1. Пусть размер ямы соизмерим с размерами атома, то есть м. Тогда

Дж эВ.

В этом случае дискретность энергетических уровней будет проявляться весьма заметно.

2. Пусть размер ямы велик, то есть м (свободные электроны в металле). Тогда

Дж эВ.

В этом случае энергетические уровни расположены очень густо, и энергетический спектр можно считать квазинепрерывным.

Найдем отношение энергетического интервала между уровнями к соответствующему значению энергии . Оно будет равно:

.(2.52)

При увеличении квантового числа n отношение уменьшается. Происходит относительное сближение энергетических уровней частицы в потенциальной яме. Если n велико (n>>1), то энергетический спектр можно считать квазинепрерывным. Данный результат является частным случаем принципа соответствия Бора, согласно которому выводы и результаты квантовой механики при больших квантовых числах должны соответствовать классическим результатам.

2.7. Понятие о туннельном эффекте.

Туннельным эффектом называют прохождение микрочастиц сквозь потенциальный барьер за счёт их волновых свойств.

Пусть частица, движущаяся слева направо, встречает на своем пути потенциальный барьер высотой U₀ и шириной l. По классическим представлениям частица беспрепятственно проходит над барьером, если ее энергия E больше высоты барьера (E>U₀). Если же энергия частицы меньше высоты барьера (E<U₀), то частица отражается от барьера и начинает двигаться в обратную сторону, сквозь барьер частица проникнуть не может.

В квантовой механике волновые свойства микрочастиц приводят к следующим результатам.

• При E>U₀ существует отличная от нуля вероятность того, что частица отразится от барьера и полетит в обратном направлении.

• При E<U₀ существует отличная от нуля вероятность того, что частица пройдёт сквозь барьер.

Решим задачу о прохождении частицы сквозь потенциальный барьер для наиболее простого случая одномерного прямоугольного барьера (рис.2.6). Форма барьера задается функцией:

. (2.53)

Запишем уравнение Шредингера для каждой из областей: 1(x<0), 2(0<x<l) и 3(x>l):

; (2.54)

; (2.55)

. (2.56)

Обозначим

(2.57)

и

. (2.58)

Общие решения уравнений (2.54), (2.55), (2.56) для каждой из областей имеют вид:

; (2.59)

; (2.60)

. (2.61)

Решение вида соответствует волне, распространяющейся в направлении оси x, а  волне, распространяющейся в противоположном направлении. В области 1 слагаемое описывает волну, падающую на барьер, а слагаемое  волну, отраженную от барьера. В области 3 (справа от барьера) имеется только волна, распространяющаяся в направлении x, поэтому .

Волновая функция должна удовлетворять условию непрерывности, поэтому решения (2.59), (2.60), (2.61) на границах потенциального барьера необходимо «сшить». Для этого приравниваем волновые функции и их производные при x=0 и x = l:

; ;

; . (2.62)

Используя (2.59) - (2.62), получимчетыре уравнения для определения пяти коэффициентовА₁ , А₂, А₃, В₁ и В₂:

А₁+В₁=А₂+В₂ ;

А₂еxp( l) + В₂еxp(- l)= А₃еxp(ikl) ;

ik(А₁– В₁) = (А₂–В₂) ;(2.63)

(А₂еxp(l)–В₂еxp(-l) = ik А₃еxp(ikl).

Чтобы получить пятое уравнение, введем понятия коэффициентов отражения и прозрачности барьера.

Коэффициентом отраженияназовем отношение

, (2.64)

которое определяет вероятность отражения частицы от барьера.

Коэффициент прозрачности

(2.65)

дает вероятность того, что частица пройдет через барьер. Так как частица либо отразится, либо пройдет через барьер, то сумма этих вероятностей равна единице. Тогда

R+D =1;(2.66)

или

. (2.66)

Выражение (2.66) являетсяпятым уравнением, замыкающим систему (2.63), из которой находятся все пять коэффициентов.

Наибольший интерес представляет коэффициент прозрачности D. Решение системы уравнений позволяет получить для коэффициента прозрачности выражение:

, (2.67)

где D₀ – величина, близкая к единице.

Из формулы (2.67) видно, что прозрачность барьера сильно зависит от его ширины l, от того, насколько высота барьераU₀превышает энергию частицыE, а также от массы частицыm.

С классической точки зрения прохождение частицы сквозь потенциальный барьер при E<U₀ противоречит закону сохранения энергии. Дело в том, что если классическая частица находилась бы в какой-то точке в области барьера (область 2 на рис. 1.7), то ее полная энергия оказалась бы меньше потенциальной энергии (а кинетическая – отрицательной!?). С квантовой точки зрения такого противоречия нет. Если частица движется к барьеру, то до столкновения с ним она имеет вполне определенную энергию. Пусть взаимодействие с барьером длится время t. Тогда, согласно соотношению неопределенностей, энергия частицы уже не будет определенной; неопределенность энергии . Когда эта неопределенность оказывается порядка высоты барьера, он перестает быть для частицы непреодолимым препятствием, и частица пройдет сквозь него.

