Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Северо-Западный государственный заочный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1_fizika_ch-2umk-2.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.02.2016

Размер:

2.34 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

2.5.2.2. Лабораторные работы для очно-заочной и заочной форм обучения

№	Наименование лабораторной работы		Кол-
разде-			во
ла			часов
1.1	Электрическое поле в вакууме		4
1.6	Постоянный электрический ток		4
2.1	Магнитное поле стационарных токов		1
2.2	Электродинамические силы магнитного поля		1
2.3	Магнитное поле в веществе		1
2.4	Электромагнитная индукция		1
		ИТОГО: 12	часов

3. Информационные ресурсы дисциплины

3.1. Библиографический список

Основной:

1.Детлаф, А.А. Курс физики: учеб. пособие / А.А. Детлаф, Б.М. Яворский. - М.: Высш. шк., 1989 и др. г. изд.

2.Трофимова, Т.И. Курс физики: учеб. пособие / Т.И. Трофимова. - М.: Высш. шк., 2001 и др. г. изд.

3.Цаплев В.М. Курс физики. Электричество и магнетизм: учеб. пособие / В.М. Цаплев, И.Г. Орехова, Е.А. Лиходаева. - СПб.: Изд-во СЗТУ, 2006. – 129 с.

4.Федорцов А.Б. Курс физики. Колебания и волны. Волновая оптика: учеб. пособие / А.Б. Федорцов, В.М. Цаплев. - СПб.: Изд-во СЗТУ, 2006. – 142 с.

5.Физика. Задания на контрольные работы № 3 “Электричество и магнетизм” и № 4 “Колебания и волны”: метод. указ. / сост.: В.П. Дзекановская и др. – СПб.:

Изд-во СЗТУ, 2006. – 72 с.

6.Физика. Электричество и магнетизм: виртуальный лабораторный практикум: метод. указ. / сост.: В.М. Цаплев, Ю.И. Кузьмин. – СПб.: Изд-во СЗТУ, 2005. -

75с.

7.Козел, С.М. Открытая Физика 1.1. Интерактивный курс физики для использования в вузах / С.М. Козел. – М.: ФИЗИКОН, 2002.

Дополнительный:

8.Савельев, И.В. Курс общей физики. Т.2. / И.В. Савельев. – М.: Наука, 1989 и др. г. изд.

9.Трофимова, Т.И. Физика: 500 основных законов и формул: справ. / Т.И. Трофимова - М.: Высш. шк., 2000.

10.Карташов, Ю.А. Физика: Основные законы и формулы; руководство к решению задач / Ю.А. Карташов, И.В. Попов. - СПб.: СЗПИ, 1998.

11.Трофимова, Т.И. Сборник задач по курсу физики с решениями / Т.И. Трофимова, З.Г. Павлова. - М.: Высш. шк., 1999 и др. г. изд.

12.Чертов, А.Г. Задачник по физике / А.Г. Чертов, А.А. Воробьев - М.: Инте- грал-Пресс, 1997.

Средства обеспечения освоения дисциплины (ресурсы Internet)

13.http://db.informika/ru/spe/prog/prog/zip

14.http://burma.tsu.tula/

15.http://www.gpntb/ru/

16.http://www.stup.ac.ru/

17.http://www.uw.edu.pl

18.http://www.physicon.ru/

19.http://www.physics.ru/

20.http://elib.nwpi.ru/

3.2.Опорный конспект лекций по дисциплине “ФИЗИКА. Часть 2”

3.2.1.ЭЛЕКТРИЧЕСТВО

В первом разделе Вам предстоит изучить следующие темы:

3.2.1.1.Электрическое поле в вакууме

3.2.1.2.Теорема Гаусса

3.2.1.3.Электрическое поле в диэлектриках

3.2.1.4.Проводники в электростатическом поле

3.2.1.5.Энергия электростатического поля

3.2.1.6.Постоянный электрический ток

3.2.1.7.Классическая электронная теория металлов

Необходимо также выполнить 4 лабораторные работы. Для выполнения лабораторных работ по каждой теме раздела следует воспользоваться электронным пособием “Открытая физика“ (п. 6 основного библиографического списка) и методическими указаниями (п. 5 того же списка). Темы работ указываются преподавателем. Вариант выполнения определяется последней цифрой Вашего шифра. Форма отчетности по каждой работе приведена в методических указаниях. После выполнения лабораторных работ по данной теме Вам следует ответить на вопросы промежуточного теста – файл ДОТ_Физика, Часть 2_Word_тест_1.doc. Тест считается успешно выполненным, если Вы правильно ответили на 7 из 10 вопросов.

3.2.1.1. Электрическое поле в вакууме

Все тела в природе способны приобретать электрический заряд, наличие которого обнаруживается по силе взаимодействия между заряженными телами. Два вида зарядов условно называются положительными и отрицательными.

Минимальным по абсолютному значению является заряд всех элементарных частиц e=1,6·10-19 Кл. Все электрические заряды кратны элементарному заряду. Фундаментальным законом является закон сохранения электрического заряда:

суммарный электрический заряд изолированной системы сохраняется посто-

янным. Система называется изолированной, если через ограничивающую ее поверхность не могут проникать заряженные частицы. В замкнутой системе заряды могут появляться парами – положительный и отрицательный заряды.

В данном разделе будем рассматривать неподвижные заряды и соответствующие им статические (т. е. не меняющиеся во времени) электрические поля. На практике приходится иметь дело с реальными заряженными телами, электрический заряд которых не сосредоточен в точке, а распределен по всему телу. Поэтому необходимо ввести понятие плотности распределения заряда. В зависимости от формы тела различают:

– линейную плотность заряда τ:

τ= dqdl

сразмерностью [Кл/м], где dq=τdl считается точечным зарядом, сосредоточенным на бесконечно малом отрезке длины dl;

–поверхностную плотность заряда σ:

σ = dSdq ;

– объемную плотность заряда ρ:

ρ= dVdq

сразмерностью [Кл/м3], где dq=ρdV - точечный заряд бесконечно малого объема заряженного тела.

Точечным зарядом называется заряд, сосредоточенный на теле, размерами которого можно пренебречь по сравнению с расстояниями до других тел.

Закон, определяющий силу взаимодействия точечных зарядов, был сформу-

лирован Кулоном в 1785 г.: величина силы взаимодействия между двумя точечными зарядами в вакууме прямо пропорциональна произведению величин зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:

F0	= k	q1 q2	,	(3.1)
		r2

где k – коэффициент пропорциональности. В международной системе единиц СИ k=1/4πε0, где: ε0=8,85·10-12 Ф/м называется электрической постоянной.

Если взаимодействующие заряды находятся не в вакууме, а в какой-либо среде, то величина силы взаимодействия убывает в ε раз:

F =	1	q q	,	(3.2)
F =	4πε0	1	,	(3.2)
	4πε0	εr2
где ε - относительная диэлектрическая проницаемость среды.
Сила направлена вдоль прямой, которая соединяет эти заряды				(рис. 3.1).
q			q1
r			F

Рис. 3.1

В векторной форме закон Кулона имеет вид

F =	1	q q1	r	.	(3.3)
F =		εr2	r	.	(3.3)
4πε0			r
4πε0

В случае одноименных зарядов вектор F совпадает по направлению с радиу- сом-вектором. Для разноименных зарядов их направления противоположны.

Заряды взаимодействуют через электрическое поле, которое действует на помещенный в него пробный электрический заряд q1. Силовая характеристика электрического поля - напряженность Е численно равна силе, действующей на положительный единичный заряд, помещенный в данную точку поля:

E=F/q1 .

(3.4)

Напряженность - однозначная характеристика электрического поля. Исходя из закона Кулона в векторной форме, следует

E =	1	q	r	.	(3.5)
		εr 2	r
4πε0

Напряженность поля точечного заряда зависит только от заряда источника поля q. На всякий точечный заряд q1 в точке поля с напряженностью E будет действовать сила

F = q1 E.

(3.6)

Каждый заряд создает свое поле независимо от присутствия других зарядов.

Отсюда следует принцип суперпозиции полей: напряженность поля системы зарядов равна векторной сумме напряженностей полей, которые создавал бы каждый из зарядов в отдельности:

N
E = ∑Ei .	(3.7)

i=1

Силовой линией называется линия, касательная к которой в каждой точке совпадает с направлением вектора E в данной точке (рис. 3.2). За направление силовой линии принято направление силы, действующей на положительный заряд.

Рис. 3.2

На рис. 3.3 приведены примеры силовых линий точечного положительного и точечного отрицательного зарядов. Линии напряженности точечного заряда - это прямые, исходящие из заряда, если он положителен, и линии, входящие в заряд, если он отрицателен.

Рис. 3.3

Второй основной характеристикой поля является потенциал - ϕ. Для его определения вычислим работу, которая совершается силами поля неподвижного точечного заряда q при перемещении в этом поле точечного заряда q1 из точки 1 в точку 2 по произвольной траектории (рис. 3.4). На заряд q1 действует электрическая сила Кулона, которая является центральной.

Рассматривая гравитационное поле, которое также является центральным, мы видели, что поле центральных сил консервативно, т. е. работа, совершаемая силами поля по перемещению заряда из одной точки в другую, не зависит от формы пути.

	q1	dr	2
r1		α	2
		α
	r	dl

Рис. 3.4

На бесконечно малом участке траектории dl совершается элементарная ра-

бота dA:

dA = Fdlcosα =	1	qq1	dlcosα =	1	qq1	dr .
		εr 2
4πε0				4πε0	εr 2

При перемещении из точки 1 в точку 2 работа равна

r 2

A12 =

∫

Fdl =

∫

−

4πε0ε

4πε0ε r1

r 2

(3.8)

(3.9)

Отсюда видно, что работа сил электрического поля не зависит от формы траектории, определяется только начальным и конечным положениями пере-

мещаемого заряда. Такое поле является потенциальным. Выше мы видели, что такой же характер имеет гравитационное поле. Работу сил потенциального поля можно представить как убыль потенциальной энергии:

A = − ∆W	p	= −(W	p2	−W	p1	) =W	p1	−W p2 .	(3.10)
12	p		p2		p1		p1

Из сравнения формул (3.9) и (3.10) получается выражение для потенциальной энергии взаимодействия двух точечных зарядов:

W p =	1	qq1	+ const=	1	qq1	.	(3.11)
	4πε0ε			4πε0ε
		r			r

Константа в выражении (3.11) принимается равной нулю, поскольку при удалении заряда q1 на бесконечность (r → ∞) потенциальная энергия взаимодействия стремится к нулю. Потенциальный характер электрического поля позволяет ввести энергетическую характеристику поля – потенциал (ϕ), который

определяется как величина, численно равная потенциальной энергии единичного положительного заряда, находящегося в данной точке поля:

ϕ =	W p	.	(3.12)

	+ q1

С учетом (3.16) и (3.15) получим выражение для потенциала поля точечного заряда:

ϕ =	1	q	.	(3.13)

4πεε		r
	0

Отсюда следует, что потенциал является однозначной энергетической характеристикой поля в данной точке, так как зависит только от заряда источника поля q. Заряд q1, находящийся в поле с потенциалом ϕ, обладает потенциальной энергией:

W p = q1 ϕ.

(3.14)

Работу сил поля по перемещению заряда из точки 1 в точку 2 можно пред-

ставить через разность потенциалов:

A12 =Wp1 −Wp2 = q1(ϕ1 − ϕ2 ).

(3.15)

Если заряд q1 перенести из точки 1 в бесконечность, где потенциал равен нулю (ϕ=0), то работа сил поля будет равна

A1∞ = q1 = q1ϕ.

(3.16)

Отсюда следует другое определение потенциала: потенциал численно равен работе, которую совершают силы поля над единичным положительным зарядом (q1=+1 Кл) при перемещении его из данной точки в бесконечность.

Единицей измерения потенциала в системе СИ является 1Вольт (1 В). Из выражения (1.16) следует, что ϕ1=A1∞/q1, т. е. 1 В = 1 Дж/Кл.

В некоторых случаях используется внесистемная единица энергии - электронвольт (1 эВ) – это энергия, которую приобретает частица, имеющая элементарный заряд, при прохождении разности потенциалов в 1 вольт:

1 эВ=1,6·10-19 Кл·1 B=1,6·10-19 Дж.

Для закрепления настоящей темы рассмотрим пример 1.

Пример 1

Тонкий прямой стержень длиной 10 см равномерно заряжен с линейной плотностью заряда 1 нКл/см. На продолжении оси стержня, на расстоянии 20 см от ближайшего конца, находится точечный заряд 20 нКл. Определить силу взаимодействия стержня и точечного заряда.

Дано:
q1 = 20 нКл = 2 10-8 Кл
τ = 1нКл/см = 10-7 Кл/м
l = 10 cм = 0,1м
а = 20 см = 0,2 м
ѓ = 1
F = ?	Рис. 3.5

Решение. Так как заряженный стержень не является точечным зарядом, то закон Кулона непосредственно применить нельзя. Разобьём стержень на малые элементы (рис. 3.5) и выделим на стержне элемент dr с зарядом dq =τdr . Этот заряд можно рассматривать как точечный. Тогда по

закону Кулона	1	q1dq		1	q1τdr
dF =			=			,
	4πε0 εr2			4πε0 εr2

так как силы d F взаимодействия заряда q1 и зарядов dq на разных эле-

ментах стержня направлены в одну сторону, то геометрическую сумму сил можно заменить алгебраической. Интегрируя это выражение, найдём силу взаимодействия точечного заряда и стержня:

q τ a+l dr

q τ

τl

F =

∫a r 2

−

4πε0

4πε0ε(a + l )a

4πεε0 a

a +l

Произведем вычисления с учётом того, что 1 / 4πε0

= 9 109 м/Ф:

F = 9 10

2 10−8 10−7 0,1

= 3 10

−5

Н.

1 ( 0,2 +0,1) 0,2

Вопросы для самопроверки

1.Дайте определение электрического заряда.

2.Выберите, к какому классу характеристик относится электрический заряд:

•характеристика движения,

•характеристика воздействия,

•характеристика объекта.

3.Перечислите все свойства заряда.

4.Сформулируйте свойство дискретности заряда.

5.Сформулируйте свойство аддитивности заряда.

6.Сформулируйте свойство инвариантности заряда.

7.Напишите закон Кулона для двух неподвижных зарядов.

8.Дайте определение электростатического (электрического) поля.

9.Дайте определение напряженности электрического поля.

10.Напишите формулу, определяющую напряженность электрического поля.

11.Напишите формулу, определяющую электрическую силу, действующую на точечный заряд в электрическом поле с заданной напряженностью.

12.Напишите формулу для напряженности электрического поля точечного заряда, расположенного в начале координат.

13.Сформулируйте принцип суперпозиции для электрического поля.

14.Дайте определение потенциала электрического поля.

15.Напишите формулу для потенциала электрического поля точечного заряда, расположенного в начале координат.

16.Какое поле называется однородным?

3.2.1.2. Теорема Гаусса

Напряженность Е является основной силовой характеристикой электрического поля. Кроме этой величины вводится также вектор электрической индукции (электрического смещения), который связан с вектором Е соотношением

D = εε0 E.

(3.17)

Вектор D пропорционален вектору Е, и силовые линии вектора D совпадают с силовыми линиями напряженности. Модуль вектора D не зависит от свойств среды и не меняется при переходе через границу раздела диэлектриков.

Введем понятие потока вектора Е (или D) через площадку и определим элементарный поток dNE через бесконечно малую площадку dS, в пределах которой поле однородно. Пусть площадка ориентирована под произвольным углом α к вектору Е в данной точке (рис. 3.6).

Элементарным потоком вектора Е через dS называется скалярное произве-

дение вектора E на вектор площадки dS, т. е.

dN E = EdS = EdScosα = E n dS,

(3.18)

где

dS=ndS.

(3.19)

dNE

Рис. 3.6

Если поверхность S имеет произвольную форму, а поле, в котором она находится, неоднородно, то всю поверхность можно разбить на бесконечно малые участки dS, в пределах каждого из которых поле можно считать однородным. Тогда полный поток NE через всю поверхность S определится суммированием (точнее, интегрированием) элементарных потоков через все площадки dS:

N E = ∫En dS.	(3.20)
S
Аналогично определяется поток вектора D:
N D = ∫Dn ds.	(3.21)
s

Поток NE считается положительным, если силовые линии вектора Е выходят из данной поверхности (т. е. cosα<0), и отрицательным, если силовые линии входят в замкнутую поверхность (т. е. cosα>0).

Поток через замкнутую поверхность записывается в виде

N E = ∫EndS.	(3.22)
S

Одним из простых методов вычисления полей в случае непрерывного распределения зарядов является применение теоремы Гаусса. Для произвольной замкнутой поверхности S и поля в любой среде с диэлектрической проницаемостью ε эта теорема формулируется следующим образом:

	N
∫Dn dS = ∑qi ,		(3.23)
S	i =1

т. е. поток вектора электрического смещения через произвольную замкнутую поверхность численно равен алгебраической сумме N зарядов, находящихся внутри этой поверхности.

В вакууме D=ε0E, и поэтому запись теоремы Гаусса для вектора напряженности электрического поля в вакууме имеет вид

	N
∫En dS =	∑qi
	i =1		(3.24)
	ε	.	(3.24)
S		0
S

Если внутри замкнутой поверхности находятся недискретные точечные заряды, а свободные заряды, распределенные непрерывно с некоторой объемной плотностью ρ, то

∑qi = ∫ρdV ,

i	V
и теорема Гаусса принимает вид
∫Dn dS = ∫ρdV .		(3.25)
S	V

Выражение (3.25) представляет собой четвертое уравнение Максвелла в ин-

тегральной форме и характеризует структуру электрического поля. Физический смысл этой теоремы состоит в том, что она связывает источники элек-

трического поля (т. е. заряды) с силовой характеристикой этого поля (т. е. с векторами D или E).

Примеры применения теоремы Гаусса

1. Поле равномерно заряженной сферы

Все пространство можно разделить на две части: вне заряженной сферической поверхности и внутри нее.

а) Поле вне сферической поверхности (r > a)

Пусть имеется сфера радиуса а, заряженная равномерно. В качестве вспомогательной поверхности удобно взять сферу радиуса r, концентрическую с заданной сферой. Вектор Е перпендикулярен элементам сферической поверхности и сохраняет постоянное числовое значение. Согласно формуле (3.25), значение Е на поверхности r=const (r > а) равно

Е= q/ε0Sn =q/4πε0r2.

(3.26)

Следовательно, заряд, распределенный равномерно по поверхности сферы, создает вне ее такую же напряженность поля, что и точечный заряд такой же величины, находящийся в центре сферы.

б) Поле внутри сферической поверхности (r < a)

Рассматриваем вспомогательную поверхность радиуса r < а. Так как внутри этой поверхности зарядов нет (q=0), то поток NE=0, следовательно, и Е=0.

На рис. 3.7 показана зависимость абсолютного значения напряженности Е от r.

Рис. 3.7

2.Поле бесконечной равномерно заряженной нити (тонкого цилиндра)

Вэтом случае вспомогательную поверхность целесообразно выбрать в виде коаксиального, с нитью цилиндра радиуса R длиной l (рис. 3.8).

Рис. 3.8

Из симметрии задачи следует, что силовые линии вектора Е направлены вдоль радиусов и лежат в плоскостях, перпендикулярных оси нити. Поэтому поток вектора Е через такую замкнутую поверхность определится только потоком через его боковую поверхность S0

			Е= q/ε0S0,	(3.27)
Где	S0 = 2πRl	-	площадь боковой поверхности;
	q = τl	-	заряд нити длиной l;
	τ	-	линейная плотность заряда.

Тогда при R ≥ r на основе теоремы Гаусса из формулы (3.27) получим

E =	q	=	τl	=	1	τ	,	(3.28)
	ε0S áî ê		2πrlε0			r
					2πε0

т. е. напряженность поля цилиндрической нити определяется линейной плотностью заряда и обратно пропорциональна расстоянию от оси нити.

3. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости

Из симметрии задачи и равномерности заряда следует, что силовые линии вектора Е перпендикулярны плоскости, поле однородно. В точках, симметричных относительно плоскости, напряженности поля одинаковы по величине и противоположны по направлению.

