только энергией h , но и массой, которую можно найти, применяя формулу Эйнштейна mc2 :

				h mc2 , mф	h			(1.19)
					c2
или	m		h	. Импульс фотона можно определить, как
			c
	ф
				p mфc h		h	.	(1.20)
				c

Из приведенных формул видно, что фотон обладает всеми свойствами частицы.

Наличие у фотона импульса подтверждается явлением давления света на поверхность тела. Пусть за 1 с на единицу площади поверхности тела падает N фотонов. Из них N фотонов отражаются от поверхности и при этом пере-

дают ей импульс, равный

2h

N ( – коэффициент отражения поверхно-

c

сти). Количество поглощенных фотонов равно (1– )N, и переданный поверх-

ности импульс: (1 )N

h

.

c

Тогда давление света на поверхность тела выразится формулой

P

2h

N

h

(1 )N (1 )

h

N .

(1.21)

c

c

c

Величина h N есть интенсивность падающего света I.

P

I

(1 ) .

(1.22)

c

Эта формула совпадает с выражением, полученным на основе электромагнитной теории света, и экспериментально подтверждена в опытах русского ученого П.Н. Лебедева.

Раздел 2. Элементы квантовой механики

В этом разделе изучаются две темы: 1. Корпускулярно-волновой дуализм микрочастиц. Гипотеза де Бройля. 2. Уравнение Шредингера. По материалу этого раздела необходимо ответить на вопросы тренировочного

31

теста № 2, решить задачу в соответствии с шифром из столбика с номе-

рами 531 – 540.

Квантовая (волновая) механика – это физическая теория, описывающая явления атомного масштаба (10–9–10–15 м). При движении частиц со скоростями v c (с – скорость света в вакууме) применяется нерелятивистская квантовая механика. При v ~ c движение микрочастиц, сопровождающееся, как правило, изменением числа частиц, их рождением и поглощением, рассматривается в квантовой теории поля. Объектами изучения квантовой теории являются не только системы микрочастиц, но и кристаллы, атомы, атомные ядра.

Квантовая теория является основой всех современных наук о природе, с ней связаны успехи в создании компьютеров, мобильной связи и других направлений техники.

При изучении этой темы следует осознать принципиальные различия между классическим и квантово-механическим методами изучения физических явлений.

Вклассической механике состояние системы характеризуется координатами (траектория), импульсом, моментом импульса, энергией. Эти величины могут иметь любые значения и изменяются непрерывно. Применяя основной закон механики (второй закон Ньютона) при известных начальных условиях, можно точно предсказать состояние (поведение) системы в последующие моменты времени.

Вквантовой механике величины, характеризующие состояние системы, имеют дискретные значения (изменяются скачком); кроме того, определяются лишь возможные значения величин с некоторой вероятностью. Такова сущность природы материи на уровне микрочастиц.

2.1.Корпускулярно-волновой дуализм микрочастиц. Гипотеза де

Бройля

Изученные ранее оптические явления показывают, что свет обладает двойственной природой.

32

В одних явлениях (интерференция, дифракция, поляризация и др.) свет проявляет себя как волны и описывается уравнением волны для светового вектора (вектора напряженности электрического поля волны)

E E0 cos( t - kx) .

(2.1)

В других явлениях (фотоэффект, тепловое излучение, эффект Комптона и др.) отчетливо выражено поведение света как частиц с энергией h , массой m c h , импульсом p h .

Таким образом, свет соединяет в себе такие свойства как бесконечная протяженность волны и локализация частицы в пространстве.

Многие законы физики отражают симметрию в природе. Например, проводник с током создает магнитное поле и наоборот – электрический ток порождается переменным магнитным полем.

Применяя этот принцип теории познания (принцип симметрии), можно предположить, что обычные частицы вещества (электроны, протоны, атомы, молекулы и др.) в некоторых условиях ведут себя как волны.

Именно такую гипотезу в 1923 г выдвинул французский физик Луи де Бройль, он придал соотношению для импульса фотона p h универсальный характер, т.е. длина волны для частицы

	h	.	(2.2)
	p

Эта формула называется формулой Луи де Бройля, а – дебройлевской длиной волны для частицы с импульсом р.

Гипотеза становится научной теорией, если она подтверждается опытным путем. Поскольку частицы обладают волновыми свойствами, то для них должны наблюдаться дифракция и интерференция. Эти явления осуществляются при определенном соотношении длины волны и периода решетки, поэтому необходимо преобразовать формулу (2.2) так, чтобы было понятно, как можно изменять длину волны:

33

		h	,	W	p2	,	p 2mW .
		mv			2m

Если частица заряженная, то её кинетическую энергию можно изменять с помощью электрического поля:

W qU ,

где q – заряд частицы; U – разность потенциалов двух точек поля. Тогда

	h
		.		(2.3)
	2mqU
Для электронов, ускоренных в электрическом поле
1,23 10 9			м.	(2.31)
	U

Это значение по порядку величины совпадает с периодом кристаллической решетки. Поэтому для проверки гипотезы де Бройля Дэвиссон и Джермер (1927 г) выбрали монокристалл никеля (рис. 2.1).

