Gidravlika_Potemina

………………….

Пn k	an		(3.4)
	aS1 aS2	aSk
	1 2	k

Два явления подобны, если по заданным характеристикам одного можно получить характеристики другого простым пересчетом, который аналогичен переходу от одной системы единиц измерения к другой системе.

Необходимые и достаточные условия подобия двух явлений, условно называемых "модель" и "натура", имеют вид

П1м = П1н П2м = П2н , … , П(n – k)м = П(n – k)н,

(3.5)

где Пiм — безразмерные параметры (3.4), рассчитанные для "модели", а Пiн — для "натуры".

Величины Пi называются критериями подобия, а условия (3.5) — условиями подобия.

Основными критериями подобия при установившемся течении вязкой несжимаемой жидкости являются:

при течении по трубам число Рейнольдса

Re = L/

при течении в открытых каналах число Фруда

Fr = 2/(gL) или Fr / gL, (3.6)

где , — соответственно плотность и вязкость жидкости; — средняя скорость течения; L — характерный линейный размер; g — ускорение свободного падения.

В случае круглых труб обычно принимают L равным диаметру трубы.

Если живое сечение потока имеет некруговую форму, то числа Рейнольдса и Фруда обычно рассчитываются по формулам

Re = 4R	/ , Fr = 2/(gL),	(3.7)
	Г

где RГ — гидравлический радиус.

Если Re < 2320, то режим течения ламинарный. Если Re > 2320, режим турбулентный.

Вопросы по теме 3.

1 . Что такое параметры с независимыми размерностями?

32

2.Чему равно максимально возможное число параметров с независимыми размерностями?

3.В чем заключаются условия подобия двух явлений?

4.Какой вид примет формула (3.3) при n = k?

5.Как вычислить число Рейнольдса для некруглой трубы?

4. Основные законы движения газа

Закон сохранения массы при установившемся течении газа в трубке тока выражается в постоянстве массового расхода QM:

QМ = 1 1s1= 2 2s2 = const.

(4.1)

Здесь s1, s2 - площади сечений, 1, 2 и p1, p2 — средние в этих сечениях скорости и плотности соответственно.

Закон изменения количества движения для установившегося течения газа в трубке тока при равномерном распределении параметров по сечению

имеет вид
QМ (υ2	υ1 )	P T		G R,		(4.2)

где P — главный вектор сил давления, действующих в сечениях 1 и 2 со

стороны окружающей жидкости; T — главный вектор сил трения,

действующих по поверхности объема газа между сечениями 1 и 2; G —

главный вектор массовых сил, приложенных к тому же объему; R — главный вектор реакции твердых тел, с которыми соприкасается выделенный объем.

Закон сохранения полной энергии при установившемся течении газа

в трубке тока с равномерным							распределением параметров в сечениях 1 и
2 записывается в виде
					υ2						υ2		K (e)		N (e)
(gz	2	i	2		2	) (gz		1	i		1	)				, (4.3)
					2				1		2		QМ		QM

где z1, z2 — вертикальные координаты центров сечений; i1, i2 — энтальпии в тех же сечениях; К (е) - подведенная извне тепловая мощность; N(е) ) — подведенная механическая мощность. Для совершенного газа при пренебрежении действием силы тяжести уравнение (4.3) имеет вид

			υ2				υ2		K (e)		N (e)
(c	p	T	2	) (c	p	T	1	)				,	(4.4)
		2	2			1	2		QМ		QM

33

или

		k		p	2			υ2										k						p		υ2										K	(e)			N	(e)
(								2		) (														1		1					)											.(4.5)
	k	1 ρ					2									k 1 ρ										2										Q				Q
					2																																М				M
																					1
Для энергетически изолированной системы К (е)=0, N (е)=0, и
уравнения (4.4) , (4.5) принимают вид
																	υ2													υ2
								c		p		T						1				c			T						2			;							(4.6)
												1						2							p 2						2
								k					p						υ2						k				p		2					υ2
													1						1																	2		.			(4.7)
							k 1						ρ					2							k 1				ρ		2				2
												1
Обозначим через T0, р0, 0, i0																					параметры торможения, т.е. значения

соответственно температуры, давления, плотности и энтальпии в данном поперечном сечении, получаемые при воображаемом изэнтропическом (при отсутствии трения и теплообмена) уменьшении скорости потока до нуля.