Из характера рассмотренного поля удобно выбрать вспомогательную поверхность в виде цилиндра с образующей, параллельной силовым линиям вектора Е (рис. 3.9), и с основаниями ∆S, расположенными симметрично относительно плоскости. Применим теорему Гаусса: поток через боковую поверхность будет отсутствовать, так как Еn равна нулю, а для оснований Еn=Е в каждой точке.

+σ

∆S

E E

Рис. 3.9

Следовательно, суммарный поток через вспомогательную поверхность равен 2E∆S. Внутри же поверхности сосредоточен заряд q=σ∆S, где σ - поверхностная плотность заряда (положительная). Согласно теореме Гаусса

2E∆S =	σ∆S ,	(3.29)
	ε0

откуда следует, что напряженность поля, создаваемого плоскостью, равна

E =	σ	.	(3.30)

	2ε0

Из выражения (3.30) видно, что поле однородно и определяется только поверхностной плотностью заряда.

4. Поле двух параллельных бесконечных равномерно заряженных плоскостей

Предположим, что мы имеем теперь две плоскости, заряженные с одинаковой поверхностной плотностью σ, но заряды обеих плоскостей имеют противоположные знаки (рис. 3.10).

−σ	+σ
E+	E-	E+
E-

Рис. 3.10

По абсолютной величине напряженности полей, создаваемых каждой плоскостью, одинаковы ( E+ = E− = σ2ε0 ). На основе принципа суперпозиции полей

видно: вне пластин напряженность поля равна нулю, а между плоскостями напряженности полей, создаваемых обеими пластинами, суммируются и в зазоре

E = E+ + E− = 2	σ	=	σ	.	(3.31)
	2ε0
			ε0

Рассмотренный случай является моделью поля плоского конденсатора, если зазор d между пластинами намного меньше размеров пластин.

Для закрепления настоящей темы рассмотрим пример 2.

Пример 2

Электрическое поле создано тонкой бесконечно длинной нитью, равномерно заряженной с линейной плотностью заряда 20 нКл/м. На расстоянии 40 см от нити находится плоская круглая площадка радиусом 1 см. Определить поток вектора напряженности через площадку, если её плоскость составляет угол 30о с линией напряженности, проходящей через середину площадки.

Дано:

τ = 20 нКл/м = 2 10-8 Кл/м

a = 40 см = 0,4 м R = 1 см=10-2 м

β = 30о

_____________

NЕ - ?

Рис. 3.11

Решение. Поле, создаваемое нитью (очень тонким цилиндром), является неоднородным, так как оно изменяется в пространстве,

	E =	1	τ	.

Поэтому поток вектора Er		2πε0 εr
	равен

N E = ∫ E n dS = ∫ E cosαdS,

S S

где α – угол между векторами E и n (рис. 3.11). Так как линейные размеры площадки малы по сравнению с расстоянием до нити (а>>R), то Е в пределах площадки меняется незначительно. Поэтому значения Е и cosα под знаком интеграла можно заменить их средними значениями <E> и <cosα> и вынести за знак интеграла:

NE =< E >< cosα > ∫dS =< E >< cosα > S ,

где S = πR2 .

Заменяя <E> и <cosα> их приближенными значениями ЕА и cosαA, вычисленными для средней точки площадки, получим

NE = EA S cos αA =EA πR2 cosαA .

Из рис. 3.11 следует, что cosαA = cos(π/2− β) = sinβ. Поэтому

NE = EAπR2 sinβ =	1 τ	πR2 sinβ .

2πε0 εa

Производим вычисления, учитывая, что 1/2πε0 = 2 9 109 м/Ф:

NE = 2 9 109 2 10−8 0,5 3,14 (10−2 )2 = 0,14 В м.

1 0,4

Вопросы для самопроверки

1.Какие поля называют электростатическими?

2.Что такое напряжённость электростатического поля?

3.Как определяется направление вектора напряжённости?

4.Что такое поток вектора напряжённости?

5.Какая линия называется силовой? Почему они не могу пересекаться?

6.Какая линия называется эквипотенциальной?

7.Докажите, что эквипотенциальные и силовые линии ортогональны.

8.От чего зависит густота силовых и эквипотенциальных линий?

9.В чём заключается физический смысл теоремы Гаусса?

10.Рассчитайте, используя теорему Гаусса:

а) поле равномерно заряженной бесконечной плоскости; б) поле двух бесконечных параллельных разноимённо заряженных плоскостей; в) поле равномерно заряженной сферической поверхности; г) поле объёмно заряженного шара;

д) поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра (нити); 11. Каким образом теорема Гаусса и следствия из неё могут быть косвенным подтверждением справедливости закона Кулона?

3.2.1.3. Электрическое поле в диэлектриках

Электрическим диполем называется совокупность двух одинаковых по величине разноименных точечных зарядов (+q и -q), расстояние l между которыми мало. Осью диполя называется прямая линия, проходящая через оба заряда. Диполь является моделью молекулы диэлектриков.

F2 p α

	E	x
	l sinα
F1	-q l cosα

Рис. 3.12

Как видно из рис. (3.12), на заряды +q и -q со стороны внешнего электрического поля действует пара сил F, плечо этой пары равно h=lsin α, модуль каждой из сил равен F1=F2=F=qE, а вращающий момент равен

M = qElsinα = pEsinα,

(3.32)

т. е. стремится повернуть диполь так, чтобы его электрический момент установился вдоль линий напряженности поля (α=0). В таком положении на диполь будут действовать только растягивающие силы. Следовательно, однородное электрическое поле оказывает на диполь лишь ориентирующее действие.

Рис. 3.13

Внеоднородном полe (рис. 3.13) на заряды диполя действуют разные по величине силы и после поворота диполь будет втягиваться в область более

сильного поля под действием разности сил F1 и F2.

Диэлектрики отличаются от проводников тем, что в них нет свободных электрически заряженных частиц, т. е. носителей тока.

Если центры тяжести положительных и отрицательных зарядов величиной q каждый находятся на расстоянии l друг от друга, то атомы и молекулы можно рассматривать как диполи.

Взависимости от строения диэлектрики разделяются на три типа:

1.Полярные. Молекулы этих диэлектриков даже в отсутствие электрического поля имеют большой дипольный момент (к таким диэлектрикам относятся, в частности, вода, нитробензол и др.).

2.Неполярные. Молекулы этих диэлектриков симметричны и имеют ничтожно малый дипольный момент (к диэлектрикам такого типа относятся водород, азот, парафин и др.).

3.Ионные кристаллические твердые диэлектрики. К таким диэлектрикам относятся, например, соединения типа NaCl, т.е. соединения положительного иона металла (в данном примере натрия) и отрицательного иона галоида (хлора).

Во внешнем электрическом поле происходит поляризация диэлектрика. Механизм поляризации зависит от типа диэлектрика.

Полярные диэлектрики

В отсутствие поля вследствие теплового движения электрические моменты молекул-диполей ориентированы в пространстве хаотично, т. е. векторы их диполей направлены в разные стороны. Поэтому суммарный дипольный момент диэлектрика, в целом, равен нулю. При внесении полярного диэлектрика в электрическое поле электрический момент каждого диполя ориентируется вдоль силовых линий поля.

Степень ориентации тем выше, чем больше напряженность поля и чем ниже температура. Заряды внутренних диполей компенсируют друг друга. На границах диэлектрика, перпендикулярных полю, остаются нескомпенсированные заряды. Эти заряды называются связанными. Эти заряды существенно отличаются от зарядов, возникающих в электрическом поле на проводниках (электростатическая индукция) тем, что свободные заряды можно снять с проводника, а связанные неотделимы от диэлектрика.

Связанные заряды создают внутри диэлектрика электрическое поле с напряженностью Е', которая направлена противоположно напряженности внешнего поля. Это поле, созданное связанными зарядами, складывается с внешним полем. В результате напряженность суммарного поля Е становится меньше, чем напряженность внешнего поля. Это означает, что силы, действующие на электрический заряд в диэлектрике, меньше сил, действующих на тот же заряд в вакууме:

Е=Е0-Е'. (3.33)

Поляризация полярных диэлектриков называется ориентационной.

Неполярные диэлектрики

В отсутствие внешнего поля в неполярных диэлектриках дипольные моменты молекул равны нулю. Если такой диэлектрик поместить во внешнее электрическое поле, то центры тяжести положительных и отрицательных зарядов смещаются в противоположные стороны, образуя диполи. Дипольные моменты таких диполей называются индуцированными, или наведенными. Величины этих моментов пропорциональны величине напряженности внешнего поля.

Снятие внешнего поля приводит к исчезновению дипольных моментов. Наведенные дипольные моменты ориентированы строго вдоль линий поля, что приводит, как и в полярных диэлектриках, к появлению связанных зарядов на поверхностях диэлектрика (рис. 3.14).

		dx
+σ			−σ
-	−σ'		+σ'+
-			+
-		E	+
-		E	+
-			+
-		E'	+
-		E'	+
-			+
-		o	+
		o
-		E	+
-			+
-			+
-			+
-			+
	Рис. 3.14

Такие диэлектрики характеризуются деформационной, или упругой, поляризацией.

Ионные кристаллы

У этих диэлектриков наблюдается смещение всех положительных ионов вдоль силовых линий поля, а отрицательных ионов - в противоположную сторону. Такое смещение происходит по всему объему кристалла, что приводит к появлению общего электрического момента всего диэлектрика. На поверхностях диэлектрика появляются связанные заряды обратного электрического поля, т. е. такого поля, вектор напряженности которого направлен в сторону, противоположную направлению вектора напряженности внешнего поля.

Степень поляризации диэлектриков характеризуется вектором поляризации Р, определяющим электрический момент единицы объема диэлектрика для физически малого объема, в пределах которого параметры диэлектрика можно считать постоянными:

P = ∑	pi	.	(3.34)

i	∆V

Величина вектора Р зависит от величины дипольных моментов молекул pi, от числа молекул в единице объема (т. е. от плотности вещества) и от степени ориентации диполей (для полярных диэлектриков) .

Вектор P зависит от поверхностной плотности σ' связанных зарядов.

У диэлектриков любого типа, кроме сегнетоэлектриков, вектор поляризации пропорционален напряженности поля в диэлектрике:

P = χε0 E ,

(3.35)

где χ - диэлектрическая восприимчивость, которая характеризует склонность диэлектрика к поляризации, причем χ - безразмерная величина.

Для неполярных молекул связь между диэлектрической восприимчивостью и поляризуемостью молекул β, которая зависит только от строения молекулы, определяется следующим выражением:

χ=nβ,

(3.36)

где n - число молекул в единице объема (концентрация).

На рис. 3.14 видно, что вектор напряженности электрического поля внутри

диэлектрика Е' равен E'= P и направлен противоположно вектору напряжен-

ε0

ности внешнего поля Ео. Напряженность результирующего поля равна

Е=Ео - Е'. (3.37)

Напряженность электрического поля равна

E = E o −		P			= E o			−χE .	(3.38)
E = E o −		ε			= E o			−χE .	(3.38)
			o
Поэтому вектор напряженности поля в диэлектрике
E =	E o			=		E o	.		(3.39)
E =	1+ χ			=			.		(3.39)
	1+ χ					ε
То есть
	ε=χ+1.								(3.40)

Вектор электрической индукции D и вектор поляризации Р связаны между собой так:

D = εo E + P .

(3.41)

Сегнетоэлектрики и пьезоэлектрики

Вещества, обладающие самопроизвольной поляризацией в отсутствие внешнего поля, получили название сегнетоэлектриков, по названию сегнетовой соли. Сегнетоэлектрики имеют следующие особенности:

1. Диэлектрическая проницаемость сегнетоэлектриков имеет очень высокие значения (ε >> 1, у сегнетовой соли ε ≈ 104).

2.Диэлектрическая проницаемость есть функция напряженности поля.

3.Значение вектора поляризации Р определяется не только напряженностью поля в данный момент времени, но и полем, существовавшим в предшествующее время. Это явление называется гистерезисом.

Сегнетоэлектрики - кристаллические вещества. Взаимодействие молекул в сегнетоэлектрике приводит к тому, что в кристалле образуются области, в которых дипольные моменты молекул параллельны друг другу. Эти области спонтанной (самопроизвольной) поляризации называются доменами. Под действием внешнего поля дипольные моменты доменов поворачиваются как целое вдоль напряженности поля.

Выше определенной температуры кристалл теряет свои особые свойства и становится обычным диэлектриком. Это так называемая точка Кюри. При этой температуре вследствие теплового движения меняется кристаллическая структура, т. е. происходит фазовый переход.

Некоторые кристаллы под действием механических деформаций поляризуются. Это явление называется пьезоэффектом, а кристаллы - пьезоэлектриками. Сжатие или растяжение кристалла приводит к появлению на противоположных гранях электрических поляризационных зарядов.

Пьезоэффект используется при создании датчиков, регистрирующих механические деформации (вибрации, звук и др.).

Обратный пьезоэффект: при приложении к кристаллу внешней разности потенциалов он испытывает деформации сжатия или растяжения. Это явление используется для получения ультразвуковых (УЗ) колебаний.

Один из наиболее известных пьезоэлектриков - кварц.

Для закрепления настоящей темы рассмотрим пример 3.

Пример 3

Между двумя параллельными пластинами, заряженными до разности потенциалов 600 В, находятся два слоя диэлектриков: стекла толщиной 5 мм и эбонита толщиной 3 мм. Площадь каждой пластины 200 см2. Определить напряженность поля, индукцию и падение потенциала в каждом слое.

Дано:

U = 600 В

ε1 = 7 (стекло)

d1 = 5 мм = 5 10-3 м

ε2 = 3 (эбонит)

d2 = 3 мм = 3 10-3 м

S = 200 см2 = 2 10-2 м2

________________

Е - ? D - ?

U 1 - ? U2 - ?

Решение. При переходе через границу раздела диэлектриков нормальная составляющая вектора D в обоих слоях диэлектриков имеет одинаковые значения

D1n = D2n.

Между пластинами силовые линии вектора D перпендикулярны к границе раздела диэлектриков, следовательно, D1n = D1 и D2n = D2. Поэтому

D1 = D2 = D.

Учитывая, что D = εε0Е, и сокращая на ε0, получим

ε1E1 = ε2Е2 ,

где Е1 и E2 – напряженности поля в первом и во втором слоях диэлектриков; ε1 и ε2 – диэлектрические проницаемости слоев.

Разность потенциалов между пластинами, очевидно, равна сумме напряжений на слоях диэлектриков:

U = U1 + U2 .

В пределах каждого слоя поле однородно, поэтому U1 = E1 d1 и U2 = Е2d2. С учетом этого равенство получим

U = Е1 d1 + E2 d2.

Совместное решение этих уравнений дает

E1=			ε2U			,	E2=			ε1U				.
	ε	d	1	+ ε d	2			ε	d	1	+ ε	d	2
2				1			2				1

Произведя вычисления, получим

3 600

= 5 104 В/м;

3 5 10−3 + 7 3

10−3

7 600

=11,7 104 В/м;

10−3 + 7 3

10−3

= E d = 5 104

5 10−3 = 250 B;

= E

=11,7 104

3 10−3

= 350 B;

D = D1 = ε0ε1 E1 = 8,85 10−12 7 5 104 = 3,1 10−6 Кл/м2.

Вопросы для самопроверки

1.Что называется электрическим диполем?

2.Что такое диэлектрики и чем они отличаются от проводников?

3.Что такое полярные диэлектрики? Какие вещества относятся к этому типу?

4.Что такое неполярные диэлектрики, и какие вещества относятся к этому типу?

5.Какие кристаллы называются ионными?

6.Что такое ориентационная поляризация и чем она отличается от деформационной поляризации?

7.Что такое диэлектрическая восприимчивость?

8.Что такое поляризуемость кристалла?

9.Дайте определение вектора поляризации.

10.Как связаны между собой вектор поляризации и вектор электрической индукции?

11.Что такое сегнетоэлектрики?

12.Что такое пьезоэффект? Что такое прямой пьезоэффект и что такое обратный пьезоэффект?

3.2.1.4. Проводники в электростатическом поле

Свойства проводников определяются наличием в них свободных электрически заряженных частиц, например электронов в металлах.

Если проводник внести в постоянное электрическое поле, то свободные электроны начнут перемещаться против направления поля E 0 (рис. 3.15).

Электроны сосредоточатся на поверхности, обращенной к положительному полюсу источника поля, а на противоположной стороне проводника остается нескомпенсированный заряд (положительный) такой же величины. Такое разделение будет происходить до тех пор, пока напряженность внутри проводника не станет равной нулю, а линии напряженности вне проводника - перпендикулярными к его поверхности.

Рис. 3.15

Следовательно, нейтральный проводник, внесенный в электрическое поле, разрывает линии напряженности. Они заканчиваются на отрицательных зарядах и начинаются на положительных.

Разделение зарядов на проводнике под влиянием внешнего электрического поля называется явлением электростатической индукции. В процессе разделения зарядов по проводнику протекает ток. Время протекания зависит от длины проводника и составляет ничтожные доли секунды. После разделения зарядов ток прекращается.

Равновесие зарядов в проводнике может наблюдаться лишь в том случае, если напряженность поля внутри проводника равна нулю:

E =0.

(3.42)

Отсюда следует, что разность потенциалов между любыми двумя точками проводника равна нулю.

Из выражения E= -(dϕ/dt) следует, что при E=0, dϕ=0, т. е. на поверхности проводника потенциал постоянен:

ϕ=0.

(3.43)

Таким образом, потенциал всех точек проводника одинаков, а поверхность проводника—это эквипотенциальная поверхность. Следовательно, силовые линии внешнего электрического поля всегда перпендикулярны к поверхности проводника в любой ее точке.

Если рассмотреть зависимость плотности заряда на поверхности проводника от ее кривизны, то можно убедиться, что поверхностная плотность заряда выше там, где больше положительная кривизна поверхности, т. е. в районах малых выступов на поверхности проводника, заострений и т. д.

Опыт показывает, что потенциал уединенного проводника растет пропорционально увеличению электрического заряда на проводнике, т. е. с учетом коэффициента пропорциональности можно записать так:

q=C∆ϕ ,

(3.44)

где С—электрическая ёмкость уединенного проводника. Ёмкость уединенного проводника численно равна количеству электричества, которое надо сообщить проводнику, чтобы его потенциал увеличился на единицу.

Величина ёмкости определяется геометрическими размерами и формой проводника, а также свойствами окружающей среды. Ёмкость уединенного проводника возрастает пропорционально диэлектрической проницаемости среды:

С/Со=ε,

где С –ёмкость проводника в среде с диэлектрической проницаемостью ε; Со — ёмкость этого же проводника в вакууме.

Из определения ёмкости выражения (3.45) можно установить единицу ее измерения. В системе единиц СИ за единицу ёмкости выбрана емкость проводника, на котором изменение заряда в 1 Кл вызывает изменение потенциала в 1 В.

Эта единица называется Фарадой: 1Ф=1 Кл/В. На практике обычно пользуются кратными единицами: 1 мкФ=10-6 Ф и 1пФ=10-9 Ф.

Ёмкость сферического уединённого проводника. Используя формулу для потенциала сферического проводника и с учетом (3441), можно получить:

C =	q	= 4πεε0 R .	(3.45)
	q / 4πεε0 R

Конденсаторы

Уединенный проводник обладает весьма малой электроёмкостью. Кроме того, понятие "уединенный проводник" является абстракцией. В реальности вблизи всегда присутствуют соседние тела, изменяющие ёмкость проводника, который мы считаем "уединенным". Поэтому представляют практический интерес такие устройства, которые не изменяют своей электрической ёмкости под влиянием соседних тел. Такие устройства называются конденсаторами.

Два сближенных на очень малое расстояние проводника образуют устройство большой ёмкости, т. е. конденсатор. Образующие конденсатор проводники называются его обкладками. Чтобы внешние тела не оказывали воздействия на ёмкость конденсатора, обкладкам придают такую форму, чтобы поле, создаваемое накапливаемыми на них зарядами, было практически сосредоточено внутри конденсатора. Этому условию удовлетворяют две пластины, расположенные близко друг к другу, два коаксиальных цилиндра, две концентрические сферы. Конденсаторы бывают плоские, цилиндрические и сферические.

Поскольку поле заключено внутри конденсатора, линии вектора смещения начинаются на одной обкладке и заканчиваются на другой. Следовательно, свободные заряды, возникающие на разных обкладках, имеют одинаковую величину и различны по знаку.