Прозрачность барьера резко убывает с его шириной (см. табл. 1.1.). Поэтому частицы могут проходить за счет туннельного механизма лишь очень узкие потенциальные барьеры.

Таблица 2.1

Значения коэффициента прозрачности для электрона при (U₀ – E) = 5 эВ

l, нм	0,10	0,15	0,20	0,50	1,00
D	0,1	0,03	0,008	5^.10^-7	1,4^.10^-12

Если потенциальный барьер имеет произвольную форму (рис.2.7), коэффициент прозрачности определится формулой:

. (2.68)

Туннельный эффект проявляется в ряде физических явлений и имеет важные практические приложения. Приведем некоторые примеры.

1. Автоэлектронная (холодная) эмиссия электронов

В1922 г. было открыто явление холодной электронной эмиссии из металлов под действием сильного внешнего электрического поля. График зависимости потенциальной энергииU электрона от координаты x изображен на рис. При x < 0 – область металла, в котором электроны могут двигаться почти свободно. Здесь потенциальную энергию можно считать постоянной. На границе металла возникает потенциальный барьер, не позволяющий электрону покинуть металл; он может это сделать, лишь приобретя добавочную энергию, равную работе выхода A. За пределами металла (при x > 0) энергия свободных электронов не изменяется, поэтому при x > 0 график зависимости U(x) идет горизонтально.

Создадим вблизи металла сильное электрическое поле. Для этого возьмем металлический образец в форме острой иглы и подсоединим его к отрицательному полюсу источника напряжения (катоду); вблизи расположим другой электрод, к которому присоединим положительный полюс источника. При достаточно большой разности потенциалов между анодом и катодом можно создать вблизи катода электрическое поле с напряженностью порядка 10⁸ В/м. Потенциальный барьер на границе металл – вакуум становится узким, электроны проходят сквозь него за счёт туннельного эффекта и выходят из металла.

Автоэлектронная эмиссия использовалась для создания электронных ламп с холодными катодами (сейчас они практически вышли из употребления), в настоящее время она нашла применение в туннельных микроскопах, изобретенных в 1985 г. Дж. Биннингом, Г. Рорером и Э. Руска.

Втуннельном микроскопе вдоль исследуемой поверхности перемещается зонд - тонкая игла. Игла сканирует исследуемую поверхность, находясь так близко от нее, что электроны из электронных оболочек (электронных облаков) поверхностных атомов за счет волновых свойств могут попасть на иглу. Для этого на иглу подаётся “плюс” от источника, а на исследуемый образец - “минус”. Туннельный ток пропорционален коэффициенту прозрачности потенциального барьера между иглой и поверхностью, который согласно формуле (2.67) зависит от ширины барьераl.

При сканировании иглой поверхности образца туннельный ток изменяется в зависимости от расстояния l, повторяя профиль поверхности. Прецизионные перемещения иглы на малые расстояния осуществляют с помощью пьезоэффекта, для этого закрепляют иглу на кварцевой пластине, которая расширяется или сжимается, когда к ней прикладывается электрическое напряжение. Современные технологии позволяют изготовить иглу столь тонкую, что на ее конце располагается один единственный атом.

Изображение формируется на экране дисплея ЭВМ. Разрешение туннельного микроскопа так высоко, что позволяет “увидеть” расположение отдельных атомов. На рис.2.10 приведено в качестве примера изображение атомной поверхности кремния.

2. Альфа-радиоактивность (– распад ). В этом явлении происходит спонтанное превращение радиоактивных ядер, в результате которого одно ядро (его называют материнским) испускает– частицу и превращается в новое (дочернее) ядро с зарядом, меньшим на 2 единицы. Напомним, что– частица (ядро атома гелия) состоит из двух протонов и двух нейтронов.

Если считать, что -частица существует как единое образование внутри ядра, то график зависимости ее потенциальной энергии от координаты в поле радиоактивного ядра имеет вид, показанный на рис.2.11. Он определяется энергией сильного (ядерного) взаимодействия, обусловленного притяжением нуклонов друг к другу, и энергией кулоновского взаимодействия (электростатического отталкивания протонов).

В результате -частица в ядре, имеющая энергию Е_, находится за потенциальным барьером. Вследствие ее волновых свойств есть некоторая вероятность того, что -частица окажется за пределами ядра.

3. Туннельный эффект вp-n - переходе используется в двух классах полупроводниковых приборов: туннельных и обращенных диодах. Особенностью туннельных диодов является наличие падающего участка на прямой ветви вольт-амперной характеристики - участка с отрицательным дифференциальным сопротивлением (Рис. 2.12.). В обращенных диодах наиболее интересным является то, что при обратном включении сопротивление оказывается меньше, чем при обратном включении.