Закон сохранения полной энергии для энергетически изолированного потока совершенного газа, записанный с помощью параметров торможения, имеет вид

c

T

υ2

c

T

i

k

RT

(4.8)

p

2

p 0

0

k 1

0

или

k

p

υ2

k

p

0

.

(4.9)

k 1

1

ρ

2

k

ρ

0

Для адиабатического изэнтропического потока газа все параметры торможения остаются постоянными по длине потока. Для адиабатического потока с трением, для которого энтропия вдоль потока меняется,

параметры торможения р0 , 0 будут различными в разных сечениях, а

температура торможения Т0, энтальпия торможения i0 и отношение р0 / 0 остаются вдоль потока постоянными.

Для энергетически неизолированного потока при N(e) = 0 подведенная внешняя теплота, рассчитанная на единицу массы, равная q = К(е)/QM, определяется из уравнения (4.4):

34

				υ2				υ2
	q (c	p	T	2	) (c	p	T	1	) i	i . (4.10)
			2	2			1	2	02	01

Уравнение закона сохранения энергии в механической форме для элемента струйки сжимаемой вязкой среды между двумя сечениями, расположенными на бесконечно малом расстоянии друг от друга, имеет вид

	qdz	dp	d(	υ2	) dh		δN (e)	,	(4.11)
		ρ		2			QM

где dh — потеря удельной энергии за счет трения.

Мощность идеального компрессора и идеальной турбины (К(е) = 0) определяется по формуле

N	(e)				k			p		2			υ2				k					p			υ2
													2									1			1
Q					k 1 ρ								2				k 1 ρ								2
M						2													1
			υ2	2							k			p			p					k
																		2	)k 1					1].
			2	1										1		[(										(4.12)
				2					k 1					ρ			ρ
													1				1

или

N

(e)

k

p

p

k

)k 1 1]

L

01

[(

02

Q

k 1 ρ

ρ

M

01

01

k

k

RT01

p02

[(

)k 1

1],

(4.13)

k

1

ρ

μ

01

где индексом "01" обозначены параметры торможения до машины; индексом "02" - после машины; μ - 1 кмоль газа.

Отклонение от изэнтропического процесса в машине учитывается обычно при помощи дополнительного множителя, представляющего собой к.п.д. машины η. В случае компрессора получим

LK = L/ ;

в случае турбины

35

hпот

LT = L.

Полезная мощность компрессора или затрачиваемая мощность

турбин
N(e) = Q L =	01	Q	01	L.	(4.14)
M

где Q01 — объемный расход газа при р01 и ρ01 .

Вопросы по теме 4.

1.Как записать закон сохранения массы при установившемся течении газа в трубке тока?

2.Что понимается под параметрами торможения газа?

3.Как изменяются параметры торможения по длине потока при адиабатическом, изэнтропическом течении газа в трубке тока?

4.Что происходит с температурой идеального совершенного газа с ростом скорости при установившемся адиабатическом течении в трубке тока?

5. Гидравлические сопротивления

Запас механической энергии жидкости, которым обладает каждая ее единица силы тяжести, называется напором Н. Из-за работы сил трения напор по ходу движения жидкости непрерывно уменьшается. Разность начального и конечного напоров между двумя какими-либо живыми сечениями потока называется потерями напора . Эти потери напора представляют собой сумму потерь напора на трение по длине потока hд и в местных сопротивлениях hМ

Hпот =hд+hм.

(5.1)

Потери напора по длине для труб постоянного диаметра определяются по формуле Дарси-Вейсбаха

h λ	l		υ2	,	(5.2)
д	d		2g

где — коэффициент гидравлического сопротивления (гидравлического

трения); l — длина трубы; d — ее внутренний диаметр; — средняя скорость потока.

В общем случае является функцией числа Рейнольдса (Re) и

относительной шероховатости стенок трубы /d. Здесь — абсолютная эквивалентная шероховатость, т.е. такая высота равномерно-зернистой шероховатости, при которой в квадратичной зоне сопротивления потери

36

напора равны потерям напора для данной естественной шероховатости трубы (примерные значения — приведены в прил. 1).

Итак, в общем виде = (Re, /d). Численно определяется в зависимости от области сопротивления. При ламинарном режиме

движения (Re < Reкр ), = (Re)
=64/Re.	(5.3)

В этом случае выражение (5.2) принимает вид формулы Пуазейля

h		128 Qν2	.
д		πgd 4
При турбулентном режиме	движения (Re > Reкр)
зоны сопротивления.