Под ёмкостью конденсатора понимается физическая величина, численно равная заряду, который нужно дополнительно сообщить обкладке конденсатора, чтобы напряжение между обкладками увеличилось на единицу:

C =	∆q	.	(3.46)

	∆U

Ёмкость конденсатора измеряется в Фарадах. Величина ёмкости определяется геометрией конденсатора (размерами и формой обкладок, величиной зазора между ними), а также диэлектрическими свойствами среды в пространстве между обкладками.

В плоском конденсаторе при малой величине зазора между пластинами d поле между обкладками можно считать однородным. Напряженность поля между обкладками равна

E =	σ			=		q		,
	ε	0	ε		ε	ε	S
						0

где S — площадь одной пластины.

В однородном поле связь между напряжением и напряженностью определя-

ется выражением			qd
U = ϕ1 − ϕ2 = Ed =			qd	,
U = ϕ1 − ϕ2 = Ed =			εε0 S	,
т. е.			εε0 S
т. е.	d∆q
∆U =	d∆q	,
∆U =	εε0 S	,
	εε0 S

откуда найдем ёмкость плоского конденсатора:

С =	εε0 S	.	(3.47)

	d

Аналогичным способом можно найти ёмкости цилиндрического и сферического конденсаторов.

Пример 4

Между пластинами плоского конденсатора, заряженного до разности потенциалов 600 В, находятся два слоя диэлектриков: стекла толщиной 5 мм и эбонита толщиной 3 мм. Площадь каждой пластины 200 см2. Определить электроёмкость конденсатора.

Решение. Задача является продолжением предыдущей задачи с теми же условиями. Определим электроемкость конденсатора:

С = q / U,

(3.48)

где q = σS – заряд каждой пластины конденсатора. Учитывая, что поверхностная плотность зарядов σ на пластинах конденсатора численно равна модулю электрического смещения, т. е. σ = D, получим

C = Uq = σUS = DSU .

Проверим, дает ли расчетная формула единицу электроемкости (Ф). Для этого в правую часть формулы вместо символов величин подставим их единицы измерений:

[D[][S]]= Кл/м2 1м2 =1Ф.

U 1B

Произведя вычисления, получим (пФ):

С = 3,1 10−6 2 10−2 =103 10−12 Ф =103 пФ. 600

Вопросы для самопроверки

1.Что такое проводники и чем они отличаются от диэлектриков?

2.Что такое уединенный проводник?

3.Что такое эквипотенциальная поверхность?

4.Что такое электрическая ёмкость?

5.Что представляет собой конденсатор и от чего зависит его ёмкость?

6.Выведите формулы ёмкости плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов.

7.Как изменяется разность потенциалов на обкладках конденсатора при его зарядке и разрядке?

8.Выведите формулы электроёмкости батареи последовательно и параллельно соединённых конденсаторов.

3.2.1.5. Энергия электростатического поля

Как было показано ранее, силы взаимодействия заряженных тел консервативны, так как их работа не зависит от формы пути. Значит, система заряжен-

ных тел обладает потенциальной энергией.

Рассмотрим взаимодействие точечных зарядов q1 и q2, находящихся на расстоянии r12 друг от друга. Заряд q2, находящийся в в поле заряда q1, обладает потенциальной энергией:

W p =	1	q1q2	= q2 ϕ2 ,	(3.49)
	4πε0
		εr12

где ϕ2— потенциал поля, создаваемого зарядом q1 в точке, в которой находится

заряд q2.

Аналогично потенциальная энергия заряда q1 в поле, созданном зарядом q2:

W p = q		1	q2	= q	ϕ .	(3.50)
	1 4πε0		εr12
				1	1

Очевидно, что каждое из этих выражений определяет энергию взаимодействия зарядов W=Wp, поэтому выражение для W в симметричном виде относительно обоих зарядов имеет вид

W =	q1ϕ1 + q2 ϕ2	.	(3.51)

2

Аналогичное выражение для системы, состоящей из N точечных зарядов, записывается так:

W = 1 ∑qi ϕi . (3.52)

2 i =1

Здесь ϕi — потенциал, создаваемый всеми зарядами, кроме i-го, в точке расположения i-го заряда. Из полученных формул видно, что потенциальная энер-

гия одноименных зарядов положительна, разноименных— отрицательна.

Знак потенциальной энергии имеет определенный физический смысл. Дей-

ствительно, всякая система стремится к минимуму потенциальной энергии.

Поэтому силы, действующие в системе, должны иметь такое направление, чтобы энергия системы уменьшалась. Например, если заряды притягиваются, то при уменьшении расстояния между ними энергия системы будет уменьшаться. Если же заряды отталкиваются, то энергия уменьшается при увеличении расстояния между ними. Это приводит к тому, что заряды стремятся разойтись на еще большее расстояние.

Энергия заряженных проводников и конденсатора

Заряд проводника, сосредоточенный на его поверхности, можно рассматривать как совокупность точечных зарядов. Следовательно, можно использовать формулу (3.52) для потенциальной энергии системы точечных зарядов. Поскольку все точки имеют одинаковый потенциал, т. е. являются эквипотенциальными точками, то из формулы (3.52) следует

W =	1	N	ϕqi =	1	ϕ	N	qi	=	qϕ	.	(3.53)
	2	∑		2
					∑			2
		i =1				i =1

Заряд проводника связан с его ёмкостью и потенциалом выражением q=Cϕ. Тогда выражение (3.53) перепишется в виде

W =	Cϕ2	=	q2	.	(3.54)
	2		2C

Конденсатор состоит из двух проводников с зарядами +q и -q. Разность потенциалов на этих проводниках: ϕ1 - ϕ2=U.

Энергия конденсатора определяется следующим выражением:

W= 12 ϕ1∑q++12 ϕ2 ∑q−= 12 [ϕ1(+ q)+ ϕ2 (− q)]= 12 q(ϕ1 − ϕ2)= qU2 . (3.55)

Сучетом того, что ёмкость конденсатора равна C=q/U, формулу для энергии заряженного конденсатора можно также представить в следующем виде:

W = CU 2	=	q2	.	(3.56)

2		2C

Энергию плоского конденсатора можно выразить через величины, характеризующие электрическое поле в зазоре между обкладками. Для этого в формуле (3.56) можно учесть, что C=ε0εS/d и U=Ed. Тогда

W E =	εo εE 2	Sd ,	(3.57)
	2

где Sd=V — объем пространства между пластинами конденсатора, где сосредоточено электрическое поле.

Формула (3.56) связывает энергию конденсатора с зарядом на его обкладках, а формула (3.57) - с напряженностью поля.

Возникает вопрос, что является носителем энергии — заряды или поле, в котором эта энергия сосредоточена?

Электростатика не может дать ответ на этот вопрос, так как постоянные поля и создающие их заряды не могут существовать отдельно друг от друга. В электродинамике рассматриваются переменные во времени поля, которые могут существовать независимо от возбудивших их зарядов и распространяться в пространстве в виде электромагнитных волн. Эти волны переносят энергию (радиоволны, свет и т. д.), и, следовательно, носителем энергии является поле.

Энергия - одна из характеристик состояния материи, следовательно, понятие об энергии не может быть оторвано от понятия о материи. Электрическое поле -

одна из форм материи.

Из формулы (3.57) можно определить энергию, приходящуюся на единицу объема поля, т. е. плотность энергии поля:

wE =	W E	=	εo εE2	.	(3.58)
	V		2

Эта формула получена для однородного поля плоского конденсатора, в котором энергия поля распределена между пластинами практически с одинаковой плотностью. Однако теория показывает, что эта формула справедлива и для са-

мого общего случая - неоднородного и переменного во времени поля.

В случае неоднородного поля объемная плотность энергии определяется формулой

wE =	dW E	.	(3.59)

	dV

Пример 5

Плоский стеклянный конденсатор, заряженный до разности потенциалов 1000 В, обладает энергией 100 мкДж. Площадь пластин составляет 100 см2. Определить расстояние между пластинами, напряженность и объёмную плотность энергии электрического поля конденсатора.

Дано:

U = 1000 В

W = 100 мкДж = 10-4 Дж S = 100 см2 = 10-2 м2

ε = 7

_____________

d = ? ; E = ?; wE = ?

Решение. Энергия плоского конденсатора определяется выражением

W = CU2 2 ,

где C – ёмкость, а U – разность потенциалов на его обкладках. Выражение для ёмкости имеет вид

С = εεd0 S ,

где S – площадь пластин, d – расстояние между ними, ε – относительная диэлектрическая проницаемость вещества между обкладками. Из этих формул получаем выражение для расстояния между обкладками:

d =	εε0SU 2		7 8,85 10−12 10	−2 106		−3	м ≈ 3,1	мм.
		=			= 3,098 10
	2W		2 10−4

Напряженность электрического поля (В/м) равна

Е = Ud = 3,1100010−3 = 326 103 В/м.

Объёмная плотность энергии электрического поля конденсатора:

wE =	W E	=		10	−4	= 3,226 Дж/м3.
	S d		10−2	3,1 10−3

Вопросы для самопроверки

1.От чего зависит потенциальная энергия системы двух зарядов?

2.Что является носителем энергии — заряды или поле, в котором эта энергия сосредоточена?

3.Какой знак имеет потенциальная энергия положительных зарядов?

4.Какой знак имеет потенциальная энергия разноименных зарядов?

5.Напишите формулу для электроёмкости плоского конденсатора.

6.Напишите формулу для электроёмкости цилиндрического конденсатора.

7.Что такое плотность энергии электрического поля?

8.В каких единицах измеряется плотность энергии электрического поля?

3.2.1.6. Постоянный электрический ток

Электрическим током называется направленное движение электрических зарядов под действием электрического поля.

В металлах носителями тока являются свободные электроны, т. е. внешние, наиболее слабо связанные с собственным атомом электроны, подобно электронному «облаку» движущиеся внутри кристаллической решетки металла.

Характеристиками тока являются сила тока I и плотность тока j:

I=dq/dt,

(3.60)

т. е. сила тока определяется величиной заряда dq, переносимого через любое сечение проводника в единицу времени. Если ток не меняется со временем, он называется постоянным. В этом случае

I=q/t.

(3.61)

Единицей тока в системе СИ является Ампер (1 А).

Распределение тока по сечению характеризуется плотностью тока j:

j=dq/dSdt. (3.62)

Плотность тока численно равна заряду, переносимому в единицу времени через единичную площадку, расположенную нормально к движению зарядов.

Условно за направление j принято направление движения положительных носителей тока. В металлах, где носители тока - электроны имеют отрицательный знак, направление тока противоположно движению носителей. В растворах электролитов или в ионизированных газах, где присутствуют заряды обоих знаков, плотность тока складывается из плотности тока положительных зарядов и плотности тока отрицательных зарядов, причем эти токи направлены в про-

тивоположные стороны:

j = j+ + j- .

Если в единице объема содержится n носителей, то под действием напряженности электрического поля носители приобретают скорость vдр, тогда за единицу времени через единичную площадку пройдет nvдр носителей, которые перенесут заряд nevдр (здесь е - элементарный заряд, т.е. заряд, равный заряду электрона). Таким образом, для плотности тока получается следующее выражение:

j = envдр.

(3.63)

dqdt < 0

Рис. 3.16

Для силы тока, протекающего через мысленно выделенную в проводящей среде замкнутую поверхность S, ограничивающую некоторый объем V (рис. 3.16), справедливо уравнение непрерывности в интегральном виде:

∫∂t	∫	jndS ,
∂ρdV = −		jndS ,	(3.64)
V	S

которое является следствием закона сохранения заряда.

Для стационарных токов (т. е. таких токов, когда распределение зарядов в данной точке не изменяется с течением времени, но меняется от точки к точке) уравнение непрерывности примет вид

∫jndS = 0 .

(3.65)

Условию стационарности в уравнении удовлетворяет постоянный ток, текущий по замкнутой цепи. Следовательно, линии постоянного тока всегда замкнуты, не имеют источников, нигде не начинаются и нигде не заканчиваются.

Закон Ома для однородного участка цепи (в интегральной форме)

Однородным называется проводник, не содержащий источников тока. Для того, чтобы в проводнике длиной l (рис. 3.17) длительное время мог протекать постоянный ток I, необходимо внутри проводника поддерживать постоянное электрическое поле напряженностью Е:

E = −	dϕ	= −	ϕ2 − ϕ1	=	ϕ1 − ϕ2	=	U	,	(3.66)
	dl		l		l		l

а на концахпроводника - постоянную разность потенциалов

U = ϕ1 - ϕ2 = const.

ϕ	ϕ 2
1

Рис. 3.17

Опытный закон Ома в интегральной форме устанавливает, что сила тока в проводнике прямо пропорциональна напряжению U на его концах:

	1
I = σR =		U .	(3.67)

	R

Коэффициентом пропорциональности является электропроводность σ, а обратная ей величина R = 1/σ называется сопротивлением проводника. Единица сопротивления в системе единиц СИ 1 Ом — это сопротивление проводника, по которому течет ток в 1 А при напряжении на его концах в 1 В.

Величина сопротивления проводника R зависит от его геометрических размеров и формы, а также от материала, из которого изготовлен проводник:

	R = ρ	l	,	(3.68)
		S

где ρ -	удельное сопротивление проводника, измеряемое в Ом м;
l -	его длина;
S - площадь его поперечного сечения.

Закон Ома для неоднородного участка и для замкнутой цепи

Для поддержания постоянного тока в цепи необходим внешний источник, забирающий энергию извне и превращающий ее в энергию движения зарядов.

Внутри проводника силы электрического поля перемещают заряды в сторону убывания потенциала, а вне проводника внешние (т. е. сторонние) силы должны переносить заряды в направлении возрастания потенциала, т. е. против сил электростатического поля (рис. 3.18). Поэтому силы, вызывающие разделение зарядов во внешней цепи (источнике), называются сторонними силами. Они имеют неэлектрическую природу (механические, химические и др.).

Действие источника характеризуется электродвижущей силой (ЭДС), которая равна работе сторонних сил по перемещению в цепи единичного положи-

тельного заряда:
=	Аст	.	(3.69)

	q

ЭДС, как и потенциал, измеряется в вольтах. Стороннюю силу Fст, действующую на заряд q, можно представить в виде

F ст = q Ест,

(3.70)

где Ест - напряженность поля сторонних сил.

ϕ1	ϕ2< ϕ1		ϕ
		E	2
q	q	E	q
q	q		q

Рис. 3.18

ЭДС, действующая в замкнутой цепи, может быть определена как циркуляция вектора напряженности сторонних сил:

= ∫Elстdl .

(3.71)

Выражение закона Ома для неоднородного участка замкнутой цепи, на участке 1 - 2 которой включен сторонний источник тока dl, имеет вид

12 = ∫2	Elстdl .	(3.72)
1

Кроме сторонних сил, на заряд действуют также силы электростатического поля FЭ=qE. Работа, совершаемая результирующей силой над зарядом q на участке цепи 1 - 2, определяется выражением

A12 =q∫2	Elстdl +q∫2	El dl =qE12 +q(ϕ1 −ϕ2).	(3.73)
1	1

Величина, численно равная работе, совершаемой электростатическими и сторонними силами при перемещении положительного единичного заряда, называется падением напряжения на данном участке цепи.

Закон Ома для неоднородного участка цепи имеет вид

U12 = (ϕ1 − ϕ2)+ 12	; I =	U12	.	(3.74)

		R

При отсутствии сторонних сил ( 12=0) напряжение совпадает с разностью потенциалов на концах участка. Для замкнутой цепи работа электростатических сил равна нулю. В этом случае ϕ1 = ϕ2, и получим закон Ома для замкнутой цепи:

или	I= 12/Rполн,	(3.75)
или
	I= 12/(R+r0), Rполн=R+r0,	(3.76)
где	R полн - полное сопротивление цепи;
	ro - внутреннее сопротивление источника;
	R - сопротивление нагрузки.

Силовые линии электростатического поля не образуют замкнутых петель, и

работа его сил по замкнутому контуру равна нулю:
∫Eldl = 0.	(3.77)
l

Это означает, что электростатическое поле есть поле потенциальное.

В отличие от электростатического поля поле сторонних сил имеет вихревой характер: линии напряженности этого поля замыкаются внутри источника, и

работа по переносу заряда в замкнутой цепи определяется действием сторон-

них сил, т. е. энергией, затраченной в источнике:

A = ∫Elстdl ≠ 0 .	(3.78)
l

Закон Джоуля-Ленца

Закон Джоуля-Ленца оценивает тепловое действие тока. Согласно закону сохранения энергии тепло выделяется за счет работы сил поля по перемещению зарядов. Для бесконечно малого заряда dq

dQ = dA = dq(ϕ1 −ϕ2 )= dq U = I 2Rdt ,

(3.79)

где U - разность потенциалов, или падение напряжения на участке, по которому переносится заряд.

Это - закон Джоуля-Ленца в интегральной форме, поскольку тепло выделя-

ется во всем объеме проводника за бесконечно малый промежуток времени.

За конечный отрезок времени от t1 до t2 выделяется тепло

t 2
Q = ∫I 2 Rdt .	(3.80)
t1

Ток I в выражении (3.80) является функцией времени.

Правила Кирхгофа применяются для решения задач с разветвленными цепями постоянного тока, в различных ветвях которых действуют не один, а несколько источников ЭДС, одного закона Ома уже недостаточно.

Первое правило Кирхгофа

Это правило относится к узлам разветвленной цепи. Узлом называется точка, в которой сходятся не менее трех проводников. Например, в цепи, изображенной на рис. 3.19, насчитывается два узла: в точке А и в точке В. В этих точках происходит разветвление токов.

Из уравнения непрерывности (3.64) следует, что в любой точке цепи, в любом узле имеющийся заряд должен оставаться постоянным.

Положительными считаются токи, текущие по направлению к узлу, а выходящие из узла - отрицательными. Предварительно задаются их направления1.

Первое правило Кирхгофа: сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю:

n
∑I i = 0 .	(3.81)

i =1

При этом учитываются знаки токов. Например, для узла А цепи, изображенной на рис. 3.19, имеем

I1 − I 2 + I 3 = 0 .

(3.82)

Первое правило Кирхгофа является, по существу, следствием закона сохранения заряда: в узле заряд не накапливается, а потенциал остается постоянным.

D	r1	I1	A I3	r3	F
			I2
+			r2		+
-	E1		r2		- E2
-	E1				- E2
C			B		K

Рис. 3.19

Следует добавить, что не все узлы являются независимыми: если в цепи всего имеется N узлов, то уравнений по первому правилу Кирхгофа может быть составлено N -1, по числу независимых узлов. Уравнение для N - го узла может быть получено путем линейной комбинации предыдущих N - 1 уравнений. В цепи, изображенной на рис. 3.19, всего два узла, независимый - только один из них. Если выбрать в качестве независимого узел А, то для него уравнение имеет вид (3.82). Если теперь составить уравнение для узла В, то для него получим

− I1 + I 2 − I3 = 0 .

(3.83)

Это уравнение - зависимое, так как может быть получено путем умножения уравнения (3.82) на (-1).

1 Направления токов выбираются произвольно. Поэтому токи, текущие к узлу, считаются условноположительными, а токи, текущие от узла, - условно-отрицательными. Если в результате решения окажется, что какой-либо ток имеет знак "минус", то это просто означает, что на самом деле этот ток течет в направлении, противоположном обозначенному.

Второе правило Кирхгофа

Второе правило Кирхгофа относится к произвольным замкнутым контурам, которые можно выделить в данной разветвленной цепи. На рис. 3.19 можно выделить три контура: АВСDА, AFKBA и DFKCD. Необходимо задаться направлением обхода контуров, которое выбирается произвольно. Направления обхода контуров ABCDA и AFKBA указаны стрелками (по часовой стрелке).

Положительными считаются токи, направления которых совпадают с направлением обхода, и отрицательными те, направления которых противоположны направлению обхода. ЭДС считается положительной, если она действует в направлении обхода контура, и отрицательной, если в противоположном направлении.

Второе правило Кирхгофа: в любом произвольно выбранном замкнутом контуре алгебраическая сумма падений напряжений на участках контура равна алгебраической сумме всех ЭДС, действующих в этом контуре:

m	m
∑I k Rk = ∑Ek .		(3.84)
k =1	k =1

Из N возможных контуров независимыми будут любые N - 1, а N-й контур будет зависимым, т. е. для него уравнение по второму правилу Кирхгофа может быть получено путем линейной комбинации предыдущих N-1 уравнений.