	Пучок ускоренных электронов направлялся на
	поверхность кристалла, сошлифованную так,
	чтобы атомные плоскости с межплоскостным
	расстоянием d = 0,215 нм были перпендикулярны
	плоскости падения. Приемник электронов пере-
	мещался в плоскости падения электронов. При
	угле = 50о и ускоряющем напряжении U = 54 В
	наблюдался отчетливый максимум. Длина волны
Рис. 2.1	де Бройля, вычисленная по формуле (2.31) и по

условию дифракционного максимума 2dsin(90 - ) m , m = 1, 2, 3,… совпали с точностью до сотых долей нанометров.

Позднее российский физик Тартаковский осуществил дифракцию электронов на поликристаллических пластинках. Электрон при ударе о фотопластинку оказывает на нее такое же действие, как свет.

34

Полученная таким образом картина рассеяния электронов при прохождении через тонкую фольгу из золота имеет вид, типичный для дифракции света (рис. 2.2). Гипотеза де Бройля экспериментально подтверждена для других частиц – протонов, нейтронов, молекул, для

Рис. 2.2 очень слабых потоков частиц.

Таким образом, было экспериментально доказано, что волновые свойства присущи всем микрочастицам.

Опыты по дифракции частиц привели к созданию приборов для изучения структуры поверхностных слоев веществ – электронографов и приборов для изучения структуры органических веществ – нейтронографов.

2.1.1. Соотношения неопределенностей

Опыты по дифракции частиц показывают, что отклонение частицы на тот или иной угол – явление случайное, подчиняющееся теории вероятностей: вероятность попадания в область максимума больше, чем в область минимума. Это говорит о том, что координаты и скорости частиц также имеют случайные значения, т.е. могут быть определены с некоторой вероятностью. Существует принципиальный предел точности измерения этих величин.

Произведение неопределенностей координаты x и импульса px не может быть меньше постоянной Планка. Это утверждение называют принципом неопределенностей Гейзенберга (по имени немецкого физика, сформулировавшего его в 1927 г). Математически это записывается так:

	px x		(2.4)
		2

Подобно выражению (2.4) выполняются соотношения для проекций импульса на оси ОУ и ОZ, причем, каждое из них не зависит от других.

Истинный смысл этих соотношений состоит в том, что в природе не существует состояний частицы с точно определенными значениями обеих величин, если x = 0, то px и наоборот. Таким образом, теряет смысл понятие траектории.

35

Значение соотношений неопределенностей в том, что они устанавливают границы применимости законов классической физики. Если величины, характеризующие состояние частицы, сравнимы с постоянной Планка, то применяется квантово-механический способ описания физических явлений. В противном случае – законы классической физики.

Соотношения неопределенностей являются одним из фундаментальных положений квантовой теории, они отражают волновую природу микрочастиц.

Учитывая связь между импульсом р и кинетической энергией частицы Е

	( E	p2	) и	x p t/m ,	p / m v , соотношение (2.4)	легко преобразовать к
		2m
	виду:
					E t / 2.	(2.5)

Это соотношение неопределенностей Гейзенберга для энергии и времени. Трактовка его такая же, как (2.4). Для измерения энергии с погрешностью E необходимо время, не меньшее, чем t / 2 E .

Соотношения неопределенностей во многих случаях позволяют предсказать поведение системы. Зная энергию состояния частицы, можно оценить время жизни её в этом состоянии.

2.1.2. Волновая функция

Экспериментальное подтверждение волновых свойств частиц привело к необходимости отыскания соответствующей функции для описания состояния частицы. Естественно эта функция должна содержать величины, характерные, как для волн, так и для частиц.

Уравнение для вектора напряженности электрического поля световой волны E E0 cos( t - kx) можно переписать в комплексной форме

E(x,t) E0 exp[-i( t - kx)].	(2.6)
Аналогично для некоторой частицы можно записать волновую функцию,
обозначив её и выразив чисто волновые величины и	через характери-
стики частиц: энергия кванта E h , тогда E .	Волновой вектор

36

k 2 выражается через импульс частицы, если считать, что – это длина

волны де Бройля:	h	, k	2 p		p	.
	p		h
Таким образом
			(x,t) 0 exp[-				i	(Et - px x)].	(2.7)

Приведенные рассуждения нельзя считать выводом для математического выражения волновой функции (x,t) . Выражение (2.7) это уравнение плоской волновой функции, здесь Е – полная энергия частицы, рх – проекция импульса на направление ОХ.

Функцию (2.7) можно записать через r – радиус-вектор, характеризующий положение частицы в пространстве:

(r,t) 0 exp[-i(E t - pr )] .

(2.8)

Волновая функция, будучи комплексной, является ненаблюдаемой. Сопряженные величины Е и t; p и r связаны соотношениями неопределенностей, они не могут быть определены одновременно точно. Все это говорит о том, что волновая функция характеризует вероятностный характер поведения микрочастиц.

Так, например, квадрат модуля – функции дает плотность вероятности нахождения частицы в заданном объеме пространства:

dw					2	,	(2.9)
dV

здесь – комплексно-сопряженная функция. Эта величина является экспериментально наблюдаемой, что подтверждается опытами по дифракции частиц.