(5.4)

различают три

1. Зона гидравлически гладких труб (Re	< Re 10	d	; =
кp
(Re)):
= 0,3164/Re0,25 —		(5.5)

формула Блазиуса, используемая при Re 105 ;

λ		1	–
	(1,81 lg	2
		Re 1,5)

формула Конакова, используемая при Re < 3 • 106.

2. Зона шероховатых труб (10d/ < Re 500d/ ; = (Re, /d):

λ 0,11(	68			)0,25	–	(5.6)
	Re		d

формула Альтшуля.

3.Зона вполне шероховатых труб или квадратичная зона

(Re>500d/ ; = ( /d)):

=0,11 ( /d)0,25 –

(5.7)

формула Шифринсона.

С незначительной погрешностью формула Альтшуля может использоваться как универсальная для всей турбулентной области течения. Если живое сечение не имеет формы круга, то формулы (5.2), (5.5), (5.6) и (5.7) могут использоваться при турбулентном движении с заменой диаметра трубы d на учетверенный гидравлический радиус R (см. (2.2)) . При ламинарном движении в этом случае используются специальные формулы, приводимые в справочниках.

При решении некоторых типов задач формулу Дарси - Вейсбаха (5.2) удобно представить в виде

37

h λ	l		Q2			l		16Q2	,	(5.8)
д	d 2gs			2		d 5		2gπ 2

где s — площадь живого сечения трубы.

Формула (5.4) является чайным видом выражения (5.8) для ламинарного течения.

Местными сопротивлениями называются участки трубопровода, в которых происходит резкая деформация потока (к ним относятся, в частности, все виды арматуры трубопроводов — вентили, задвижки, тройники, колена и т.д.). Потери напора в местных сопротивлениях hМ определяются по формуле Вейсбаха

h δ υ2 , (5.9)

м	2g

где — коэффициент местного сопротивления, зависящий от его геометрической формы, состояния внутренней поверхности и Re. При развитом турбулентном движении (Re >104), что соответствует квадратичной зоне сопротивления для местных сопротивлений, кв = const и определяется по справочникам.

При ламинарном движении значение можно приближенно вычис-

лить по формуле = кв , где — некоторая функция от Re . Если местных сопротивлений много и расстояние между ними больше длины их взаимного влияния, равного примерно 40d, то потери напора в них суммируются, и расчетная формула (5.9) принимает вид

	n	2
			υ
	h	δ		,	(5.10)
	м		2g
	i 1

где п — число местных сопротивлений; — средняя скорость потока за

	местным сопротивлением.
		При внезапном расширении						потока	от сечения	площадью
	s1	до	s2 вр			можно	определить аналитически по			формуле
	вр	=	(1	s1		)2 . Потери	напора в	местных	сопротивлениях можно
				s2

выразить через эквивалентную длину lэкв , т.е. такую длину трубопровода, для которой hд=hм.

Lэкв = d/ .

(5.11)

В этом случае выражение (5.11) для hПОТ можно представить в виде формулы (5.2) , записав ее следующим образом:

38

pпот= ghпот .

h λ	lпр		υ2
				,	(5.12)
пот	d		2g

где lпр=l + lэкв называется приведенной длиной.

Если требуется определить не hПОТ, а потери давления РПОТ, то используют формулу

(5.13)

Обычно зона деформации потока в районе местного сопротивления мала по сравнению с длиной труб. Поэтому в большинстве задач принимается, что потери напора в местном сопротивлении происходят как бы в одном сечении, а не на участке, имеющем некоторую длину.

Вопросы по теме 5.

1 . По каким формулам определяются потери напора в трубах по длине и в местных сопротивлениях?

2.От каких безразмерных величин может зависеть коэффициент гидравлического сопротивления?

3.Каковы границы зон сопротивления при турбулентном течении?

4.Что такое эквивалентная и приведенная длины и когда они употребляются?

6. Гидравлический расчет простых напорных трубопроводов

Простым называется трубопровод, не имеющий ответвлений и с постоянными по длине диаметром и расходом. Длинным считается трубопровод, в котором потери напора в местных сопротивлениях малы по сравнению с потерями напора на трение по длине. В этом случае первыми или пренебрегают, или учитывают их через суммарную эквивалентную

длину lэкв , составляющую обычно 1—5 % от реальной длины трубопровода. В коротком трубопроводе оба вида потерь напора соизмеримы.