Для цепи, изображенной на рис. 3.19, нужно составить два уравнения, пользуясь вторым правилом Кирхгофа.

Для контура ABCDA

r1 I1 + I 2 = −E1.	(3.85)
Для контура AFKBA
− r2 I 2 − r3 I 3 = E2 .	(3.86)

Система уравнений (3.83), (3.85) и (3.86) решается как обычная система из трех линейных уравнений. Составляем определитель системы:

	1	−1	1	.	(3.87)
	1	−1	1
∆ =	r1	r2	0
	0	− r2	− r3

Для нахождения, например, тока I1 вычисляют определитель:

	0	−1	1
	0	−1	1
∆1 =	− E1	r2	0	,	(3.88)
	E2	− r2	− r3

получающийся из определителя ∆ путем замены столбца, составленного из коэффициентов при I1, столбцом, составленным из свободных членов. Тогда

I1 =	∆1 .	(3.89)
	∆

И аналогично для других неизвестных токов.

Пример 6

Сила тока в проводнике сопротивлением 20 Ом равномерно нарастает от 0 до 4 А в течение 2 с. Определить количество теплоты, выделившейся в проводнике за первые полторы секунды.

Дано:

R = 20 Ом

I1 = 0 А, I2 = 4 А

t1 = 0, t2 = 2 c, t3 = 1,5 c

_________

Q - ?

Решение. Согласно закону Джоуля-Ленца тепловая мощность, выделяющаяся на сопротивлении R, равна

Р = I2R .

Количество тепла dQ, выделяющегося за время dt на сопротивлении R, рав-

но

dQ = Pdt = I2Rdt.

(3.90)

По условию задачи сила тока равномерно нарастает, т. е. является линейной функцией времени

I = at + b.

(3.91)

В начальный момент t1 = 0 ток I1 равен нулю, поэтому в уравнении (3.91)

имеем b = 0. Таким образом,
I = at .	(3.92)
Коэффициент "а" найдем из условия, что I2 = 4	А при t2 = 2 с
I2 = at2 .

Откуда получаем

a = I2 = 4 =2 A/c. t2 2

Подставляя в формулу (3.90) выражение (3.92) и интегрируя по времени от 0 до t3, найдем количество выделившегося тепла:

t	t	t2dt = a2 R (t33	−t13 ).
Q = ∫3	I2 Rdt = a2 R∫3	t2dt = a2 R (t33	−t13 ).	(3.93)
t1	t1	3
t1	t1

Подставляя в формулу (3.93) значения входящих в нее параметров, получим

Q = 22 320 (1,53 − 0)= 90 Дж.

Вопросы для самопроверки

1.Что такое электрический ток?

2.Дайте определение величины (силы) тока.

3.Дайте определение разности потенциалов (напряжения).

4.Напишите формулу, связывающую разность потенциалов и напряжение.

5.Что такое резистор?

6.Напишите формулу для сопротивления последовательно соединенных резисторов.

7.Напишите формулу для сопротивления параллельно соединенных резисторов.

8.Напишите закон Ома для участка цепи. Сравните его с законом Ома в дифференциальной (локальной) форме.

9.Какой участок цепи называется неоднородным?

10.Запишите закон Ома для неоднородного участка цепи.

11.Какими характеристиками описывается источник ЭДС?

12.Сформулируйте первое правило Кирхгофа. Какое свойство заряда он отражает?

13.Запишите формулу для первого правила Кирхгофа.

14.Сформулируйте второе правило Кирхгофа.

15.Запишите формулу для второго правила Кирхгофа.

16.Что такое узел электрической цепи?

17.Что такое полная электрическая цепь?

3.2.1.7. Классическая электронная теория металлов

По классическим представлениям считалось, что металл состоит из положительно заряженных ионов, расположенных неподвижно в узлах кристаллической решетки, и из свободных электронов, не связанных с решеткой. Такие свободные электроны двигаются между ионами с небольшим сопротивлением, подобно "электронному газу". К электронному газу были применены понятия хорошо разработанной статистической теории газов. Эта теория базируется на классической статистике Максвелла-Больцмана.

Средней длиной свободного пробега электрона λ называется расстояние между двумя последовательными соударениями электрона с ионами в узлах

кристаллической решетки. Считается, что λ не зависит от скорости электрона и по порядку величины сравнима с постоянной решетки металла.

Как и в молекулярно-кинетической теории газов, считается, что электроны совершают беспорядочное тепловое движение со средней скоростью

v тепл =	8kT	,	(3.94)
	πm

где k = 1,38·10-23 Дж/град - постоянная Больцмана, m = 0,91 ·10-30 кг - масса электрона.

Пользуясь этой формулой, можно оценить значение средней скорости хаотического теплового движения при комнатной температуре (Т~300 К). При этих значениях порядок средней скорости теплового движения составляет 105 м/с.

Под влиянием внешнего электрического поля с напряженностью Е электроны приобретают среднюю скорость направленного движения v = v . При условии, что v < vтепл, которое выполняется при не слишком сильных полях (E<105

В/см), можно считать, что скорость направленного движения электронов пропорциональна напряженности электрического поля, т. е. в векторном виде

v=uE.

(3.95)

Коэффициент пропорциональности u называется подвижностью электрона.

Подвижность электрона численно равна средней скорости его направленного движения под воздействием единичного электрического поля.

Плотность тока в проводнике зависит от средней скорости направленного движения свободных электронов. Сила тока через площадь сечения S, перпендикулярного к направлению движения зарядов (рис. 3.20), равна

I=enS,

(3.96)

где n - концентрация электронов, т. е. их число в единице объема, а е - элемен-

тарный заряд.

Движение S зарядов

Рис. 3.20

Ток можно выразить через его плотность (I=jS). Тогда на основании получаем в векторной форме:

j=env.	(3.97)
Или с учетом (3.95)
j=envE.	(3.98)

Можно оценить среднюю скорость v упорядоченного движения электронов в металле, принимая значение плотности j равным 10А/мм2=107А/м2. Это величина допустимой плотности тока в электрических приборах, при которой проводники заметно не нагреваются. Заряд электрона равен е=1,6·10-19 Кл, а концентрация свободных электронов имеет порядок величины n=1029 м-3. Тогда

v =	j	≈	107			≈10	−3	ì	,
	en		−19	10	29			ñ
		1,6

что значительно меньше, чем среднее значение скорости хаотического теплового движения, полученное по формуле (3.94).

Законы Ома и Джоуля-Ленца в дифференциальной форме

Связь между плотностью тока j и напряженностью поля E в любой точке проводящей среды можно найти, если выделить мысленно в окрестности некоторой точки элементарный цилиндрический объем с образующими, параллельными векторам j и E (рис. 3.21).

dS j

Рис.3.21

Воспользовавшись выражением (3.67) для закона Ома и учитывая выражение (3.68), получим

jdS = EdldSρdl = ρ1 E = σE ,

т. е.

j = σE .

(3.99)

Это закон Ома в дифференциальной форме: плотность тока в любой точке проводящей среды прямо пропорциональна напряженности электрического по-

ля в этой точке. Коэффициентом пропорциональности является удельная элек-

тропроводность (проводимость) σ = ρ1 .

Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме можно получить, воспользовавшись выражением (3.79) применительно к элементарному проводнику:

dQ =(jdS )2 ρ	dl	dt = j2 ρdldSdt .	(3.100)
	dS

Удельная мощность тока, т. е. количество тепла, выделяющееся в единице объема проводника за единицу времени,

w =	dQ	,	(3.101)

	dVdt
откуда получим
w = j2ρ.			(3.102)
Или с учетом (3.99) для закона Ома в дифференциальной форме
w = jE2 .			(3.103)

Законы Ома и Джоуля-Ленца по электронной теории

Сравнивая выражение (3.98) с законом Ома в дифференциальной форме (3.99), для электропроводности σ получим выражение

σ = enu .

(3.104)

Выражение для электропроводности можно получить и на основании классической электронной теории. Для этого найдем среднюю скорость упорядоченного движения электронов в металле исходя из предположения, что электроны, ускоряемые полем, периодически сталкиваются с ионами, находящими-

ся в узлах кристаллической решетки металла, и отдают ей накопленную ими кинетическую энергию. Эта скорость приобретается за время между двумя последовательными соударениями, т. е. на длине свободного пробега электрона

λ.

Сразу после столкновения начальная скорость направленного движения будет равна нулю (v=0), а за время свободного пробега τ электрон, имеющий массу m, движется с ускорением

a =	F	= eE .	(3.105)
	m	m

Тогда в конце пути электрон приобретает максимальную скорость

vmax = aτ = eEm τ.

Врезультате средняя скорость электрона будет равна

v= 0 + vmax = 1 vmax ,

2 2

т. е.

v =	1	eτ	E .	(3.106)
	2	m

Время свободного пробега τ равно средней длине свободного пробега λ, деленной на среднюю скорость теплового движения vтепл электронов, т. е.

			.
τ =		λ

	v тепл

Поэтому (3.106) можно переписать еще так:

	1	e			E .
v =				λ		(3.107)
	2	m
			v тепл

Если теперь подставить (3.108) в (3.97), то и получим закон Ома в дифференциальной форме, исходя из электронной теории:

	1	e2 n
j =				λ	E .	(3.108)
	2	m	v тепл

Плотность тока пропорциональна напряженности поля, а коэффициентом пропорциональности является величина удельной электропроводности

	1	e2 n
σ =				λ	.	(3.109)
	2	m	v тепл

Сравнивая также (3.107) с (3.95), можно записать и выражение для подвижности электронов по электронной теории:

	1	e			.
u =				λ		(3.110)
	2	m
			v тепл

Формулы (3.109) и (3.110) можно считать общими. Однако, очевидно, что в зависимости от того, как будут теоретически определяться введенные выше ве-

личины ( τ или λ и vтепл), так же будет оцениваться и зависимость u и σ от

других физических параметров (например, от температуры).

На основании классической электронной теории можно получить также запись закона Джоуля-Ленца в дифференциальной форме.

В конце свободного пробега электрон приобретает максимальную скорость vmax и, значит, максимальную кинетическую энергию

W maxкин =

mvmax2

= e2 E2 τ2

которая идет на нагревание металла. Заменяя τ через

, получим

v тепл

W maxкин =

E 2 .

2mv тепл2

Зная среднее число соударений z каждого электрона за 1 секунду с решеткой, получим энергию, выделяющуюся в виде тепла за 1 секунду в единице объема (т. е. удельную тепловую мощность)

Q = zn	e2		2
		λ		E2 .
	2mv тепл2

Средняя длина свободного пробега равна

λ = vтеплz ,

отсюда, исключая z , окончательно для Q* получим

Q* =	e2 n
		λ	E2 .	(3.111)
	2mv тепл2

Это и есть закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме, полученный на основе электронной теории. Величина тепла пропорциональна квадрату напряженности электрического поля, а коэффициент пропорциональности, как показывает опыт, является электропроводностью σ.

Основные выводы из классической электронной теории

Опытный закон Видемана-Франца устанавливает, что отношение коэффициента теплопроводности κ металла к его электропроводности σ есть величина, одинаковая для всех металлов и зависящая лишь от температуры. Этот закон качественно объясняется по классической электронной теории. Принимая электронный газ в металлах как идеальный газ, можно получить для κ известное из молекулярной физики выражение

κ = 13ρv теплλCV ,

где ρ=mn, а CV- удельная теплоемкость газа при постоянном объеме. Если теперь учесть, что

CV = 32 µR = 32 NmNk = 32 mk ,

где N - число Авогадро, и кроме того:

mv 2тепл = 3 kT ,

2 2

то отношение κ к σ, т. е. закон Видемана-Франца запишется так:

κ	= 3(	k	)2T .	(3.112)
σ
		e

Это выражение хорошо согласуется с опытом, однако, как оказалось впоследствии, это совпадение было случайным. Когда Лоренц, используя статистику Максвелла-Больцмана, учел различие скоростей электронов, образующих ток, то получил в (3.112) коэффициент не 3, а 2, что не согласовывалось с опытом. Примененная впоследствии квантовая теория для численного коэффициен-

та дала точное значение, равное π32 ≈ 3,29 , что близко совпадало с величиной 3

по классической теории, предполагавшей, что все электроны имеют одинаковые скорости.

Итак, классическая электронная теория успешно объяснила опытные законы Ома и Джоуля-Ленца, а также качественно объяснила закон Видемана-Франца. Однако она встретилась и с большими затруднениями.

По классической теории электропроводности металлов Друде-Лоренца предполагалось, что свободные электроны в металле подобны идеальному молекулярному газу, к которому применима классическая статистика МаксвеллаБольцмана. Согласно этой статистике средняя скорость теплового движения электронов определяется формулой (3.94), т. е. средняя скорость теплового движения пропорциональна корню квадратному из абсолютной температуры:

v тепл ~ T .

Если это справедливо, то в соответствии с (3.109) и (3.110) подвижность электронов u и проводимость металла σ должны быть обратно пропорциональными корню из температуры:

u ~	1	и σ ~	1	,
	T		T

т. е. удельное сопротивление ρ = σ−1 по классической электронной теории должно быть пропорциональным корню квадратному из температуры:

ρ ~ T .

Однако опыт показывал, что сопротивление металлов прямо пропорционально температуре. Это была первая и основная неудача классической электронной теории металлов. Кроме того, классическая электронная теория не смогла подтвердить опытные данные по значению молярной теплоемкости металлов (закон Дюлонга и Пти).

Согласно этому закону теплоемкость одного моля металлов должна склады-

ваться из теплоемкости электронного газа, равной 32 R , и теплоемкости решет-

ки, равной 3R. Суммарная теплоемкость, следовательно, должна быть равна 4,5R, а для диэлектриков, не имеющих электронного газа, только 3R. В действительности же их теплоемкости оказались близкими по величине.

Преодолеть все эти затруднения удалось только с помощью квантовой тео-

рии.

Тест по разделу 3.2.1

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО

1.Электрическое поле создается точечным зарядом в 10 нКл. Как и во сколько раз изменится напряженность электрического поля при увеличении расстояния на 40 %?

2.Внутри замкнутой поверхности находится суммарный положительный заряд 100 нКл. Относительная диэлектрическая проницаемость среды равна 22,6. Найти поток вектора напряженности электрического поля через эту поверхность.

3.Определить напряженность электрического поля в центре круглого витка радиусом 10 см, по которому равномерно распределен заряд 200 пКл.

4.Определить работу по переносу заряда в 1 нКл по замкнутому контуру в виде окружности радиусом 10 см в однородном электрическом поле с напряженностью 50 В/м.

5.Потенциальная энергия заряда в 2 нКл в некоторой точке электрического поля равна 10 мкДж. Определить потенциал в этой точке.

6.Определить емкость уединенного проводника, если при переносе на проводник заряда в 2 нКл потенциал проводника увеличился на 100 В.

7.Определить работу, совершаемую сторонними силами по перемещению электрона по замкнутой цепи, если ЭДС. равна 1 В. Работу выразить в эВ.

8.Электрон влетел в однородное электрическое поле в направлении силовых линий, имея кинетическую энергию, равную 3,8·10-16 Дж. Найти значение энергии электрона, если он пролетел расстояние, соответствующее разности потенциалов 1 кВ. Энергию выразить в эВ.

9.Источник тока, внутреннее сопротивление которого равно 2 Ом, создает во внешнем сопротивлении 8 Ом ток 2 А. Найти максимальный ток, создаваемый этим источником.

10.Источник тока, ЭДС. которого равна 6 В, дает максимальную силу тока 3 А. Найти наибольшее количество тепла, которое может быть выделено во внешнем сопротивлении, равном 1 Ом, за 1 мин.

3.2.2. МАГНЕТИЗМ

Во втором разделе Вам предстоит изучить следующие темы:

3.2.2.1.Магнитное поле стационарных токов

3.2.2.2.Электродинамические силы магнитного поля

3.2.2.3.Магнитное поле в веществе

3.2.2.4.Электромагнитная индукция

3.2.2.5.Уравнения Максвелла

Студенты заочной формы обучения должны также выполнить две лабораторные работы. Для выполнения лабораторных работ по каждой теме раздела следует воспользоваться электронным пособием “Открытая Физика“ (п. 6 основного библиографического списка) и методическими указаниями (п. 5 того же списка). Темы работ указываются преподавателем. Форма отчетности по каждой работе приведена в методических указаниях. После выполнения лабораторных работ по данной теме Вам следует ответить на вопросы промежуточного теста – файл ДОТ_Физика, Часть 2_Word_тест_2.doc. Тест считается успешно выполненным, если Вы правильно ответили на 7 из 10 вопросов.

3.2.2.1. Магнитное поле стационарных токов

Характеристики магнитного поля

Движущиеся заряды создают в окружающем пространстве магнитное поле. Поскольку электрический ток представляет собой упорядоченное перемещение электрических зарядов, то электрические токи создают в окружающем пространстве магнитное поле. Существование этого поля обнаруживается по действию силы на стрелку компаса или на рамку с током, помещенную в магнитное поле. Это было показано опытным путем Эрстедом.

Рассмотрим действие магнитного поля на замкнутый плоский контур с током (рамку), рис. 3.22. Рамка, подвешенная на тонкой нити, вращается и затем определенным образом ориентируется в магнитном поле. Ориентация рамки зависит от направления тока в ней. Если направление тока в рамке изменится, то и рамка поворачивается на 180º.

Рис. 3.22

Рамка, установившись в магнитном поле, указывает своей нормалью направление этого поля. Положительное направление нормали (т. е. единичного нормального вектора n) определяется правилом штопора (или правилом "правого винта"): если завинчивать штопор, вращая его ручку в направлении тока, то острие штопора будет совпадать с направлением нормали.

За направление магнитного поля принимается направление, которое принимает вектор нормали в положении устойчивого равновесия.

Рамка может занимать одно из двух положений равновесия: одно из них положение устойчивого, а другое - положение неустойчивого равновесия.

Основная силовая характеристика магнитного поля - вектор магнитной индукции В, направление которого совпадает с направлением нормали рамки в положении устойчивого равновесия (рис. 3.23).

Плоскость

рамки

α B

n M

Рис. 3.23

Если повернуть рамку на угол α относительно прежнего положения (рис. 3.23), то рамка будет стремиться вернуться в исходное положение. На нее будет действовать механический вращающий момент М, пропорциональный силе тока I в рамке, площади рамки S и синусу угла α между направлениями В и n.

Величина этого момента пропорциональна величине магнитной индукции В:

М = kBISsinα.

(3.113)

Величина В устанавливается из этого соотношения, а коэффициент k выбирается равным единице. Тогда получаем

М = BISsinα.

(3.114)

Магнитный момент рамки - это вектор, величина которого равна произведению тока на площадь рамки и на число витков N:

pм = ISNn .

(3.115)

Вращающий момент можно представить в виде векторного произведения:

М = [p	м	× B].	(3.116)
	м

По абсолютной величине вращающий момент равен

М = p мBsinα.

(3.117)

Вращающий момент максимален, если sinα=1, т. е. если нормаль перпендикулярна вектору В. Устойчивое равновесие достигается при α=0. Если α=180º, т. е. если вектор n направлен противоположно вектору В (рис. 3.24), то вращающий момент также равен нулю, однако это - положение неустойчивого равновесия.

Плоскость

рамки

Рис. 3.24

Единица измерения магнитной индукции в системе СИ - Тесла (Тл). Магнитная индукция зависит от того вещества, в котором создается это маг-

нитное поле. Это объясняется тем, что атомы вещества обладают собственным магнитным моментом, поскольку движение электронов по орбитам вокруг ядра подобно микроскопическим токам. Магнитные моменты атомов ориентируются во внешнем магнитном поле, увеличивая его индукцию. Поэтому вводится более объективная характеристика магнитного поля - напряженность (H), которая связана с индукцией следующим образом:

B = µ0µH ,

(3.118)

где µ0 = 4π 10−7 Гн/м - магнитная постоянная (ее размерность - Генри/метр);

µ - относительная магнитная проницаемость среды (безразмерная).

Размерность напряженности - Ампер/метр.

