выравнивание по прямой. При использовании этого метода применим аналитическое уравнение вида:

X_t=b₀+b₁*t,

где - b₀,b₁ – коэффициенты, рассчитанные по методу наименьших квадратов;

t – порядковый номер периодов.

∑x_i=b₀*n+b₁*∑t_i

∑x_i*t_i=b₀*∑t_i+b₁*∑t_i²

	x1	ti	x1*ti	ti^2	xt	x1-xt	(xi-xt)^2
1	40	-5	-200	25	33,128	6,8725	47,23125625
2	44	-4	-176	16	38,182	5,818	33,849124
3	28	-3	-84	9	43,237	-15,2365	232,1509323
4	52	-2	-104	4	48,291	3,709	13,756681
5	50	-1	-50	1	53,346	-3,3455	11,19237025
6	64	1	64	1	63,455	0,5455	0,29757025
7	70	2	140	4	68,509	1,491	2,223081
8	68	3	204	9	73,564	-5,5635	30,95253225
9	78	4	312	16	78,618	-0,618	0,381924
10	90	5	450	25	83,673	6,3275	40,03725625
∑	584	0	556	110	584	7,1054E-15	412,0727275

b₀=∑x_i/n

b₀=584/10=58.4 млн. руб.

b₁=(∑x_i*t_i)/∑t_i²

b₁=556/110=5.0545 млн. руб.

X1_t=58.4+5.0545*t_i

Прогноз X1 на 11 период при t=6 составит 88,73 млн. руб.

Прогноз X1 на 12 период при t=7 составит 93,78 млн. руб.

Аналогично сделаем прогноз по Х2.

	X2	ti	X2*ti	ti^2	xt	X2-xt	(xi-xt)^2
1	32	-5	-160	25	33,128	-1,1275	1,27125625
2	40	-4	-160	16	38,182	1,818	3,305124
3	44	-3	-132	9	43,237	0,7635	0,58293225
4	28	-2	-56	4	48,291	-20,291	411,724681
5	50	-1	-50	1	53,346	-3,3455	11,19237025
6	56	1	56	1	63,455	-7,4545	55,56957025
7	50	2	100	4	68,509	-18,509	342,583081
8	56	3	168	9	73,564	-17,5635	308,4765323
9	60	4	240	16	78,618	-18,618	346,629924
10	62	5	310	25	83,673	-21,6725	469,6972563
∑	478	0	316	110	584	-106	1951,032728

b₀=478/10=47,8 млн. руб.

b₁=316/110=2,8727 млн. руб.

X1_t=47,8+2,8727*t_i

Прогноз X2 на 11 период при t=6 составит 65,04 млн. руб.

Прогноз X2 на 12 период при t=7 составит 67,91 млн. руб.

Получим прогнозные оценки модели, подставив в нее найденные прогнозные значения факторов Х1 и Х2.

Определим абсолютную ошибку прогноза S_ŷt.

S_ŷt= ∑(y_i-ŷ_t)²/n-m,

где m – количество параметров в уравнении

S_ŷt=√2232,885/(10-3)=17,86 млн. руб.

Определим относительную ошибку прогноза как отношение абсолютной ошибки к среднему значению.

Оŷ_t=17,86/75,6*100% =23,62%.

Рассчитаем доверительный интервал.

ŷ_t-t_α* S_ŷt/√n ≤y≤ ŷ_t+t_α* S_ŷt/√n,

где t_α - табличное значение критерия Стьюдента при уровне значимости α.

α.=0,05.

t_α=2,365 (при V=7).

Для прогнозного значения на 11 период:

110,8 – 2,365*17,86/√10≤у≤110,8 + 2,365*17,86/√10

68,56≤у≤153,04

Таким образом, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что прогнозный объем прибыли находится в пределах от 68,56 до 153,04 млн. руб.

Для прогнозного значения на 12 период:

116,66 – 2,365*17,86/√10≤у≤116,66 + 2,365*17,86/√10

74,42≤у≤158,90

Таким образом, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что прогнозный объем прибыли находится в пределах от 74,42 до 158,90 млн. руб.