Физика. Электромагнетизм

Wмагн = Li2

=

Lq&2

→

dWмагн

= Lq&q&&.

(7)

2

2

dt

Подставим выражения (6) и (7) в формулу (5), получим

&&&

q&q

,

+

C

=

0

Lqq

или

&&

1

.

(8)

+ LC q =

0

q

Сравним выражение (8) с дифференциальным уравнением гармони-

ческих колебаний:

&&

S

= 0 .

2

(9)

S

+ ω0

Из сравнения следует, что квадрат циклической частоты равен

ω02 =

1

→

ω0

=

1

.

(10)

LC

LC

Период колебаний равен

2π

T =

= 2π

.

LC

(11)

ω0

Выражение (11) называется формулой Томсона.

Колебания заряда на конденсаторе будут описываться уравнением

q

q = q0 cos(ω0t + α ).

(12)

Так как u =

, то уравнение колебаний напряжения на обкладках

C

конденсатора имеет вид

q0

u = U0 cos(ω0t +α ),

(13)

где U0

=

.

C

Уравнение колебаний тока в контуре получим из соотношения

i =

dq

→ i = I0 sin(ω0t +α ),

(14)

q0

dt

где I

= q ω

=

.

0

0

0

LC

Запишем выражения для энергии электрического и магнитного поля как функции времени.

Энергия электрического поля в конденсаторе равна

	Wэл =	q2	=	q02	cos2 (ω0t + α ).	(15)
		2C		2C

61

Энергия магнитного поля в катушке индуктивности

W

=

Li2

=

LI02

sin2 (ω

t + α ).

(16)

эл

2

2

0

q0

Так как I0 =

, то для амплитудных значений заряда и тока вы-

LC

полняется соотношение

q2

LI

2

=

.

(17)

0

0

2C

2

Полная энергия электромагнитных колебаний в контуре

W =

q02

=

LI02

= const .

2C

2

Полная энергия свободных электромагнитных колебаний в контуре при R=0 сохраняется. Происходит лишь периодическое преобразование энергии электрического поля конденсатора в энергию магнитного поля ка- тушки и наоборот.

Затухающие электромагнитные колебания

R

C L

Рис. 3. Реальный

колебательный контур

R

C L

Рис. 4. Возбуждение колебаний в реальном колебательном контуре

Каждый реальный колебатель- ный контур обладает активным со- противлением (рис. 3). Электромаг- нитная энергия, запасённая в конту- ре, постепенно тратится на нагрева- ние. Свободные электромагнитные колебания будут затухать.

Возбуждение колебаний в электрическом колебательном кон- туре можно производить путем пода-

чи на него коротких однополярных импульсов напряжения (рис. 4). В

промежутках между импульсами внешнего напряжения нет, и в конту- ре протекает изменяющийся во вре- мени ток. Запишем закон Ома для этого случая:

iR + uC = εc .

(18)

Вэтом выражении iR – падение напряжения на активном сопротив- лении; uC – напряжение на конденсаторе; εс – ЭДС самоиндукции.

Влюбой момент времени ток в контуре равен

62

i =

dq

= q& ;

(19)

напряжение на конденсаторе

dt

q

uC =

;

(20)

C

ЭДС самоиндукции, возникающая в катушке,

εс = −L

di

= −Lq&&.

(21)

dt

Подставим выражения (19), (20), (21) в закон Ома (18), проведём

преобразования и получим

q&& +

R

q& +

1

q = 0 .

(22)

L

LC

Введём обозначения:

R

= 2β ,

(23)

L

1

= ω02 .

(24)

LC

Тогда уравнение (22) можно записать в виде

q&& + 2βq& + ω02 q = 0 .

(25)

Уравнение (25) представляет собой однородное дифференциальное уравнение. Его решение (при β<ω0) имеет вид

	q = q0 e− βt cos(ωt + α ).		(26)
	Здесь q0 и α определяются из начальных условий, β и ω определя-
	ются свойствами самого контура. Величина β =	R	называется коэффи-
		2L

циентом затухания; ω = ω02 − β 2 .

График зависимости q(t) приведен на рис. 5. Пунктирная кривая со- ответствует функции q = q0 e− βt .

63

Из формулы (26) и из графика следует, что затухающие колебания не являются периодическими. Однако при их описании используют те же термины, что и для гармони-

q(t) ческих колебаний.