Закон Био-Савара-Лапласа

В общем виде количественную связь между величиной тока и расстоянием до точки наблюдения и магнитной индукцией можно установить только для бесконечно малого проводника. Такая зависимость устанавливается в виде закона Био-Савара-Лапласа:

dB = µ0	µ	Idlsinα	,	(3.119)
		4πr2

где I - сила тока;

dl - элемент проводника;

r - расстояние от элемента проводника до точки наблюдения;

α- угол между направлением тока и направлением на точку наблюдения.

Ввекторной форме этот закон имеет вид:

dB0	= µ		I [dl ×r]	.	(3.120)
		0
			4πr3

Здесь r - радиус-вектор, равный по абсолютной величине расстоянию r и направленный от элемента dl в точку наблюдения M (рис. 3.25).

Рис.3.25

Вектор dl равен по модулю dl и направлен по касательной к проводнику в направлении тока (за направление тока принимается направление движения по-

ложительных зарядов).

Вектор dBo перпендикулярен плоскости, содержащей векторы dl и r, и при заданном направлении тока вектор dBo перпендикулярен плоскости чертежа и направлен за чертеж в точке М.

Для вычисления с помощью этого закона магнитного поля конечного проводника любой формы применяется принцип суперпозиции полей, по которому индукция результирующего поля В0 является результатом интегрирования по всей длине проводника.

Магнитное поле бесконечного прямого проводника с током

Пусть имеется бесконечно длинный прямолинейный проводник, по которому течет ток I. Нужно найти индукцию (или напряженность) магнитного поля, создаваемого этим проводником в точке М.

Мысленно разделим проводник с током на множество элементов Idl. Все элементы dB, создаваемые элементами тока, в данной точке имеют одинаковое направление (вектор В, который является векторным произведением векторов dl и r, направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат перемножае-

мые векторы, т. е. в данном случае перпендикулярно плоскости чертежа, от нас

- см. рис. 3.26). Поэтому векторное сложение элементов индукции поля dB можно заменить сложением их модулей. Точка М, для которой вычисляется вектор индукции В, находится на расстоянии R от проводника. Из рис. 3.26 видно, что

r =	R	;	dl =	rdα	=	Rdα	.	(3.121)
	sinα			sinα
						sin2 α

Подставим эти выражения в формулу (3.119), тогда

dB =	µ0 µ	IRdαsinαsin2 α	=	µ0 µ	I sinαdα.	(3.122)
	4π	R2 sin2 α		4π	R
		R	M
			M
	I	β
	I	α
		α
		d α
		r
		rdα
	dl	α
		α
		Рис. 3.26

Угол α изменяется в пределах от 0 до π радиан. Следовательно, результирующее поле имеет индукцию

	µ0µ	I π		µ0µ	I
B = ∫dB =			∫sinαdα =			.	(3.123)
B = ∫dB =	4π	R	∫sinαdα =	2π	R	.	(3.123)
l		0

Линии магнитной индукции представляют собой систему охватывающих провод концентрических окружностей (рис. 3.27 ).

Рис. 3.27

Если требуется найти магнитное поле конечного прямого проводника с током, то задача решается так же, как и предыдущая, с той лишь разницей, что угол α изменяется в пределах не от 0 до π, а от α1 до -α2 (рис. 3.28).

Rb1 M b2

d l

Рис. 3.28

Поэтому, заменив в (3.123) синус угла α на косинус дополнительного угла β и подставив соответствующие пределы, получим

µ0 µ

β2

µ0 µ

(sinβ

). (3.124)

B =

dB =

cosβd( −β) =

+ sinβ

∫

4π

R ∫

4π

β1

Магнитное поле в центре прямоугольной рамки с током

Прямоугольную рамку с током можно представить в виде четырех конечных проводников (рис. 3.29) и применить для вычисления индукции поля в центре рамки формулу (3.124).

Магнитное поле в точке М складывается из четырех составляющих, каждая из которых создается одной стороной. Точка М отстоит от каждой стороны а на расстоянии а/2. Поэтому вклад каждой стороны в магнитную индукцию можно определить из формулы (3.124), положив в ней R=b/2, и

sinα	= sinα	2	= a	2	.
	1	2	2	a2 + b2
			2	a2 + b2

			b
	α	β1	β2
a	α	1	I
a	α	2	I
	α	2	M
			M

Рис. 3.29

Аналогично вклад, обусловленный каждой из двух других сторон длиной b каждая, равен

B2 =	µ0µ	Ib	.	(3.125)
		a a2 +b2
	π

Cуммарная индукция в точке М равна

B = B1 + B2	=	2µ0 µ	I	a2 + b2	.	(3.126)
		π		ab

Магнитное поле кругового тока

Определить значение магнитной индукции В в центре кругового тока (рис. 3.30) можно, применяя закон Био-Савара-Лапласа.

Рис. 3.30

Если на витке выбрать элемент dl, то, применив формулу (3.119) и интегрируя по всей длине витка с учетом того, что sinα = 1 для каждого элемента, получим

2πR	Idlsinα		I
B = ∫ µ0		= µ0
	4πR2			.	(3.127)
			2R
0

Результирующий вектор В направлен вдоль оси тока, а его направление связано с направлением тока правилом правого винта.

Магнитный поток. Теорема Гаусса для магнитного поля

В общем случае элементарный магнитный поток определяется в виде ска-

лярного произведения вектора магнитной индукции на	вектор элемента по-
верхности:
dФB = (BdS )= Bn dS ,	(3.128)

где Bn - проекция вектора В на направление нормали к поверхности.

Для произвольной поверхности S, находящейся в неоднородном поле, полный поток вектора магнитной индукции равен

ФB = ∫BdS = ∫Bn dS .		(3.129)
S	S

Численно вектор В определяется количеством силовых линий поля, проходящих через единичную площадку, перпендикулярную силовым линиям. Размерность потока вектора магнитной индукции в системе СИ: 1 Вебер = 1 Вб.

Силовые линии магнитного поля замкнуты, не имеют ни начала, ни конца, или уходят в бесконечность. Это происходит потому, что магнитное поле имеет, в отличие от потенциального электрического поля, вихревой (или соленоидальный) характер. Математически структура магнитного поля, т. е. его харак-

тер, отражается теоремой Гаусса: поток вектора магнитной индукции через произвольную замкнутую поверхность равен нулю, т. е.

∫BdS = ∫Bn dS = 0 .		(3.130)
S	S

Это выражение справедливо не только для магнитного поля стационарных токов, но и для любого переменного магнитного (или электромагнитного) поля. Поэтому в теории электромагнитного поля теорему Гаусса называют еще

третьим уравнением Максвелла в интегральной форме.

Циркуляция вектора магнитной индукции. Магнитное поле соленоида

Рассматривая контур в виде окружности, охватывающей бесконечный прямолинейный проводник с током (рис. 3.31), вычислим циркуляцию вектора В по этому контуру (считаем µ = 1):

∫Bl dl .

(3.131)

Физический смысл циркуляции состоит в том, что поскольку магнитная индукция В - силовая характеристика магнитного поля, то циркуляция В будет определять работу сил магнитного поля по замкнутому контуру.

a	dl
dα

Рис. 3.31

Учитывая, что

Bl = B =

µ0

;

dl = a dα ,

(3.132)

2π

получим

µ0

2π

Bl dl

I a

I ,

∫

dα = µ

(3.133)

2π

т. е. циркуляция вектора индукции по замкнутому контуру равна произведению µ0 на ток, охватываемый этим контуром.

Полученное выражение справедливо для контуров любой формы.

То, что циркуляция вектора магнитной индукции по замкнутому контуру отлична от нуля, выражает вихревой характер магнитного поля.

Если контур охватывает несколько проводников с токами, то циркуляция вектора индукции суммарного магнитного поля В равна сумме этих токов:

∫Bl dl = µ0 ∑Ii = µ0 Iполн		(3.134)
l	i
где полный ток	Iполн = ∑Ii .	(3.135)
	Iполн = ∑Ii .	(3.135)
	i

Условимся о направлении обхода контуров и знаке токов: положительными будем считать токи, направление которых связано с направлением обхода контура правилом правого винта; токи противоположного направления считаем отрицательными. Если обход контура совершается не один, а n раз, то выражение (3.134) примет вид

∫Bl dl = µ0nI .	(3.136)
l

Эту формулу можно применить для вычисления магнитной индукции поля внутри бесконечного соленоида. Соленоид представляет собой систему круговых витков с общей прямой осью. Силовые линии поля внутри соленоида параллельны его оси, а поле соленоида однородно. Для вычисления циркуляции возьмем прямоугольный контур 1-2-3-4 (рис. 3.32).

1	2	Ось
		соленоида
4	l	3

	Рис. 3.32

Циркуляцию вектора В по этому контуру можно представить в виде

∫Bl dl = ∫2		Bl dl = ∫3	Bl dl = ∫4	Bl dl = ∫1	Bl dl ,	(3.137)
l	1	2	3	4

причем

∫1 Bl dl = ∫3 Bl dl = 0 ,

4 2

так как на этих участках В dl . Соленоид бесконечно длинный, силовые линии, которые проходят внутри него, начинаются в бесконечности и уходят в бесконечность. Поэтому магнитное поле снаружи соленоида отсутствует. Поэтому

∫Bl dl = 0 .

Тогда циркуляция вектора В по замкнутому контуру запишется в виде

∫Bl dl = ∫2		Bl dl = Bl ,	(3.138)
l	1

где В - величина магнитной индукции поля в точках расположения отрезка 1 - 2, а l - длина этого отрезка.

Суммарный ток, охватываемый контуром, Iполн=nlI, где n - число витков на единицу длины соленоида, I - сила тока в соленоиде. Тогда, согласно (3.137):

∫Bl dl = Вl = µ0nIl .	(3.139)
l
откуда получается окончательно
B = µ0 nI .	(3.140)

Поле бесконечного соленоида однородно, сосредоточено целиком внутри соленоида, а силовые линии вектора В параллельны оси соленоида.

Пример 7

По двум бесконечно длинным параллельным проводам текут в одинаковом направлении токи силой 15 и 10 A. Расстояние между проводами 10 см. Определить магнитную индукцию в точке А (рис. 3.33), удаленной от первого провода на расстояние r1 = 10 см и от второго провода на расстояние r2 = 15 см.

Рис. 3.33

Дано:

I1 = 15 A; I2 = 10 A µ =1

d = 10 см

r1 = 10 см = 0,1 м; r2 = 15 см = 0,1 м

В - ?

Решение

Согласно принципу суперпозиции магнитных полей магнитная индукция B

в точке А равна сумме векторов магнитных индукций полей B1 и	B2 , создан-
ных каждым током в отдельности:
B=B1+B2	(3.141)

где B1=µµ0I1/(2πr1) и B2=µµ0I2/(2πr2). На рисунке проводники с токами I1 и I2 перпендикулярны плоскости чертежа (токи направлены от наблюдателя). Век-

торы B1 и B2 изображены на рисунке так, что их направление связано с направлением соответствующих токов правилом правого винта. Векторы B1 и B2 в точке А направлены по касательной к силовым линиям.

Модуль вектора B на основании теоремы косинусов равен

B = B12 + B22 + 2B1B2 cos α ,

(3.142)

где α – угол между векторами B1 и B2. Из рисунка видно, что углы α и β равны, как углы с соответственно перпендикулярными сторонами. Из треугольника со сторонами r1, r2 и d по теореме косинусов находим:

cosα =

2 + r 2 − d 2

Вычислим отдельно:

2r1r2

102 +152 −102

cosα = cosβ

≈ 0,75.

2 10

Подставляя выражения для B1 и B2 в формулу (3.142) и вынося µµ0/(2π) за

знак корня, получаем

B =

µµ0

I 2

2I I

2π

r12 + r12 +

1r 2 cosα .

(3.143)

Произведем вычисления:

B = 1 4π10−7

152

102

+ 2 10 15 0,75

= 4,1 10−5 Тл.

2π

(10−1)2

(1,5 10−1)2

10−1 1,5 10−1

Пример 8

По проводнику, согнутому в виде прямоугольника со сторонами 8 см и 12 см, течет ток силой 5 А. Определить магнитную индукцию в точке пересечения диагоналей прямоугольника.

Рис. 3.34

Дано:

a = 8 см; b = 12 см;

I = 5 A;

µ = 1

B = ?
Решение
Согласно принципу суперпозиции магнитных полей
B = B1 + B2 + B3 + B4 ,	(3.144)
где B1, B2, B3, B4 – магнитные индукции полей, создаваемых токами, проте-
кающими по каждой стороне прямоугольника (рис. 3.34).	Bi направлены
В точке 0 пересечения диагоналей все векторы индукции	Bi направлены

перпендикулярно плоскости прямоугольника. Кроме того, из соображений симметрии следует, что B1=B3 и B2=B4 . Поэтому векторное равенство (3.144) заменим скалярным:

B=2B1+2B2,

(3.145)

где B1 и B2 – индукции магнитных полей, создаваемых соответственно токами, текущими по проводникам со сторонами длиной b и а.

Используя формулу для магнитной индукции поля, создаваемого отрезком прямого проводника с током,

B = µµ0

cosα,

(3.146)

2π r0

получим

B	= µµ0	I		cosα	,	B	= µµ0	I	cosα	2	.	(3.147)

1	2π	a/	2	1		2	2π	b/ 2

Из рисунка видно, что

cosα1	=	b	и	cosα2	=	a	.	(3.148)
		+ b2				+ b2
	a2				a2

Подставив формулы (3.147) и (3.148) в равенство (3.145), после алгебраических преобразований получим

B =

2µµ

I a2 + b

(3.149)

π a2

πab

+ b2 a

Проведем вычисления:

B =

2 1 4 3,14 10−7 5

(8 10−2 )2 + (1,2 10−1 )2

= 6 10−5

Тл= 60 мкТл.

3,14 8 10−2 1,2 10−1

Пример 9

Виток радиусом 3 см, по которому течёт ток силой 5 А, свободно установился в однородном магнитном поле с индукцией 20 мТл. Определить работу, совершаемую внешними силами при повороте витка на угол 90о вокруг оси, совпадающей с диаметром витка. Считать, что при повороте витка сила тока в нем поддерживается постоянной.

Дано:

R = 3 см = 3 10-2м

I = 5 A = const

B = 20 мТл = 2 10-2Тл

α = π2

______________________

A=?

Решение На виток с током, помещённый в магнитное поле, действует вращающий

момент M = pm Bsinα, где pm = IS = IπR2 – магнитный момент витка; α – угол между векторами pm и B . В начальном положении согласно условию задачи

виток свободно установился в магнитном поле, следовательно, pm и B совпа-

дают по направлению, т. е. α = 0 и М = 0 . Чтобы повернуть виток на некоторый угол α, внешние силы должны совершить работу против момента сил Ампера, так как он стремится возвратить виток в исходное положение. Так как момент сил переменный и зависит от угла поворота α, то

dA = Mdα или dA = pm Bsinα dα = IπR2 Bsinα dα.

(3.150)

Взяв интеграл от этого выражения, найдём работу, совершаемую при повороте витка на конечный угол:

α2
A = IπR2 B sinαdα = Iπ R2 B(cosα − cosα		2	).	(3.151)
∫	1	2
∫
α1

Так как α1 = 0 и α2 = π / 2, то
À = IπR2 B .	(3.152)

Произведём вычисления:

A = 5 3,14 (3 10−2 )2 2 10−2 = 2,83 10−4 Дж.

Задачу можно решить и другим способом. Работа внешних сил по перемещению контура с током в магнитном поле равна

A = I (Ф1 −Ф2 ),

(3.153)

где Ф1 – магнитный поток, пронизывающий контур до перемещения, Ф2 – то

же после перемещения.

С учётом того, что в однородном магнитном поле Ф = BScosα , получим

Ф = BScos0 = BS	и Ф = BScos90о = 0 . Следовательно, A = IBS = IBπR2	, что
1	2

совпадает с (3.152).

Вопросы для самопроверки

1.Что такое магнитное поле (МП)?

2.Назовите источники МП.

3.Какие силы действуют между движущимися зарядами?

4.Во сколько раз магнитная сила меньше электрической силы для двух движущихся точечных электрических зарядов?

5.Какие силы и почему действуют между проводами с током?

6.Дайте определение линии индукции МП. Зачем их рисуют?

7.Запишите закон Био-Савара-Лапласа. В чем он похож на закон Кулона?

8.Сформулируйте принцип суперпозиции для МП.

9.Дайте определение циркуляции вектора В.

10.Сформулируйте и запишите формулу теоремы о циркуляции вектора В.

11.Сформулируйте и запишите формулу для индукции МП прямого провода с током.

12.Как выглядят линии индукции МП прямого провода с током?

13.Сформулируйте и запишите формулу для индукции МП на оси кругового витка (контура) с током.

14.Что такое магнитный момент витка с током?

15.Какую форму имеет линия индукции, проходящая через центр витка с током?

16.Что такое соленоид и для чего он используется?

17.Чему равно магнитное поле в центре соленоида?

3.2.2.2. Электродинамические силы магнитного поля

Опыты по отклонению рамки с током в магнитном поле показывают, что на всякий проводник с током, помещенный в магнитное поле, действует механическая сила (сила Ампера). Эта сила приложена к каждому элементу контура dl:

dFА=ldlBsinα,

(3.154)

где α - угол между направлением вектора В и направлением элемента тока dI=Idl . Понятие об элементе тока было введено ранее, при рассмотрении закона Био-Савара-Лапласа.

Мы видим, что величина силы Ампера (dFА) пропорциональна силе тока, индукции магнитного поля и длине участка проводника dl, кроме того, величина dFА зависит от направления вектора B.

Выражение (3.154) в векторной форме имеет вид

dF À =[dl, B].

(3.155)

Сила Ампера всегда направлена перпендикулярно плоскости, содержащей векторы dI=Idl и B, а ее направление как результат векторного произведения определяется правилом правого винта: если смотреть вдоль вектора dFА, то поворот от dI к B по кратчайшему пути должен происходить по часовой стрелке.

С другой стороны, для определения направления силы Ампера можно также применить мнемоническое правило левой руки: нужно поместить ладонь так, чтобы силовые линии магнитной индукции B входили в нее, вытянутые пальцы показывали направление тока, тогда отогнутый большой палец укажет направление силы Ампера. Если перемножаемые векторы заданы через проекции, т. е.

dl = idl x	+ j	dl y	+	kdl z,
dl = idl x		dl y		kdl z,
B = idBx + jdB y + kdBz,

то вектор dFA можно записать в виде определителя

dF A =	i	j	k	,
dF A =	dl x	dl y	dl z	,
	Bx	B y	Bz

(3.156)

(3.157)

раскрывая который по элементам первой строки, получим выражения для вектора силы Ампера.

Исходя из формулы (3.154), найдем выражение для силы взаимодействия двух бесконечно длинных, прямых, параллельных друг другу проводников, по которым текут токи I1 и I2 (рис. 3.35). Расстояние между проводами равно a.

I1	I2
	B1

F21 Idl

Рис. 3.35

Определим силу Ампера dF21, действующую со стороны магнитного поля первого тока I1 на элемент l2dl второго тока.

Величина магнитной индукции этого поля B1 в точке расположения элемента второго проводника с током равна

B1	=		µ0		I1dl		.	(3.158)

Тогда с учетом (3.158) получим			2π a

dF 21 =	µ0			I1I 2		dl .		(3.159)
		2π			a

Рассуждая точно так же, можно показать, что сила Ампера, действующая со стороны магнитного поля, создаваемого вторым проводником с током, на элемент первого проводника l1dl , равна

dF12 = 2µπ0 I1aI 2 dl ,

т. e. dF12 = dF21. На рис. 3.35 показано направление сил Ампера. В случае, если токи направлены в одну и ту же сторону, то это - силы притяжения, а в случае токов разного направления—силы отталкивания.

Сила Ампера, действующая на единицу длины проводника, равна

f =	dF A	=	µ0	I1I 2	.	(3.160)
	dl		2π	a

Итак, сила взаимодействия двух параллельных прямых проводников с токами прямо пропорциональна произведению величин токов и обратно пропорциональна расстоянию между ними.

Рамка с током в магнитном поле

Рассмотрим действие магнитного поля на рамку с током. Считаем магнитное поле однородным с индукцией B, а рамку с током I - прямоугольной.