Вероятность нахождения частицы во всем пространстве, естественно, равна 1, тогда

				2 dV dV 1.	(2.10)
V				V

37

Это условие нормировки -функции. Оно позволяет вычислять неизвестные коэффициенты.

2.2.Уравнение Шредингера

Вклассической физике величины, характеризующие состояние тела или системы тел, находят как решение соответствующих дифференциальных уравнений (второй закон Ньютона, уравнения электромагнитного поля Максвелла).

Естественно, для волновой функции должно быть соответствующее уравнение, оно должно отражать волновые свойства частиц.

Исходя из оптико-механической аналогии, Э. Шредингер в 1926 г. получил такое уравнение. Оно имеет вид

		2	U i		,	(2.11)
		2m		t

здесь m – масса частицы, U – функция координат и времени, характеризующая силовое поле, в котором находится частица, – оператор Лапласа:

	(	2	+	2	+	2	).
		x2		у2		z2

Особую роль в квантовой теории играют стационарные состояния, в которых все физические величины не изменяются с течением времени. В этом случае волновая функция может быть представлена в виде:

		E
(r,t) (r )e-i t .			(2.12)
Тогда уравнение Шредингера (2.12) запишется так:
	2m	(E - U ) 0 ,	(2.13)
	2

здесь U (r ) – потенциальная энергия.

Физический смысл имеют лишь те решения уравнения (2.13), которые удовлетворяют стандартным условиям: (r ) должна быть конечной, однозначной, непрерывной и гладкой. Это обычные условия для решений дифференциальных уравнений. Такие решения возможны при некоторых значениях энергии Е (собственные значения), каждому значению энергии соответствует решение

38

(собственные функции). Так естественным образом возникает квантование энергии, импульса, момента импульса и возможность найти вероятности тех или иных значений этих величин.

2.2.1. Частица в одномерной потенциальной яме

Проиллюстрируем возможности отыскания волновой функции для частицы, потенциальная энергия U (r ), которой имеет минимум (потенциальная яма) или максимум (потенциальный барьер).

На рис. 2.4 показаны графики потенциальной энергии а) электрона в металле, б) гармонического осциллятора, в) взаимодействия атомов в молекуле.

а) б) в)

Рис. 2.4

Это примеры потенциальной энергии частицы, называемой потенциальной ямой. Уже эти случаи связаны с громоздкими математическими расчетами. Самый простой случай – это одномерная прямоугольная яма U (х)(рис. 2.5, а).

а)	б)	в)
	Рис. 2.5

39

Потенциальная энергия U (x) , при x<0, U (x) при x>l. Чтобы описать поведение частицы, необходимо найти волновую функцию (x) , то есть решить уравнение Шредингера (2.14), полагая в нём U = 0 и учитывая, что дви-

жение происходит в одном измерении ( 2 ):

x2

	2		2m E 0 .		(2.14)
	x2		2
Обозначим	k 2		2m	E .	(2.15)
			2
	2	k 2 0.			(2.16)
	x2
Это уравнение – аналог уравнения гармонических колебаний. Его реше-
ние
	(x) asin(kx ) ,				(2.17)

где а и – произвольные постоянные. (x) однозначна, конечна. Она непре-

рывна при условии (0) 0				и (e) 0 .
Из условия	(0) 0,			аsin 0	следует, что 0 . При			(e) 0 , а
sin kl 0 следует kl n , n = 1, 2, 3….
Подставляя	k	n
			в (2.17), получаем
		e
				En		2 2 n2	, n = 1, 2, 3….	(2.18)
						2me2

Таким образом энергия частицы принимает дискретные значения Е1, Е2, … т.е. квантуется. Это собственные числа задачи, каждому значению Еn соответствует решение уравнения (2.14) – собственная функция n :

n ( ) a sin nl x .

Для определения коэффициента, а воспользуемся условием нормировки

a2 e sin2	n xdx 1,	a	2	.
0	l		e

40

Таким образом, собственные функции имеют вид
n (x)	2 sin	n	x ,	n = 1, 2, 3….	(2.19)
	l	l

На рис. (2.5, б) показаны графики волновых функций, а на рис. (2.5, в) графики (x) 2 , т.е. вероятности нахождения частицы в разных точках участка x 0,l . Согласно принципу неопределенностей энергия частицы в яме не может быть равна нулю.

2.2.2. Потенциальный барьер

Потенциальный барьер – это зависимость U (х), имеющая максимум. В простейшем случае барьер имеет прямоугольную форму (рис. 2.6, а). На рис. 2.6, б показан график волновой функции. U (х)= 0 при х < 0 и х > l U U0 при

0 x l .

а)

б)

Рис. 2.6

В классической физике частица с энергией E U0 не может проникнуть из области 1 в область 3.

В квантовой теории наличие волновых свойств у частиц определяет вероятность нахождения частицы в каждой области и, следовательно, вероятность перехода из области 1 в область 3.

Необходимо найти волновые функции для каждой области 1 , 2 , 3 , а затем квадраты их модулей. Задача решается аналогично случаю для потенци-

41