• 2. Метод стрельбы.

Это численный метод, заключающийся в сведении краевой задачи к некоторой задаче Кощи для той же системы дифференциальных уравнений. Рассмотрим его на примере простейшей задачи для системы двух уравнений первого порядка с краевыми условиями достаточно общего вида

Выберем произвольно значение и рассмотрим левое краевое условие как алгебраическое уравнение и определим удовлетворяющее ему значение. Возьмем значения в качестве начальных условий задачи Коши для системы  и проинтегрируем эту задачу Коши любым численным методом (например, по схемам Рунге—Кутта).

При этом получим решение  зависящее от параметра.

Значение выбрано так, что найденное решение удовлетворяет левому краевому условию . Однако правому краевому условию это решение, вообще говоря, не удовлетворяет: при его подстановке левая часть правого краевого условия, рассматриваемая как некоторая функция параметра

Надо каким-либо способом менять параметр, пока не подберем такое значение, для которого краевое условие выполняется с требуемой точностью. Таким образом, решение краевой задачи  сводится к нахождению корня одного алгебраического уравнения

Можно избежать этого усложнения, если решать уравнение  разностным аналогом метода Ньютона — методом секущих. Для этого первые два расчета делают с наудачу выбранными значениями а следующие значения параметра вычисляют по формуле :

Вместо этого процесса можно использовать метод парабол, в котором также не требуется располагать явным выражением производных, а достаточно лишь знать об их существовании. Напомним, что последние три метода быстро сходятся вблизи корня; сходимость вдали от корня зависит от того, насколько удачно выбрано нулевое приближение.

Линейные задачи решаются методом стрельбы особенно просто. Пусть система  и краевые условия  линейны;

Тогда начальные условия соответствующей задачи Коши примут вид

Нетрудно сообразить, что решение задачи Коши будет линейно зависеть от параметра, поэтому решение также будет линейной функцией.

Но линейная функция одного аргумента полностью определяется своими значениями в любых двух точках а ее график является прямой, т. е. совпадает со своей секущей. Значит, найденное по формуле секущих  значение является точным корнем уравнения , так что расчет с этим значением параметра даст искомое решение. Таким образом, для решения линейной краевой задачи достаточно трижды решить задачу Коши.

Метод стрельбы прост, применим как к линейным, так и к нелинейным задачам и позволяет использовать при численном интегрировании схемы Рунге—Кутта (или другие) высокого порядка точности. К большинству задач  он применяется успешно.

Затруднения возникают в тех случаях, когда краевая задача  хорошо обусловлена, а соответствующая ей задача Коши плохо обусловлена. При этом численное интегрирование задачи Коши определяет функцию с большой погрешностью, что осложняет организацию итераций.

В этом случае пробуют поставить начальные условия на другом конце отрезка т. е. интегрировать задачу Коши справа налево; нередко при этом устойчивость улучшается.

Если изменение направления интегрирования не помогает, то такую краевую задачу решают либо специальными, либо разностными методами.

Одним из специальных методов для линейных краевых задач является дифференциальная прогонка. Этот метод хорошо устойчив именно в том случае, когда задача Коши для исходной линейной системы плохо обусловлена; этот факт вызывал одно время большой интерес к прогонке. Однако при хорошей устойчивости линейной задачи Коши прогонка становится недостаточно устойчивой. Поэтому в настоящее время дифференциальная прогонка употребляется не часто. Обычно используются ее разностные аналоги, они обеспечивают удовлетворительную устойчивость расчета в большинстве интересных случаев.

Тема лекции № 10. Методы оптимизации

Постановка задачи.

Пусть -функция, определенная на некотором множестве . Будем рассматривать задачу минимизации функции . Любая задача максимизации функции на  равносильна задаче минимизации функции на том же множестве . Поэтому можно ограничиться лишь изучением задач минимизации.

Классический подход.

Пусть кусочно-непрерывная и кусочно-гладкая функция на отрезке [a, b] ([a, b]X). Это значит, что на [a, b] может существовать лишь конечное число точек, в которых функция либо терпит разрыв первого рода, либо непрерывна, но не имеет производной. Тогда точками экстремума функции на [a, b] могут быть лишь те точки, в которых выполняется одно из следующих условий: 1)терпит разрыв; 2)непрерывна, но производная не существует; 3)производная существует и равна нулю; 4)или . Такие точки принято называть точками подозрительными на экстремум. Поиск точек экстремума функции начинают с нахождения всех точек, подозрительных на экстремум. После того, как такие точки найдены, проводят дополнительное исследование и отбирают среди них те, которые являются точками локального минимума (максимума).

Упражнение 1. Запишите достаточное условие того, что подозрительная точка x^*  [a, b] является точкой локального минимума (максимума).

Чтобы найти глобальный минимум (максимум) функции на [a, b], нужно перебрать все точки локального минимума (максимума) на [a, b] и среди них выбрать точку с наименьшим (наибольшим) значением функции, если таковая существует  (если вместо [a, b] имеем дело с R, то следует изучить поведение функции при  или ).

К сожалению, классический метод имеет весьма ограниченное применение. В практических задачах вычисление зачастую является непростым делом. Например, значения функции определяется из наблюдений или эксперимента, и получить информацию о её производной крайне трудно. Поэтому важно иметь также и другие методы поиска экстремума, не требующие вычисления производной, удобные для реализации на ЭВМ.

Упражнение 2. Найти точки экстремума функции = sin³(x) + cos³(x) на отрезках [0, 3/4],   [0, 2].

Упражнение 3. Пусть = (1 + e^1/x  )^-1 при x0, f(0)=0. Найти точки экстремума этой на отрезках [-1, 0], [-1, 1], [1, 2] и на R.

Поиск экстремумов функций одной переменной является самостоятельной и часто встречаемой задачей. Кроме того, к нему сводится более сложная задача поиска экстремумов функций множества переменных.