Предположим, что вектор внешней нормали n к рамке перпендикулярен силовым линиям вектора B (рис. 3.36).

	n
	I
	F1
a	B
	F2
	b
	Рис. 3.36

На рамку с током действует пара сил Ампера, создающая вращающий момент

M = FAb = IBab = IBS = Pm B ,

(3.161)

где Pm=BS - магнитный момент рамки; S=ab - площадь рамки.

В произвольном случае, если нормаль к рамке составляет угол α с направлением магнитной индукции внешнего поля B, вращающий момент можно записать в виде

M = PmBsinα,	(3.162)
или в векторной форме
M =[P m, B].	(3.163)

Устойчивым является такое положение рамки, когда вектор нормали параллелен вектору B (рис. 3.37).

n, B

Рис. 3.37

Как видно из рисунка, силы Ампера только стремятся растянуть рамку, а вращающий момент М=0. Таким образом, внешнее магнитное поле оказывает на рамку ориентирующее действие, стремясь повернуть ее так, чтобы плоскость рамки установилась перпендикулярно силовым линиям магнитного поля, при этом вектор магнитного момента Prn=ISn устанавливается вдоль силовых линий.

Подобные рассуждения справедливы и в том случае, когда магнитное поле действует на плоские контуры произвольной формы, в частности на круговой виток, который можно рассматривать в виде модели молекулярных токов в веществе. Ориентирующим действием магнитного поля на молекулярные токи можно объяснить, например, резкое увеличение магнитного поля в соленоиде при внесении внутрь его стержня из ферромагнетика, создающего сильное дополнительное поле.

Сила Лоренца

Опыт показывает, что на заряд, движущийся в магнитном поле, действует сила. Эта сила называется силой Лоренца (Fл). Эта сила равна

Fл = qvBsinα,

(3.164)

или в векторном виде
Fл = [v, B],	(3.165)

где α - угол между направлением скорости движения v и вектором индукции B. Направлена эта сила перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы v и B. В случае, если движущийся заряд - положительный, то направление силы Лоренца определяется правилом левой руки: если сложенные вместе пальцы направить в сторону движения заряда, при этом силовые линии В должны входить в ладонь, то сила Лоренца будет направлена в сторону отставленного большого пальца. Можно, конечно, пользоваться также правилом штопора.

Наконец, для вычисления силы Лоренца можно воспользоваться определителем, подобным (3.157), если векторы v и B в (3.165) заданы при помощи проекций на оси. Взаимная ориентация трех векторов - Fл, v и B, входящих в (3.165), показана на рис. 3.38 для различных по знаку зарядов.

		Fл
	q	q
		q
	B	B
	Fл	v
	v	v
	v
	а)	б)

Рис. 3.38

Как видно из (3.165), сила Лоренца максимальна при движении заряда в направлении, перпендикулярном силовым линиям (при этом α=π/2 и Fлmax=qvB), и равна нулю, если заряд движется вдоль силовых линий поля (при этом α=0).

При этом касательная составляющая ускорения равна нулю: aτ=0, а нормальная составляющая ускорения по второму закону Ньютона равна

a n =	F	=	q	[v, B].	(3.166)
	m		m

Таким образом, сила Лоренца равна центростремительной силе Fц = mrv2 ,

где r – радиус кривизны траектории в данной точке. Приравняв выражение для силы Лоренца центростремительной силе, получим выражение для радиуса

кривизны траектории r = qBmsinv α во всех точках.

Действие магнитного поля на движущийся заряд находит большое практическое применение, в частности, в работе электронно-лучевой трубки, где используется явление отклонения заряженных частиц электрическим и магнитным полями, а также в работе масс-спектрографов, позволяющих определить удельный заряд частиц (q/m) и ускорителей заряженных частиц (циклотронов).

Эффект Холла

Важное техническое применение получил эффект Холла в проводниках и полупроводниках. Этот эффект заключается в том, что если проводник с током поместить в магнитное поле, вектор индукции которого В направлен перпендикулярно направлению тока, (рис.3.39), то между гранями проводника, параллельными плоскости, в которой лежат векторы тока и магнитной индукции, возникает разность потенциалов Ux. Величина ее определяется выражением

U x = Rx bjB ,

(3.167)

где b – ширина пластинки, j – плотность тока, В – индукция магнитного поля, Rx – постоянная Холла, которая зависит от свойств материала.

j1 B

Рис. 3.39

Эффект Холла достаточно просто объясняется на основе электронной теории и силы Лоренца. В магнитном поле на свободные электроны в металле действует сила Лоренца, направленная вдоль стороны b пластинки. Эта сила по абсолютному значению равна

Fл=evB.

(3.168)

Под действием силы Лоренца происходит разделение зарядов: у верхней грани, в направлении которой движутся электроны, окажется избыток отрицательных зарядов, а у нижней—соответственно избыток положительных зарядов. Поэтому возникает дополнительное поперечное электрическое поле, напряженность которого равна E. Когда эта напряженность достигнет такой величины,

что ее действие на заряд будет уравновешивать силу Лоренца, установится стационарное распределение зарядов в поперечном направлении:

Ee = evB,	(3.169)
откуда
E = vB.	(3.170)

Для того, чтобы найти напряжение, возникающее между верхней и нижней гранями, U=Ux, умножим величину Е на расстояние между гранями (b). Учитывая, что плотность тока j, концентрация свободных электронов n и заряд электрона е связаны между собой соотношением

j=env,
получим			1
U =U x = bE =			1		bjB = RxbjB ,	(3.171)
U =U x = bE =			ne		bjB = RxbjB ,	(3.171)
где постоянная Холла равна			ne
где постоянная Холла равна		1
Rx =		1		.		(3.172)
Rx =				.		(3.172)
	ne

Таким образом, измерив постоянную Холла, можно найти концентрацию носителей тока (электронов).

Явление Холла наблюдается также в полупроводниках. В полупроводниках n-типа носителями являются отрицательно заряженные электроны, а в полупроводниках p-типа – положительно заряженные дырки.

Полупроводниковые датчики Холла используются для измерения величины индукции магнитного поля, а также в различных устройствах автоматики.

+ + + + + + + +			- - - - - - - - - - - -
F	B		F	B
	v	j	v	j

- - - - - - - - - - - -			+ + + + + + + +

Рис. 3.40

Рис. 3.40 иллюстрирует эффект Холла для образцов с положительными и отрицательными носителями тока. Направление силы Лоренца изменяется на противоположное как при перемене направления движения заряда, так и при изменении его знака. При одинаковом же направлении тока сила Лоренца Fл, действующая как на положительные, так и на отрицательные заряды, имеет одинаковое направление. Поэтому в случае положительных носителей потенциал верхней грани выше, чем нижней, а в случае отрицательных носителей – ниже. Определив знак разности потенциалов, можно установить тип носителей тока.

Пример10

Электрон, пройдя ускоряющую разность потенциалов 200 В, попал в однородное магнитное поле с индукцией 5 мТл. Вектор скорости направлен под углом 60о к линиям индукции (рис. 3.41). Определить радиус и шаг винтовой линии, покоторойбудетдвигатьсяэлектронвмагнитномполе.

z
v2	v	B
		B

v1		2R
v1		x
-y		h
		h
		B
		Рис. 3.41

Дано:

U = 200 B

B= 5мТл = 5 10-3 Тл

α= 60о

m = 9,1 10-31 кг

q = −e = −1,6 10-19 Кл

_________________

R = ? h = ?

Решение На электрон, движущийся в магнитном поле, действует сила Лоренца

F = −e[v, B] или F = e ѓ B Тsinα .

(3.173)

Кинетическую энергию W = mv2 / 2 электрон приобретает за счет работы А
сил электрического поля (A = eU ), поэтому mv2 / 2 = eU . Отсюда
v =	2eU .	(3.174)
	m

Разложим вектор скорости v на две cоставляющие: v1 и v2. Проекция v1 на-

правлена вдоль линий индукции; v2– перпендикулярно им. Тогда
F = −e[(v1+v2)B] = −e[v2B] или F = ev2 B ,	(3.175)
так как [v1B]= 0.

Составляющая скорости v1 не изменяется ни по модулю, ни по направлению. Составляющая скорости v2 изменяется по направлению, так как сила F , расположенная в плоскости, перпендикулярной линиям индукции, сообщает электрону нормальное ускорение an = v22 /R . Следовательно, электрон участвует в двух движениях: равномерном вдоль оси ОХ со скоростью υ1 = υcosαи равномерном по окружности в плоскости ZOY со скоростью υ2 = υsinα, то есть

будет двигаться по винтовой линии.

Так как сила Лоренца F сообщает электрону нормальное ускорение аn, то по второму закону Ньютона имеем

F = ma	или	ev	B =		mv22		.
F = ma	или	ev	B =				.
n		2				R
Отсюда радиус винтовой линии						R
Отсюда радиус винтовой линии
		R =		mv2		= mvsinα .		(3.176)
		R =		eB		= mvsinα .		(3.176)
				eB			eB
Учитывая формулу (3.174), получаем
R = msinα	2eU	= sinα				2mU .		(3.177)
eB	m		m				e

Шаг винтовой линии (смещение вдоль оси ОХ за время Т одного оборота)

h = v1T = vcosαT ,

где T = 2πR/ v2 – период вращения электрона. Учитывая формулу (3.176), по-

лучаем

T = 2eBπm .

Следовательно, шаг винтовой линии равен
h =	vcosα2πm	.	(3.178)

	eB

Подставив в выражение (3.178) формулу для скорости (3.174), получим

h =	2πcosα	2mU .
	B	e

Произведем вычисления:

R =	0,5	2 9,1 10−31 200	= 4.77 10−3 м;
5	10−3	1,6 10−19
h = 2 3,14 0,865 2 9,1 10−31 200				= 5,2 10−2	м.
5 10−3		1,6 10−19

Вопросы для самопроверки

1.Как определяется направление действия силы Лоренца?

2.Почему сила Лоренца не совершает работы?

3.Как будет двигаться заряженная частица в магнитном поле, если угол α между векторами B и v меньше π/2?

4.Ионы двух изотопов с массами m1 и m2, имеющие одинаковый заряд и прошедшие в электрическом поле одинаковую ускоряющую разность потенциалов, влетают в магнитное поле перпендикулярно силовым линиям магнитного поля. Найдите отношение радиусов окружностей, по которым будут двигаться ионы в магнитном поле.

5.Определите, во сколько раз изменится радиус окружности, по которой заряженная частица движется в однородном магнитном поле, если её кинетическую энергию увеличить в n раз?

6.Определите удельный заряд иона, который совершает один оборот за 628 мкс в однородном магнитном поле с индукцией 50 мТл.

7.Два электрона движутся в одном и том же однородном магнитном поле по

орбитам с радиусами R1 R2 (R1> R2). Сравните их угловые скорости.

8.В однородном магнитном поле движутся по окружностям протон и α- частица, имея равные кинетические энергии. Какая из этих частиц будет иметь орбитальный магнитный момент и период вращения больше и во сколько раз?

9.Заряженная частица влетела в однородное магнитное поле под углом α < π/2 между векторами B и v. Определите, отличны ли от нуля тангенциальная и нормальная составляющие ускорения частицы?

10.Заряженная частица летит прямолинейно и равномерно в однородном поле, представленном суперпозицией взаимно-перпендикулярных электрического (с напряжённостью Е) и магнитного (с индукцией В) полей. Найдите скорость движения частицы.

11. Заряженная частица вращается в однородном магнитном поле с индукцией В по окружности радиуса R. Параллельно магнитному полю возбуждается электрическое поле напряжённостью Е. Определите, сколько времени должно действовать электрическое поле, чтобы кинетическая энергия частицы возросла в два раза?

3.2.2.3. Магнитное поле в веществе

Вещество, способное влиять на магнитное поле, называется магнетиком. Магнетик, находящийся в магнитном поле, намагничивается. В этом состоянии он создает добавочную индукцию поля B', которая складывается с индукцией B0 внешнего магнитного поля. В итоге индукция магнитного поля в этом веществе возрастает по сравнению с индукцией поля в вакууме:

B = B0 + B'.

(3.179)

Необходимо заметить, что под B' понимается усредненное макроскопическое поле, так как истинное микроскопическое поле в магнетике весьма сильно изменяется от точки к точке.

Магнитные свойства вещества определяются круговыми молекулярными токами в этом веществе. Каждый такой ток подобен круговому макроскопическому току в витке и характеризуется собственным магнитным моментом. В обычном состоянии магнетика круговые молекулярные токи ориентированы хаотично, а под влиянием внешнего магнитного поля ориентируются определенным образом, что и приводит к намагничиванию.

Намагничение магнетика характеризуется вектором намагничения J, численное значение которого равно магнитному моменту единицы объема магнетика.

∑P m

J =	∆V	.	(3.180)
	∆V

Вектор напряженности магнитного поля H связан в вакууме с вектором магнитной индукции B0 следующим образом:

B0 = µ0 H .

(3.181)

В веществе за счет его намагничения вектор магнитной индукции B отличается от вектора магнитной индукции в вакууме B0:

B = µo H + µ0 J =µ0 H .

(3.182)

Опыт показывает, что вектор намагничения J пропорционален напряженности магнитного поля H:

J=χH.

(3.183)

Безразмерный коэффициент пропорциональности χ называется магнитной восприимчивостью вещества и для разных веществ имеет различные значения. Магнитная восприимчивость вещества численно равна модулю вектора намагничения при единичном магнитном поле. С учетом этого выражения получаем

B = µ0(1+χ)H .

(3.184)

С другой стороны, в системе СИ B = µ0µH , где µ - относительная магнитная проницаемость среды. Поэтому

µ =1 + χ.

(3.185)

Вотличие от диэлектрической восприимчивости, которая всегда больше единицы и всегда положительна, магнитная восприимчивость χ может быть как положительной, так и отрицательной. Поэтому µ может быть как больше единицы, так и меньше единицы.

Взависимости от величины и знака магнитной восприимчивости все вещества (магнетики) подразделяются на три группы:

1.Диамагнетики. У них магнитная восприимчивость отрицательна (χ<0) и мала по абсолютной величине. К таким веществам, например, относятся: висмут (Bi), фосфор (P), серебро (Ag), золото (Au), медь (Cu), сера (S), вода и многие другие органические соединения.

2.Парамагнетики. Для них также характерно, что магнитная восприимчивость

невелика и положительна (χ>0). К парамагнетикам относятся щелочные и ще- лочно–земельные металлы, большинство газов, и в том числе кислород, а также некоторые другие вещества.

3. Ферромагнетики. У ферромагнетиков χ также положительна, но имеет большую величину. К ферромагнетикам относятся металлы группы железа (Fe, Co, Ni) и некоторые сплавы.

У диамагнетиков вектор намагничения J направлен в противоположную сторону по отношению к направлению вектора H. Поэтому магнитная восприимчивость χ является отрицательной величиной.

Магнитные свойства различных магнетиков объясняются с позиций квантовой механики.

Ферромагнетики

Ферромагнетики, главным представителем которых является железо (Fe), относятся к сильно магнитным материалам, причем обычно ферромагнетики

являются твердыми кристаллическими веществами2. Этим они резко отличаются от парамагнетиков.

В парамагнетике ориентация магнитных моментов отдельных атомов вдоль направления внешнего магнитного поля затруднена противодействием беспорядочного теплового движения, так как средняя энергия теплового движения kT много больше энергии W пот = −(pm B), которой обладает в магнитном поле с

индукцией В магнитный момент pm электрона, движущегося в атоме по орбите. Если бы в парамагнетике существовало какое-то взаимодействие между атомами и ионами, которое препятствовало бы дезориентирующему влиянию теплового движения, то магнитные моменты атомов могли бы ориентироваться вдоль поля, и парамагнетик имел бы не меньшую намагниченность, чем ферро-

магнетик.

Ферромагнетик отличается от парамагнетика тем, что в его кристаллической решетке между атомами существует весьма значительное взаимодействие за счет обменных сил, возникающих между соседними атомами (ионами) вследствие обмена электронами. Такое взаимодействие между атомами (ионами) позволяет магнитным спиновым моментам электронов ориентироваться в одном направлении.

В кристаллической решетке ферромагнетика атомы сильно взаимодействуют друг с другом. Ответственными за это взаимодействие являются в основном электроны внешних недостроенных оболочек; когда такие оболочки соседних атомов перекрываются, то атомы как бы обмениваются электронами.

Простейшим примером обменной связи за счет электронов является молекула водорода (рис. 3.42).

Рис. 3.42

Каждый атом водорода состоит из ядра, заряд которого равен заряду одного протона Н+ и одного электрона е, который вращается вокруг ядра по определенной орбите. Но когда атомы объединяются в молекулу Н2, то электронные орбиты перекрываются и электроны как бы начинают двигаться по одной общей орбите, а силы притяжения к ним протонов оказываются больше сил электростатического отталкивания протонов. В результате молекула водорода явля-

2 Имеется, правда, еще класс жидкокристаллических веществ, среди которых есть и ферромагнитные жидкости, но здесь мы их не рассматриваем.

ется устойчивой. При этом можно считать, что электроны, принадлежавшие раньше отдельным атомам, как бы будут меняться местами в атомах, вследствие чего и возникает обменное взаимодействие.

Приведенный пример является упрощенным. Реально между атомами железа, имеющими много электронов во внешних оболочках, существует более сложное обменное взаимодействие. Однако ферромагнитные свойства железа определяют 6 электронов в предпоследнем не целиком заполненном слое (всего для заполнения нужно 10 электронов) электронной оболочки, если последним слоем считать тот, в котором два электрона. Аналогично устроены электронные оболочки и других ферромагнетиков - кобальта Со и никеля Ni.

Энергия обменного взаимодействия атомов и в целом кристалла ферромагнетика будет минимальной, если спины электронов соседних атомов ориентированы параллельно и их магнитные моменты складываются. В результате в ферромагнетиках и образуются области спонтанного (самопроизвольного) намагничения, называемые доменами.3

В пределах домена все магнитные спиновые моменты электронов ориентированы параллельно друг другу, и потому в пределах данного домена имеет место магнитное насыщение. Однако в различных доменах ориентация спиновых моментов различается. Образование больших по размеру доменов увеличивает магнитную энергию домена и кристалла в целом или энергию собственного магнитного поля, пропорциональную Н2. Поэтому размеры доменов ограничены и имеют величину порядка 10-2 мм.

Энергия взаимодействия доменов будет наименьшей, когда они расположены так, что образуют замкнутые магнитные цепи (рис. 3.43, а). Здесь показаны четыре соседние домена, магнитные моменты которых отмечены стрелками, образующими замкнутую систему. Для наглядности можно считать, что соседние домены действуют друг на друга так же, как тонкие магниты или стрелки.

Рис. 3.43

Очевидно, что система из трех магнитов будет наиболее устойчивой и ее энергия магнитного взаимодействия будет наименьшей, когда эти магниты образуют замкнутый треугольник (рис. 3.43, б). Аналогично этому система из четырех магнитов будет иметь наименьшую энергию взаимодействия, если эти магниты располагаются по сторонам квадрата (рис. 3.43, в). В доменных структурах кристаллов вблизи их поверхности располагаются так называемые замыкающие домены, которые делают магнитную цепь замкнутой.

3 С понятием доменов мы уже встречались ранее, при изучении диэлектриков.

Между доменами с различной направленностью магнитных моментов существует граничный слой, для образования которого будет затрачена определенная энергия, так как в общем случае обменные силы благоприятствуют параллельной ориентации везде. Процесс дробления доменов, выгодный с точки зрения уменьшения магнитной энергии, будет происходить до тех пор, пока энергия, идущая на образование новых граничных слоев, не станет равной выигрышу в энергии за счет дробления доменов. Это равновесное состояние в кристалле кубической формы как раз и соответствует тому, что на протяжении 1 мм

будет 102 доменов и не более. Отсюда и определяются размеры домена - порядка 10-2 мм.

Возникновение в кристалле ферромагнетика доменной структуры является естественным следствием существования в таком кристалле различных видов взаимодействия, каждое из которых обладает своей энергией. К таким видам энергии относятся: энергия обменного взаимодействия, энергия анизотропии и магнитная энергия (энергия магнитного поля). Каждый из этих видов энергии взаимодействия вносит свой вклад в величину, определяющую общую энергию ферромагнитного поля.