Величину

q = q0e− βt		ω =		ω02 − β 2				назы-
0		вают циклической					частотой
	t	затухающих колебаний.
		Величину
		T =		2π	=	2π		на-
Рис.	5.			ω	ω02		- β 2
		зывают условным периодом
q(t)		затухающих колебаний.
		При		небольших				зату-
β1		ханиях β << ω0				и	ω ≈ ω0 ,
		тогда	2π = 2π
0	t	T =					LC . (27)
			ω0
		Множитель
			q = q e− βt					(28)
q(t)					0
		называют		амплитудой				зату-
β2> β1		хающих колебаний. Ампли-
		туда затухающих колебаний
		уменьшается во времени тем
0	t	быстрее,	чем больше					коэф-
		фициент затухания β (рис. 6).
		Величина, обратная коэффи-
q(t)		циенту	затухания				τ = 1 ,
								β
β ³ ω0		имеет размерность времени,
		ее принято называть време-
		нем релаксации. Из выраже-
0	t	ния (28)	следует,			что время
		релаксации – это время, в
		течение которого амплитуда
		колебаний уменьшается в е
Рис. 6		раз.
		При увеличении коэф-
фициента затухания условный период возрастает, и при					β = ω0			Т→ ∞

64

(формула 26). Это означает, что при β ³ ω0 вместо колебаний в контуре

будет происходить апериодический разряд конденсатора (рис. 6). Минимальное значение активного сопротивления контура, при кото-

ром наступает апериодический процесс, называется критическим. Крити-

ческое сопротивление находится из условия β = ω0										:
	Rкр
		=		1				,		(29)
	2L			LC
Rкр = 2					L		.			(30)
					C

Рассмотрим ещё одну величину, характеризующую затухание: лога-

рифмический декремент затухания δ. В общем случае он равен натураль-

ному логарифму отношения двух значений амплитуд, взятых через один период колебаний:

δ = ln				A( t )				.		(31)
			A( t +T )
Для нахождения δ подставим в формулу (31) выражение (28), полу-
чим			q e− βt
δ = ln						= ln( eβ			T	)
		0
	q e−β (t +T ) ×
		0
или	δ = βT .									(32)

Для характеристики колебательной системы пользуются понятием добротности. Добротность характеризует потери энергии в системе и оп-

ределяется общей формулой:
Q = 2π ×	W( t )
		.	(33)
	W( t ) -W( t +T )

В формуле (33) W(t) – энергия колебательной системы в момент времени t; W(t)–W(t + T) – убыль энергии за 1 период колебаний.

При малых затуханиях добротность контура определяется прибли-

женной формулой

Q = π	=		π			.			(34)
δ			βT
Подставим в формулу (34) выражения для периода колебаний									и ко-
эффициента затухания, получим	1
Q =					L		.		(35)
	R
					C

65

Описание лабораторной установки

Принципиальная схема опытной установки изображена на рис. 7, а монтажная – на рис. 8.

L (10 или 40 мГн)

Rдоб (1кОм)			Rк

	10 В,	V0	C	V1
			(0,1 или 0,22 мкФ)
	200 Гц

Рис. 7. Принципиальная схема

Колебательный контур содержит катушку индуктивности (L), имеющую сопротивление Rк, конденсатор ёмкостью С и добавочное со- противление Rдоб, величину которого можно изменять. Для возбуждения свободных колебаний в контуре используется генератор, формирующий короткие однополярные импульсы напряжения. При работе схемы в каче- стве вольтметров (V0) и (V1) используются виртуальные приборы. Для ви-

зуального наблюдения колебаний в контуре и измерения соответствующих характеристик затухающих колебаний используется виртуальный осцилло- граф, напряжение на который подается с конденсатора.

Порядок выполнения работы

Соберите цепь, принципиальная схема которой показана на рис. 7, а монтажная – на рис. 8. Для этого необходимо выполнить следующие опе- рации.

1.Из набора миниблоков выберите одноэлементные миниблоки:

§конденсатор (С=0,1 или 0,22 мкФ, 63 В);

§катушку (L=10 или 40 мГн, 90 мА);

§потенциометр (подстроечный резистор, Rдоб=0÷1 кОм). Вставьте эти миниблоки в соответствующие гнезда (разъёмы) набор-

ного поля.

2.Измерьте омметром и запишите активное сопротивление ка-

тушки индуктивности: Rк=

Ом.

Длительность импульса и их частота следования таковы, что в промежутке

между импульсами колебания практически затухают совсем.

66

3.Измерительные приборы V0 и V1 и необходимо подключить к схеме путем подсоединения соответствующих пар гнезд коннектора (рис. 8). На коннекторе установить пределы: 20 В.

4.После проверки схемы преподавателем подключите стенд к источнику питания.

КОННЕКТОР

I>0,2 A

100 20 5 B

+

V0

20 5 1 B

+	V1

0 .2 5

500 100 20 5 мА

+

A1

+

А2

0 B

500 100 20 5мА

I>0,2 A

-15 B

0,4	0,6
0,2	0,8
0	1,0
	кОм

10 мГн, 90 мА

0,22 мкФ, 63 В

Рис. 8. Монтажная схема

5.Выведите подстроечный резистор Rдоб на ноль. Установите на

генераторе напряжений специальной формы однополярные прямоугольные импульсы частотой 200 Гц максимальной амплитуды.