Самотечным называется трубопровод, перемещение жидкости в котором происходит только за счет сил тяжести.

1	р1	1

H	2	р2	2

Рис. 6.1. Схема самотечного трубопровода

39

При гидравлическом расчете трубопроводов используются уравнение Бернулли (2.10), уравнение неразрывности и все понятия и формулы, рассмотренные в гл. 4. Такой расчет может быть сведен к решению одной из трех основных задач.

Задача 1. Определение необходимого действующего напора по заданным параметрам трубопровода и жидкости .

В качестве примера рассмотрим трубопровод на рис. 6.1.

Пусть жидкость с заданными свойствами (ρ, v или η) должна перетекать из верхнего резервуара в нижний (уровни в которых считаются постоянными) с заданным расходом Q по трубопроводу с известными

параметрами l, d, , или lэкв. Давления р1 и р2 на свободных поверхностях жидкости известны. Примем, например, что p1 = р2 =pа.

Определить требуемый действующий напор.

Решение. Уравнение Бернулли для живых сечений, проходящих по свободным поверхностям жидкости в резервуарах, с учетом того, что p1 = р2 и 1 2 0 (из-за больших площадей живых сечений) принимает вид

H		H ( λ	l	δ )	υ Qтр	λ	lпр		υтр2	, (6.1)
	д		d		2g		d		2g

где — скорость жидкости в трубопроводе. Оно решается методами, рассмотренными в гл. 4.

Задача 2. Определение пропускной способности трубопровода Q по заданным параметрам его и жидкости.

Рассмотрим методику решения этого типа задач на примере рис. 6.1, но при заданном значении H и неизвестном значении Q.

Решение. Уравнение Бернулли по-прежнему имеет вид (6.1), но оп-

ределению подлежит тр, связанная с расходом соотношением	Q= тр
sтр. В общем случае решение этого уравнения относительно	тр

затруднено, так как неизвестен вид зависимости и и от Re, a

следовательно, и от тр .

Для преодоления этих трудностей существуют два способа — аналитический и графоаналитический.

Аналитически задача решается методом последовательных приближений. Он особенно прост и удобен, если в результате анализа исходных данных можно предположить или ламинарный режим движения, или квадратичную зону сопротивления. Ориентировочным признаком первого является высокая вязкость жидкости, второго — малая вязкость жидкости, значительная относительная шероховатость труб. Исходя из этих

предположений, выражают по формулам (5.3) или (5.7), а затем

40

hпот

= hпот

hпот=hпот(Q),

уравнение (6.1) разрешают относительно тр . Для проверки правильности решения определяют Re и сравнивают его со значениями Reкр или 500 d ,

в зависимости от выдвинутого предположения. Если предположение подтвердилось, определяют Q, если нет, то выдвигают уточненное предположение, расчет повторяется и т.д.

Задача аналитически легко решается при помощи ЭВМ, в том числе и таких простых, как программируемые микрокалькуляторы.

Графоаналитический способ решения основан на предварительном построении графической зависимости называемой гидравлической характеристикой трубопровода. Для этого последовательно задаются рядом произвольных значений Q, по которым, используя схему Q Re hпот, вычисляют соответствующие

им значения hпот. По этим данным строится график hпот = hпот (Q) (рис. 6.2), отложив на оси ординат которого известное значение Hд, на оси

абсцисс находят соответствующее ему искомое значение Q.

Задача 3. Определение минимально необходимого диаметра трубопровода по заданным действующему напору, параметрам жидкости и трубопровода, а также по его требуемой пропускной способности.

Рассмотрим эту задачу на примере рис. 6.1.

Аналитическое решение при ручном счете затруднено, так как в уравнение (6.1) искомый диаметр входит не только явно, но и косвенно (от

него зависят , и ).

При графоаналитическом способе, задаваясь рядом значений d и вычисляя по ним hпот, строят по этим данным графическую зависимость

(d) и по этому графику (рис. 6.3) определяют значение d, соответствующее заданной величине Hд.

hпот d=const

Hд

Q Q

Рис. 6.2. Гидравлическая характеристика простого трубопровода

41