Об энергии обменного взаимодействия и магнитной энергии выше уже упоминалось. Что же касается энергии анизотропии, то это понятие требует уточнения. Установлено, что в кристаллах ферромагнетика существуют такие кристаллографические направления или оси, называемые осями легкого намагничения, вдоль которых легко намагнитить кристалл. Существуют также направления, вдоль которых трудно намагнитить кристалл. Такие направления называются осями трудного намагничения.

На опыте было установлено, что для каждого ферромагнетика существует своя температура ТK, называемая температурой точки Кюри, выше которой ферромагнетик теряет свои особые свойства и переходит в обычный парамагнетик. При этом магнитная восприимчивость ферромагнетика при температурах выше точки Кюри (при Т > TK) определяется простым выражением

χ =	С	,	(3.186)

T −T K

которое называется законом Кюри-Вейсса. Постоянная С называется постоянной Кюри. Закон Кюри-Вейсса хорошо описывает наблюдаемые изменения с температурой магнитной восприимчивости ферромагнетика, находящегося в парамагнитной фазе, т.е. при Т > TK. Например, для железа температура точки Кюри равна TK ≈1043 K =770º C, а для никеля ТK=631 K =358º C. Железо при температуре выше 770º С полностью теряет свои ферромагнитные свойства, однако при уменьшении температуры ниже 770º С начальные свойства железа как ферромагнетика восстанавливаются. Однако постоянный магнит, нагретый до температуры T > TK, а затем охлажденный, теряет свои особые свойства, превращаясь в обычный ферромагнетик. Такой отожженный магнит нужно заново намагничивать.

Рассмотрим процесс намагничения ферромагнетика. Для этого образец ферромагнетика следует поместить в длинный соленоид и постепенно увеличивать силу тока в обмотке соленоида.

Типичная кривая намагничения (зависимость численного значения вектора намагничения J от напряженности магнитного поля Н) показана на рис. 3.44.

Рис. 3.44

Из графика видно, что с ростом силы тока I напряженность магнитного поля Н растет и намагничение J увеличивается. Вместе с ним увеличивается и магнитная индукция В=µ0(Н+J).

Вначале намагниченность растет медленно (область (1)), затем быстрее (область (2)). Здесь намагниченность J растет с возрастанием напряженности поля H практически по линейному закону. В области (3) рост намагниченности несколько замедляется и наступает насыщение (Jнас=Js), при котором намагниченность J уже не увеличивается с ростом Н.

С точки зрения доменной структуры ферромагнетиков все три области кривой намагничения можно истолковать следующим образом. В области (1) с ростом напряженности поля Н происходит смещение границ доменов, так что домены с выгодным расположением магнитных осей (направленных вдоль вектора Н) будут расти за счет всех других доменов. При этом в области (1) процесс такого перемещения границ доменов будет еще и обратимым процессом, т.е. при снятии поля все встанет на свои места - все доменные границы вернутся обратно.

Вобласти (2) происходит уже необратимый процесс смещения границ доменов и поворот их магнитных моментов вдоль напряженности поля. Следовательно, в этой области процесс намагничения по полю идет интенсивно. В области (3) заканчиваются повороты магнитных моментов доменов по полю и в намагничении наступает насыщение, при котором магнитные моменты всех доменов ориентируются вдоль напряженности поля Н.

Впроцессе намагничения смещение границ доменов и их повороты сопровождаются перемещением мест упругих напряжений решетки. В результате возникают дополнительные колебания решетки в диапазоне тепловых колебаний и происходит нагревание кристалла ферромагнетика. Нагреванием сопровождается также любое перемагничивание ферромагнитного материала.

Кривая намагничения ферромагнетика обычно изображается в виде зависимости В от Н в виде петли гистерезиса (рис. 3.45). Участок кривой 0-1 соответствует первичной кривой намагничения (см. рис. 3.44). Если после точки 1 уменьшать напряженность магнитного поля Н, то изменение В в зависимости от изменения Н идет уже не по кривой 1-0, а по кривой 1-2. В точке 2, соответствующей снятию поля (Н=0), остается остаточное намагничение, соответствующее индукции Вост. Для того, чтобы уничтожить это остаточное намагничение, необходимо приложить поле (-Нс) в направлении, противоположном первоначальному. Величина Нс называется коэрцитивной, или задерживающей, силой. Очевидно, что чем больше коэрцитивная сила у ферромагнетика, тем больше он подходит для изготовления постоянных магнитов.

Рис. 3.45

Из изложенного следует, что магнитная индукция В отстает он напряженно-

сти поля Н, так как при Н=0 имеется еще остаточная индукция Вост. Такое отставание или запаздывание в изменении В от Н называется гистерезисом.

При воздействии на ферромагнетик переменного магнитного поля напряженностью Н магнитная индукция В изменяется в соответствии с замкнутой кривой (петлей гистерезиса). После точки 1 дальнейший ход кривой соответствует замкнутой петле 1-2-3-4-5-6-1.

При слабых полях с напряженностью Н порядка нескольких тысяч Ампер/метр вектор намагничения достигает насыщения Js, которое настолько велико, что в формуле магнитной индукции B=µ0(H+J) величиной Н вполне можно пренебречь по сравнению с Js, т. е. при насыщении (в системе СИ)

Bs = µ0 (H + J s)≈ µ0 J s .

(3.187)

Значение индукции насыщения для железа достигает ВS 1…1,5 Тл. Это очень большое значение, близкое к предельному. При дальнейшем росте напряженности магнитного поля Н вектор намагничения перестает увеличивать-

ся, поскольку уже достиг своего предельного значения. Поэтому дальнейший рост магнитной индукции В может происходить лишь за счет роста Н.

Если напряженность поля Н будет очень велика (свыше 1000 А/м), то в формуле (3.187) первый член будет уже значительно превышать второй (Н >> J) и вектором намагничения J можно пренебречь по сравнению с вектором Н. Тогда

B ≈ µ0 H .

(3.188)

Магнитная проницаемость ферромагнетика является функцией вектора напряженности магнитного поля Н, и ее зависимость от этой величины описывается кривой рис. 3.46, т. е. при насыщении µ стремится к единице.

Рис. 3.46

При слабых полях можно, наоборот, пренебречь величиной J по сравнению

сН. Результат же будет тем же самым: µ также стремится к единице.

Впромежуточном состоянии чаще рассматривается так называемая дифференциальная, или динамическая, магнитная проницаемость

µ		= lim	∆B	= dB	,	(3.189)
	D		∆H
		∆H →0		dH

которая равна отношению малого приращения индукции ∆B, вызванного приращением напряженности ∆Н, к величине этого приращения ∆Н.

В дифференциальной форме µD определяется для данной точки кривой В=В(Н), и геометрически она равна тангенсу угла наклона касательной к кривой В=В(Н), который эта касательная составляет с осью Н.

Если двигаться по петле гистерезиса В=В(Н), то µD=tgα будет изменяться медленнее, чем отношение НВ = µ. Поэтому в электротехнических расчетах µD

иногда считают постоянной величиной и ею характеризуют ферромагнитный материал. Однако для более точных расчетов в справочниках приводится 2 - 3 значения этой величины: для слабых полей, для средних и для очень сильных полей.

Вопросы для самопроверки

1.Что такое магнетики?

2.Чем отличаются диамагнетики от парамагнетиков?

3.Что такое ферромагнетики?

4.Что такое обменная связь и как определяется энергия обменного взаимодействия?

5.Сформулируйте закон Кюри-Вейсса.

6.Что такое точка Кюри?

7.Что такое магнитная восприимчивость? В чем состоит ее физический смысл?

8.Как связана магнитная восприимчивость с относительной магнитной проницаемостью?

9.Что такое домены?

10.Что такое коэрцитивная сила?

11.Что такое остаточная намагниченность. Что такое гистерезис?

12.Почему относительная магнитная проницаемость зависит от величины напряженности магнитного поля?

3.2.2.4. Электромагнитная индукция

Опыт показывает, что электрические токи создают вокруг себя магнитное поле. Но существует и обратное явление: магнитное поле вызывает появление электрических токов. Это явление было открыто в 1831 году английским ученым Майклом Фарадеем и получило название электромагнитной индукции.

В замкнутом проводящем контуре в результате изменения магнитного потока через площадь, ограниченную этим контуром возникает электродвижущая

сила индукции ( инд) и индукционный ток. Количественно ЭДС индукции равна

скорости изменения магнитного потока во времени, т. е.

инд = −	dФ	,	(3.190)
	dt

где магнитный поток
ФВ = ∫BdS =∫BdScosα.			(3.191)
S		S

Знак «минус» в выражении (3.190) определяется правилом Ленца, смысл которого рассмотрен ниже. Следует отметить, что ЭДС индукции может возникать не только в замкнутом контуре, но и в одиночном проводнике в том случае, если этот проводник пересекает линии магнитной индукции (В).

Существенно также, что величина инд не зависит от способа изменения магнитного потока, а определяется только скоростью его изменения.

Природа ЭДС индукции объясняется на основе электронных представлений. Рассмотрим проводящий контур, одна сторона которого (l) подвижна, а весь контур находится в однородном магнитном поле, силовые линии которого перпендикулярны плоскости рисунка (рис. 3.47). Если проводник l перемещается вправо со скоростью v, то за время dt он переместится на расстояние dx=vdt. При этом магнитный поток, сцепленный с контуром, изменится на величину

dФ = BdS = Blvdt ,

(3.192)

где dS=lvdt - площадь, пересекаемая проводником l при его движении.

+
B	v
(1)	(2)
dx=vdl
Рис. 3.47

С такой же скоростью v будут перемещаться и электроны внутри проводника, причем векторы v иВ направленыперпендикулярно друг другу. На электрон будет действовать сила Лоренца (рис. 3.48), направленная вдоль проводника:

Fл=evВ.

(3.193)

ст
Е =Еинд	e

Fл

Рис. 3.48

Действие этой силы на электрон эквивалентно действию на него сторонней силы Fст=evB=eEст за счет электрического поля с напряженностью Ест=vB. Это реально существующее электрическое поле, которое можно назвать сторонним, поскольку было вызвано в данном случае чисто механическим движением проводника в однородном магнитном поле. Силовые линии стороннего поля замкнуты, поле имеет вихревой характер. Работа, совершаемая индукционным электрическим полем с напряженностью Ест по перемещению единичного заряда вдоль замкнутого контура, не равна нулю.

ЭДС индукции равна

инд = ∫Eстdl = vBl = ВdS		= dФ	(3.194)
l	dt	dt
l

и совпадает с законом электромагнитной индукции.

Правило Ленца

Знак «минус» в законе электромагнитной индукции устанавливается прави-

лом Ленца:

1)для одиночного проводника: ЭДС индукции, возникающая в одиночном проводнике, всегда имеет такое направление, чтобы препятствовать причине, ее вызывающей. В рассмотренном выше примере движение подвижной части контура вправо под действием силы Ампера приводит к уменьшению магнитного потока, сцепленного с контуром. Индукционный ток направлен противоположно току в цепи, а сила Ампера за счет индукционного тока стремится вытолкнуть проводник, увеличивая магнитный поток, пронизывающий контур.

2)для замкнутого контура: возникающий в замкнутом контуре индукционный ток имеет такое направление и такую величину, чтобы создаваемый им собственный магнитный поток компенсировал изменение внешнего магнитного потока, сцепленного с контуром.

Если первоначально поток, сцепленный с контуром, был равен Ф, а затем

увеличился до (Ф+∆Ф), то по правилу Ленца индукционный ток в контуре создает поток (∆Ф), восполняющий изменение внешнего магнитного потока.

Рассмотрим теперь произвольный контур, расположенный в магнитном поле с индукцией В, которая является функцией координат и времени: B=B(x,у,z,t). Выражение для ЭДС индукции запишется в виде

инд = −	d	∫BdScosα,	(3.195)
	dt
		s

где α – угол между вектором В и нормалью n к контуру.

Если контур не деформируется, т. е. dS не изменяется с течением времени, то дифференцируя это выражение (9.17), можно получить

инд= −∫	∂B	dScos α − ∫(v,gradB)dScosα − ∫BdS		d	(cosα). (3.196)
	∂			dt
s	t		s
		s

Наличие трех слагаемых в этом выражении показывает, что ЭДС индукции может возникать в недеформируемом контуре в трех случаях.

1. Контур не движется поступательно и не вращается:

v = 0		è		d	(cosα)= 0 .
v = 0		è		dt	(cosα)= 0 .
Тогда				dt
Тогда						∫(		)n
	∫						∂B
	∫	∂t					∂t
инд= −	s	∂	dScosα = −			s		dS .	(3.197)
инд= −			dScosα = −					dS .	(3.197)

Как было показано ранее, инд можно рассматривать как циркуляцию вектора напряженности стороннего электрического поля по замкнутому контуру, т. е.

инд = ∫E ст dl .	(3.198)
l

Приравняв правые части выражений (3.197) и (3.198), получим

∫	Eстdl = −	∫	∂B		(3.199)
			∂t
l		S	dS .
				n

Это выражение представляет собой второе уравнение Максвелла в инте-

гральной форме и показывает, что переменное во времени магнитное поле порождает переменное вихревое электрическое поле, т. е. закон электромагнитной индукции устанавливает взаимосвязь переменных магнитного и электрического полей, существование единого электромагнитного поля. В этом важный физический смысл этого закона.

2. Контур движется поступательно в неоднородном магнитном поле:

v ≠ 0 и grad B ≠ 0 .

В этом случае первое и третье слагаемые в формуле (3.196) обращаются в

нуль и
инд= −∫(v,gradB)dScosα.		(3.200)
s	d
3. Поле однородно (B = const), а контур вращается:	d	(cosα ≠ 0). Предпо-
3. Поле однородно (B = const), а контур вращается:	dt	(cosα ≠ 0). Предпо-
	dt

ложим, что контур вращается с постоянной угловой скоростью ω=α/t в однородном магнитном поле с индукцией В.

Тогда		d
инд= −∫BdScosα = −B		d	(cosѓ t )∫ЦdS = max sin ωt,	(3.201)
инд= −∫BdScosα = −B		dt	(cosѓ t )∫ЦdS = max sin ωt,	(3.201)
s			s
где	инд =BS ω.			(3.202)

Отсюда следует, что при равномерном вращении контура в постоянном магнитном поле в нем возникает переменная синусоидальная ЭДС и переменный ток. Это самый распространенный способ получения переменного тока.

Явление самоиндукции. Индуктивность

Частным случаем явления электромагнитной индукции является случай, когда магнитный поток создается током, текущим в самом контуре. Если этот ток изменяется, то в контуре изменяется его собственное магнитное поле (В), а следовательно, и собственный магнитный поток. Это приводит к появлению в таком контуре ЭДС самоиндукции и дополнительных индукционных токов, называемых экстратоками самоиндукции.

Таким образом, явление самоиндукции - это возникновение ЭДС индукции в контуре при изменении связанного с ним собственного магнитного потока.

В соответствии с законом Био-Савара-Лапласа магнитная индукция пропорциональна току, вызвавшему магнитное поле. Отсюда следует, что ток I в контуре и создаваемый им магнитный поток Ф пропорциональны друг другу:

Ф = LI.

(3.203)

Коэффициент пропорциональности (L) между током и магнитным потоком называется индуктивностью контура. Подставим это выражение в выражение для закона электромагнитной индукции:

L = −

dФ

= −

d(LI )

= −L

− I

(3.204)

В отсутствие ферромагнетиков L не зависит от тока, поэтому

L = −L

(3.205)

Отсюда видно, что индуктивность L численно равна ЭДС самоиндукции, если сила тока в контуре изменяется на единицу за единицу времени (если dI/dt=1). В системе СИ индуктивность измеряется в Генри.

Примером явления самоиндукции являются экстратоки замыкания и размыкания. Согласно правилу Ленца индукционные токи, возникающие в конту-

ре, направлены так, чтобы препятствовать изменению тока, текущего в цепи. Это приводит к тому, что установление тока при замыкании цепи и убывание тока при размыкании происходит не мгновенно, а постепенно (рис. 3.49, а, б).

Рис. 3.49

Индуктивность определяется геометрической формой контура и средой, в которой расположен этот контур.

В качестве примера вычислим индуктивность соленоида, считая его достаточно длинным (l >>d, где l - длина соленоида, d - диаметр его витков). В этом случае магнитную индукцию В можно считать равной величине магнитной индукции внутри бесконечного соленоида, т. е.

B=µµonI.	(3.206)
Каждый виток соленоида пронизывает поток Ф=ВS, а потокосцепление
ψ=NФ=nl BS=µµon2l SI,	(3.207)

где n=N/l - число витков на единицу длины соленоида.

С другой стороны, согласно (3.203), ψ=LI. Приравнивая правые части выражений (9.25) и (9.29), определим индуктивность катушки с сердечником из ферромагнетика (относительная магнитная проницаемость которого равна µ):

	N 2	2
L = µµ0		S = µµ0n V ,	(3.208)
	l

где V=Sl - объем соленоида.

Оказывается, что индуктивность соленоида прямо пропорциональна квадрату числа витков, площади поперечного сечения соленоида и относительной магнитной проницаемости сердечника и обратно пропорциональна длине катушки.

Взаимная индукция

ЭДС, возникающая в контуре, благодаря изменению пронизывающего его магнитного потока, созданного другим контуром, называется ЭДС взаимной индукции.

100

Рассмотрим два контура, расположенные вблизи друг друга (рис. 3.50).

Ток I1, текущий в первом контуре, создает сцепленный со вторым контуром полный магнитный поток, пропорциональный I1, т. е.

Ψ2 = L21 I1 .

(3.209)

Силовые линии поля В1, создающего этот поток, показаны на рис. 3.50 сплошными линиями. При изменении тока I1 в контуре 2 индуцируется ЭДС:

2	= − L21	dI1	.	(3.210)

		dt

Аналогично при протекании в контуре 2 тока I2 возникает поток Ψ1, сцепленный с 1 контуром:

Ψ1 = L12 I 2 .

(3.211)

Изменение тока I2 приводит к индуцированию в контуре 1 ЭДС:

1	= − L12	dI 2	.	(3.212)

		dt

Контуры 1 и 2 называются связанными контурами, а явление возникновения ЭДС в одном из контуров при изменении силы тока в другом называется вза-

имной индукцией.

B2	I	B
	1	1

1 2

Рис. 3.50

101

Коэффициенты L12 и L21 - взаимные индуктивности контуров. В отсутствие ферромагнетиков L12 = L21. Величина L12 зависит от формы, размеров и взаимного расположения контуров, а также от относительной магнитной проницаемости среды, окружающей контуры. Измеряется L12 в тех же единицах, что и индуктивность, т. е. в Генри.

Определим взаимную индуктивность двух катушек, намотанных на общий тороидальный сердечник (рис. 3.51). С обеими обмотками сцеплен одинаковый магнитный поток. Если первая обмотка имеет N1 витков и по ней течет ток силы I1, то согласно теореме о циркуляции

Hl = N1I1,

(3.213)

где l - длина сердечника. Магнитный поток через поперечное сечение сердечника

Φ = BS = µµ0HS.

(3.214)

Тогда полный поток, сцепленный со второй обмоткой, (Ψ2) с учетом (3.213) и (3.214) запишется в виде

ψ	2	= N Ф = N		µµ	HS = S µµ	0	N N	2	I	.	(3.215)
	2	2	2	0	l	0	1	2	1
					l

Из сопоставления выражения (3.215) с формулой (3.209) получаем

L21 =	S	µµ0 N1N 2 .	(3.216)

	l

Рис. 3.51

Аналогичные рассуждения позволяют вычислить коэффициент взаимной индукции:

L12 =	S	µµ0 N1N 2 ,	(3.217)

	l

102

совпадающий с L21.

Следует заметить, что в данном случае нельзя утверждать, что L12 = L21. Действительно, множитель µ, входящий в выражение для коэффициентов L12 и L21, зависит от напряженности магнитного поля в сердечнике. Если N1 ≠ N2 , то при пропускании одного и того же тока один раз по первой, а другой раз по второй обмотке, в сердечнике создаются поля разной напряженности H. Соответственно значения µ в обоих случаях будут различными, поэтому при I1 = I2 численные значения L12 и L21 не совпадают.

Энергия магнитного поля

Рассмотрим произвольный контур, индуктивность которого равна L. В отсутствие тока в окружающем пространстве магнитного поля нет, и магнитный поток Ф, сцепленный с контуром, равен нулю. При протекании через контур тока I контур будет пронизывать магнитный поток

Ф=LI.