6.Включите компьютер и откройте блок виртуальных приборов «Приборы I». Активизируйте в первом сверху окне этого блока прибор V0,

аво втором сверху окне – прибор V1 и установите род измеряемой величи- ны – «Амплитуда (+)».

7.Включите виртуальный осциллограф. Для этого необходимо выбрать в меню блока «Приборы I» строку «Осциллограф». Для получения

осциллограммы напряжения на конденсаторе необходимо подать на вход

Y сигнал V1 и установить длительность развёртки 500 мкс/дел. На экране осциллографа появится затухающая синусоида.

8.Из графика определите период затухающих колебаний T. Для этого необходимо измерить время нескольких полных колебаний. Резуль- тат занесите в строку экспериментальных данных таблицы.

67

							Таблица
Величины	β, 1/c	ω0, 1/c	ω, 1/c	T,	δ	Q	Rкр,
				мкc			Ом
Расчётные
Экспери-	–	–	–
ментальные

9.Определите логарифмический декремент затухания по форму-

	ле: δ = ln	A( t )		. Для этого необходимо измерить две соседние ампли-
		A( t +T )

туды затухающих колебаний A( t ) и A( t + T ). Результат занесите в стро- ку экспериментальных данных таблицы.

10.Определите добротность колебательного контура по формуле

Q = πδ . Результат занесите в строку экспериментальных данных таблицы.

11. Увеличивайте добавочное сопротивление и наблюдайте за из- менением параметров колебаний. Зафиксируйте момент перехода от коле- бательного к апериодическому процессу. Измерьте омметром величину добавочного сопротивления и вычислите критическое сопротивление: Rкр = Rк + Rдоб.. Результат занесите в строку экспериментальных данных таб- лицы.

12. Вычислите по известным параметрам элементов схемы и зане- сите в строку расчётных данных таблицы следующие величины:

§коэффициент затухания β = 2RL ;

	§	циклическую частоту ω0 =		1		;
				LC

§циклическую частоту затухающих колебаний ω = ω02 − β 2 ;

§период затухающих колебаний T = 2ωπ ;

§логарифмический декремент затухания δ = βT ;

68

§добротность контура Q = πδ ;

§критическое сопротивление Rкр = 2CL

13.Сравните расчётные величины и полученные эксперименталь- но. Объясните различие между ними.

Контрольные вопросы

1.Какие процессы называют колебаниями? В чем состоит особен- ность электромагнитных колебаний?

2.Что называется колебательным контуром? Чем реальный коле- бательный контур отличается от идеализированного?

3.Опишите физические процессы, происходящие в идеализиро- ванном колебательном контуре.

4.Какие колебания называются затухающими? Приведите диффе- ренциальное уравнение затухающих колебаний и его решение.

5.Какими величинами характеризуют затухающие электромаг- нитные колебания?

6.Что называют амплитудой, периодом затухающих колебаний? В чем состоит особенность этих величин?

7.Какая величина называется временем релаксации?

8.Какая величина называется логарифмическим декрементом за- тухания? Как его можно определить экспериментально?

9.Что называют критическим сопротивлением колебательного контура? Как его можно определить экспериментально?

69

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 8

ИССЛЕДОВАНИЕ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ

Цель работы: изучение физических процессов, происходящих при вынужденных колебаниях в электрическом колебательном контуре, явле- ния резонанса; определение резонансной частоты и добротности контура.

Теоретическое введение

Вынужденные электромагнитные колебания. Резонанс

Рассмотрим случай, когда в последовательном колебательном конту- ре действует внешняя переменная ЭДС, изменяющаяся во времени по гар- моническому закону:

R

ε = ε0 ×cos(Ωt).

(1)

В этом выражении Ω – цикличе-

C

ская частота вынужденных колебаний.

L Закон Ома для этого случая имеет вид

~

iR + uC = εc + ε0 cosΩt

(2)

Здесь iR – падение напряжения на

Рис. 1. Последовательный

колебательный контур

активном сопротивлении;

uC =

q

– напряжение на конден-

C

саторе; εс = −Lq&& – э.д.с. самоиндукции, возникающая в катушке при

протекании переменного тока. После подстановки выражений uC

и εс в

закон Ома (2) получим

ε0

q&& +

R

q&

+

1

q =

cosΩt .

(3)

LC

L

L

Обозначим

R

= 2β ,

1

= ω02 .

L

LC

Тогда уравнение (3) можно записать в виде

q&& + 2βq& + ω0 q =

ε0

cosΩt .

(4)

L

Уравнение (4) является неоднородным дифференциальным уравне- нием второго порядка. Его решение представляет собой сумму двух реше- ний:

§общего решения однородного уравнения (без правой части):

70