(3.218)

Изменение тока на величину dl приводит к изменению магнитного потока на величину

dФ=LdI.

(3.219)

Однако для изменения магнитного потока источник тока должен совершить работу

dA=I dФ,

(3.220)

которая идет на увеличение запаса энергии контура с током

dW = dA = IdФ = LldI.

(3.221)

В отсутствие тока (I=0) эта энергия равна нулю, но при увеличении тока до некоторого значения I энергия контура с током будет равна

I	LI	2
W = ∫LIdI =	LI	2	.	(3.222)
W = ∫LIdI =	2		.	(3.222)
0

Это энергия магнитного поля контура с током. Можно связать выражение этой энергии через параметры магнитного поля, т. е. через вектор индукции магнитного поля В (или через напряженность Н). Рассмотрим однородное магнитное поле внутри соленоида, индуктивность которого равна

L =	µµ0 N 2S	,	(3.223)
	l

где N - число витков соленоида.

103

Напряженность магнитного поля внутри бесконечно длинного соленоида равна

H = nI =			N	I ,	(3.224)
H = nI =			l	I ,	(3.224)
откуда следует			l
откуда следует
I =	Hl	.			(3.225)
I =		.			(3.225)
	N
Подставляя значения L (3.223) и тока I (3.225) в формулу (3.222), получим

W =W M	= LI 2	= 1	µµ0Sl H 2 = 1					µµ0H 2V ,	(3.226)
где V=Sl - объем соленоида.	2	2			2
где V=Sl - объем соленоида.
Объемная плотность энергии магнитного поля определяется так:
	wM =	W M		=	1 µµ0 H 2 .				(3.227)
	wM =	V		=	1 µµ0 H 2 .				(3.227)
		V			2
Поскольку B = µµ0H , то выражение (3.227) можно переписать в терминах
индукции магнитного поля (В):
wM = 1		µµ0 H			2 =	B2	.		(3.228)
wM = 1		µµ0 H			2 =		.		(3.228)
	2				2µµ0

Объемная плотность энергии магнитного поля прямо пропорциональна квадрату напряженности (или индукции) магнитного поля в данной точке.

Пример 11

Соленоид с сердечником из немагнитного материала содержит 1200 витков провода, плотно прилегающих друг к другу. При силе тока 4 А магнитный поток равен 4 мкВб. Определить индуктивность соленоида и энергию его магнитного поля.

Дано:

N = 1200

I= 4 А

Ф= 4 мкВб = 4 10-6 Вб

____________________

L - ? W - ?

Решение. Индуктивность L связана с потокосцеплением Ψ и силой тока I соотношением

Ψ = LI .

(3.229)

104

В свою очередь, потокосцепление можно найти через поток Ф и число витков N (когда витки плотно прилегают друг к другу):

Ψ = NФ .

(3.230)

Из формул (3.229) и (3.230) находим индуктивность соленоида:

L =	NФ	.	(3.231)

	I

Энергия магнитного поля соленоида

W =	1	LI 2 .	(3.232)
Выразив L согласно (3.231), получим	2

W =	1	NФI .	(3.233)
	2

Подставим в формулы значения физических величин и произведем вычисления:

L = 1,2 103 6 10−6 =1,8 10−3 Гн =1,8 мГн; 4

W = 12 1,2 103 6 10−6 4 =1,44 10−2 Дж = 14,4 мДж.

Вопросы для самопроверки

1.Что называется элементарным магнитным потоком?

2.Что называется магнитным потоком?

3.При каких условиях магнитный поток равен нулю?

4.При каких условиях магнитный поток равен произведению индукции магнитного поля на площадь контура?

5.Сформулируйте определение явления электромагнитной индукции.

6.Сформулируйте закон электромагнитной индукции.

7.Дайте определение циркуляции магнитного поля.

8.Запишите закон ЭМИ для вихревого электрического поля.

9.Какое поле является вихревым?

10.Чем отличается электрическое поле, созданное точечным зарядом, от электрического поля, появляющегося при ЭМИ?

11.Сформулируйте закон ЭМИ для замкнутого проводящего контура.

12.При каких условиях возникает ЭДС самоиндукции?

13.Сформулируйте определение явления самоиндукции.

14.Сформулируйте словами закон самоиндукции.

15.Назовите способы создания переменного магнитного потока.

105

3.2.2.5. Уравнения Максвелла

Закон электромагнитной индукции Фарадея, который был рассмотрен выше, записывался в следующем виде:

eинд = −	dФ	,	(3.234)
	dt

где магнитный поток
Ф = ∫BdS =∫BdScosα.			(3.235)

S S

Магнитный поток Ф пронизывает не только площадь контура, но и любую поверхность, опирающуюся на этот контур, т. е. ограниченную этим контуром.

Вектор dS по абсолютному значению равен площади бесконечно малого участка этой поверхности, т.е. ее элемента, направлен нормально к этой поверхности, а векторная величина В - вектор магнитной индукции, являющийся функцией координат точки пространства и времени. Угол α представляет собой угол между векторами dS и В. Для фиксированной точки поверхности S магнитная индукция зависит только от времени, и поэтому в (3.236) полную производную можно приравнять частной производной по времени:

eинд = −∂∂Фt .

Тогда можно записать:

eинд = ∫∂BdScosα

S ∂t

или

	∂B	dS .
eинд = ∫		dS .
S	∂t n

(3.236)

(3.237)

(3.238)

Из общих соображений ЭДС индукции можно определить через циркуляцию вектора напряженности E èí ä стороннего индуцированного электрического поля по замкнутому контуру l, ограничивающему поверхность S :

eинд = ∫E индdl∫Eиндdlcosα.			(3.239)
	l	l
Отсюда		∂Bn dS .
∫Eиндdl = −∫		∂Bn dS .	(3.240)
l	S	∂t
l	S

Отсюда следует, что если существует переменное во времени магнитное по-

ле (∂∂Bt ≠ 0) , то оно порождает электрическое поле, циркуляция которого не равна нулю. Это электрическое поле имеет индукционное происхождение, т. е.

106

будет вихревым, в отличие от потенциального - электростатического (рис. 3.52).

∂B

∂t

Рис. 3.52

Силовые линии вихревого поля будут замкнутыми. Кроме того, ∂∂Bt можно считать источником вихревого электрического поля E инд. Поэтому на рисунке изображен вектор ∂∂Bt как источник вихревого электрического поля. Направле-

ние вектора E инд, который мы дальше будем обозначать Е, не соответствует правилу правого винта, а будет прямо противоположным этому направлению, так как учитывается знак минус в законе электромагнитной индукции.

Уравнение (3.240) представляет собой второе уравнение Максвелла. Физический его смысл состоит в следующем: всякое появление и изменение во времени магнитного поля вызывает появление и изменение сцепленного с ним электрического поля. Идея Максвелла состояла в том, что должно быть и обратное - всякое появление и изменение во времени электрического поля вызывает появление и изменение сцепленного с ним магнитного поля.

Рассмотрим переменное электрическое поле, которое образуется в пространстве между двумя пластинами плоского конденсатора, к которым приложена переменная разность потенциалов (рис. 3.53).

По проводнику течет ток, плотность которого равна jпр (ток проводимости). Внутри конденсатора ток проводимости отсутствует, поскольку отсутствуют заряды. Выберем замкнутую поверхность S, заключающую в себя одну из обкладок. Заряды, перемещающиеся по проводнику, накапливаются на обкладке, находящейся внутри поверхности. Согласно теореме Гаусса суммарный заряд, находящийся внутри этой поверхности, равен потоку вектора электрической индукции через эту поверхность:

q = ∫DdS .

(3.241)

Плотность зарядов на поверхности обкладки конденсатора переменная, и соответственно индукция электрического поля внутри конденсатора - тоже переменная.

107

S	jпр	jсм	jпр

		D

Рис. 3.53

Таким образом, внутри конденсатора появляется постоянное электрическое поле с индукцией D, причем абсолютное значение этой индукции численно равно плотности σ зарядов на поверхности обкладки конденсатора.

Уравнение непрерывности в этом случае запишется так:

− ∂∂qt = ∫S jdS ,

где j - вектор плотности тока проводимости. Подставляя (3.241) в лучим

− ∂∂t ∫DdS = ∫ jdS .

S S

(3.242)

(3.242), по-

(3.243)

Так как в выражении (3.243) интегралы берутся по одной и той же поверхности, то их можно объединить:

	∂D	,	(3.244)
j +	dS = 0	,	(3.244)
∫	∂t
S

откуда следует, что линии тока

j + ∂∂Dt = jполн ,

который мы назовем полным током, оказываются замкнутыми.

Величина ∂∂Dt имеет размерность плотности тока и была названа Максвел-

лом плотностью тока смещения. В разделе 3.2.1.2 было показано, что вектор

108

электрической индукции D внутри конденсатора численно (т. е. по модулю) равен плотности зарядов на поверхности конденсатора σ:

D = σ.

Поэтому

∂∂Dt = ∂σ∂t = j .

По гипотезе Максвелла до пластин конденсатора существует ток проводимости j, а между пластинами он переходит в равный ему ток смещения:

jсм =	∂D	,	(3.245)
	∂t

который определяется скоростью изменения индукции электрического поля со временем. Поэтому линии тока (полного тока) оказываются замкнутыми.

Ток смещения согласно гипотезе Максвелла создает магнитное поле. Эта гипотеза подтвердилась на многочисленных опытах. Ток смещения, действительно, создает переменное вихревое магнитное поле, его силовые линии замкнуты (рис. 3.54), причем направление магнитного поля, созданного током смещения, как видно на рис. 3.55, соответствует правилу правого винта (штопора).

∂D jсм= ∂t

H H

Рис. 3.54

В общем случае ток смещения также может состоять из двух частей, одна из которых обусловлена наличием проводимости среды внутри конденсатора. Однако в диэлектриках эта часть весьма незначительна и ею можно пренебречь.

Таким образом, переменное во времени электрическое поле (ток смещения

∂∂Dt ≠ 0 ) создает переменное вихревое магнитное поле ( ∂∂Bt ≠ 0 ), которое, в

свою очередь, создает переменное вихревое электрическое поле.

Из рис. 3.55 видно, что силовые линии магнитного поля, создаваемого током смещения ∂∂Dt , будут замкнутыми. То же самое можно сказать и в отношении

электрического поля, индуцированного переменным магнитным полем ∂∂Bt .

109

Следовательно, переменные во времени электрическое и магнитное поля не могут существовать раздельно друг от друга и оказываются неразрывно связан-

ными - образуют единое электромагнитное поле.

Само разделение поля на две части - чисто электрическое и чисто магнитное является относительным. В самом деле, по принципу относительности все физические законы, в том числе и электромагнитные, являются инвариантными (т. е. имеют одинаковый вид, описываются одинаковыми уравнениями) во всех инерциальных системах отсчета. Поэтому если электрические заряды неподвижны относительно данной системы отсчета, то в ней они создают только электрическое поле. В другой же системе отсчета, относительно которой эти заряды подвижны, они создают и электрическое, и магнитное поля, поскольку,

как мы знаем, магнитное поле создается движущимися зарядами. Точно так же постоянный ток в неподвижном проводе создает постоянное магнитное поле. Однако в другой инерциальной системе, в которой провод движется, магнитное поле будет меняться, и оно вызовет вихревое электрическое поле.

Система уравнений Максвелла в интегральной форме

Первое уравнение Максвелла является обобщением закона полного тока,

который утверждает, что циркуляция вектора напряженности магнитного поля H по произвольному замкнутому контуру, который охватывает несколько проводников с токами, равна алгебраической (т .е. с учетом знаков) сумме этих токов:

	n
∫Hdl = ∑I i ,
l	i =1

где n - число проводников.

Можно обобщить это выражение на случай, когда магнитное поле создается не отдельными дискретными проводниками с токами, а микроскопическими токами, распределенными в пространстве с плотностью j. Эти токи текут через произвольную поверхность S, ограниченную контуром l, по которому берется

циркуляция. Говорят, что поверхность S опирается на этот контур.
Тогда получим
∫Hdl = ∫ jdS .	(3.246)

l S

Ток смещения также создает магнитное поле, как и ток проводимости. Поэтому вместо j можно подставить выражение для плотности полного тока.

∫			∂D
∫	Hdl =	∫	∂t	(3.247)
	Hdl =	j +	dS .	(3.247)
l		S

Это выражение и является первым уравнением Максвелла в интегральном виде для переменного поля. Циркуляция вектора H в общем случае не равна нулю. Это означает, что магнитное поле с напряженностью H является вихревым и можно определить физический смысл первого уравнения Максвелла.

110

Первое уравнение Максвелла показывает, что переменное во времени элек-

трическое поле ( ∂∂Dt ≠ 0) вызывает переменное во времени вихревое магнитное

поле, циркуляция которого и определяется выражением (3.247). В свою очередь, появление переменного магнитного поля сразу же влияет на исходное переменное электрическое поле согласно второму уравнению Максвелла (3.240). Таким образом, оба поля - переменные электрическое и магнитное - своим существованием и изменением обязаны друг другу. Они существуют только совместно, и существовать по отдельности не могут. Независимо друг от друга могут существовать только статические электрическое и магнитное поля. Переменные же электрическое и магнитное поля образуют единое электромагнитное поле, которое описывается двумя уравнениями Максвелла. Поэтому и уравнения Максвелла не могут рассматриваться по отдельности друг от друга, а

только совместно, образуя систему уравнений Максвелла.

Эта система уравнений записывается следующим образом:

				∂D	(3.248)
∫Hdl = ∫ j +				dS. . . . . . . . . . . (I)
l	S			∂t
		∂B			(3.249)
∫Edl = ∫		∂B	dS. . . . . . . . . . . . . . (II)		(3.249)
∫Edl = ∫			dS. . . . . . . . . . . . . . (II)
l	S	∂t
l	S	∂t

В правой части первого уравнения Максвелла присутствуют как ток прово-

димости j, так и ток смещения	∂D	. В металлах обычно	∂D	<< j , и первое урав-
			∂t
	∂t
нение Максвелла превращается в уже знакомый нам закон полного тока:
	∫Hdl = ∫ jdS = I .			(3.250)

l S

Для диэлектриков же ток проводимости пренебрежимо мал сравнительно с током смещения j << ∂∂Dt , и первое уравнение Максвелла принимает вид

∫Hdl = ∫∂∂Dt dS .		(II)	(3.251)
l	S

Пару уравнений Максвелла следует дополнить еще двумя. Третье уравнение Максвелла представляет собой теорему Гаусса для магнитного поля:

∫BdS = ∫BndS = 0 ,

(III)

(3.252)

ачетвертое - теорему Гаусса для электрического поля:

∫DdS = ∫DndS = q .		(IV)	(3.253)
S	S

111

Таким образом, система уравнений Максвелла для непроводящей среды имеет следующий вид:

∫			∂D
∫	Hdl = ∫ j +		dS. . . . . . . . . . . (I),
l	S		∂t
∫Edl = ∫		∂B dS. . . . . . . . . . . . . . (II),
∫Edl = ∫		∂B dS. . . . . . . . . . . . . . (II),
l	S	∂t		(3.254)
∫BdS = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . .(III),
l
l
∫
∫
	DdS = q. . . . . . . . . . . . . . . . . .(IV),
l

где D = ε0εE , B = µ0µH . Следует, правда, иметь в виду, что эти соотношения

справедливы для так называемой изотропной среды, т. е. такой среды, свойства которой одинаковы во всех направлениях. В общем случае анизотропной среды, т. е. такой, свойства которой зависят от направления, уравнения (3.254) усложняются. Этот общий случай здесь не рассматривается.

Вместе с системой уравнений Максвелла обычно записывается выражение для энергии электромагнитного поля:

	ED		BH
W эм = ∫		+		dV ,	(3.255)
W эм = ∫	2	+	2	dV ,	(3.255)
V

так как объемная плотность энергии электрического и магнитного полей определяется формулой

wэм =	1	ED +	1	BH .	(3.256)
	2		2

Векторы напряженности электрического поля Е и индукции магнитного поля В взаимно-перпендикулярны друг другу. Векторы индукции электрического поля D (который направлен в ту же сторону, что и вектор Е), и напряженности магнитного поля H (направленный так же, как и вектор В) также взаимноперпендикулярны. Направление магнитного поля, созданного током смещения,

соответствует правилу правого винта.

Выражения (3.254) представляют собой уравнения Максвелла в интегральной форме. Интегральная форма более наглядна, поскольку первое и второе уравнения Максвелла являются обобщениями закона полного тока (первое уравнение) и закона электромагнитной индукции (второе уравнение).Однако для расчетов электромагнитного поля и исследования электромагнитных волн интегральная форма записи уравнений Максвелла мало пригодна. Дальнейшее обобщение приводит к необходимости описания поля в заданной точке пространства. Этого можно достичь, стягивая контур в точку, бесконечно уменьшая его размеры. При этом мы переходим к так называемой дифференциальной форме записи уравнений Максвелла.

112

Вопросы для самопроверки

1.Сформулируйте закон электромагнитной индукции Фарадея.

2.Что такое вихревое электрическое поле и чем оно отличается от потенциального?

3.Является ли индукционное электрическое поле вихревым или потенциальным?

4.Что такое ток смещения и чем он отличается от тока проводимости?

5.Сформулируйте теорему о циркуляции вектора напряженности магнитного поля.

6.Сформулируйте теорему Гаусса для электрического поля.

7.Как формулируется теорема Гаусса для магнитного поля?

8.В чем состоит физический смысл первого уравнения Максвелла?

9.В чем состоит физический смысл второго уравнения Максвелла?

10.Запишите выражение для плотности энергии электромагнитного поля.

Тест по разделу 3.2.2

МАГНЕТИЗМ

1.Индукция магнитного поля в вакууме равна 1,2 мкТл. Определить напряженность магнитного поля.

2.По двум плоским контурам одинаковой площади в 1 см2, один из которых имеет вид окружности, а второй – квадрата, протекает ток 1 А. Каковы магнитные моменты контуров?

3.Контур, по которому течет ток в 2 А, имеющий 100 одинаковых витков площадью по 0,5 м2, помещен в магнитное поле с индукцией 2 Тл. Определить наибольший и наименьший вращающие моменты.

4.Для каких из магнетиков – диамагнетиков, парамагнетиков или ферромагнетиков относительная магнитная проницаемость меньше единицы?

5.Определить циркуляцию вектора напряженности магнитного поля по контуру, охватывающему кабель питания телевизора мощностью 100 Вт.

6.Определить напряженность магнитного поля внутри соленоида длиной 0,1 м, если соленоид имеет100 ампер-витков.

7.Какой заряд протечет по контуру с сопротивлением 2 Ома, если магнитный поток изменится с 4 Вб до 2 Вб?

8.Какая ЭДС индукции возникнет в контуре площадью 1 м2, помещенном ортогонально силовым линиям магнитного поля с индукцией 1 Тл, если за время 0,5 с магнитный поток уменьшится вдвое?

9.В контуре с индуктивностью 1 Гн ток изменяется со скоростью 2 А/с. Определить ЭДС самоиндукции.

10.Определить работу, которую нужно совершить, чтобы повернуть контур с током, находящийся в однородном магнитном поле с индукцией 1 Тл, на 180°.

113

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.02.20161.17 Mб211_do-sotsiologiya.pdf
#
16.02.2016879.05 Кб131_el-mash-spets-nazn-lab-rab.pdf
#
16.02.2016952.62 Кб521_elektrodinamika.pdf
#
16.02.20165.12 Mб2391_elektroenergetika-1-ispr.pdf
#
16.02.20162.31 Mб661_elektromehanika.pdf
#
16.02.20162.34 Mб281_fizika_ch-2umk-2.pdf
#
16.02.20162.06 Mб621_kolebaniya-i-volnyi--umknovoe1.pdf
#
16.02.20161.71 Mб241_matematika-ch--1,-2-y-semestr-2009-11-09.pdf
#
16.02.2016366.65 Кб91_praktika-doc.pdf
#
16.02.20161.27 Mб1721_sbornik-kontrolnih-rabot-po-fizike.pdf
#
16.02.20161.09 Mб211_sotsiologiya-svodnyiy-fayl-2010-03-22.pdf