Vischa_Matematika
.pdfВИЩА МАТЕМАТИКА розділ 8
рівень B
1 |
Вказати загальний розв’язок рівняння |
|
2u |
|
0 |
( f , - довільні функції). |
||||||||||||||||||||||||||
|
x2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
а) u x , y xf y y ; |
|
|
|
2u |
0 |
|
|
|
u |
f y |
|
|
|
|
|
|
|
u x , y xf y y |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
Вказати загальний розв’язок рівняння |
|
2u |
|
|
0 |
( f , |
- довільні функції). |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
в) |
u x , y f x y ; |
|
2u |
0 |
|
|
|
u |
f x |
|
|
|
|
|
|
|
u x , y f x y |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3 |
Вказати загальний розв’язок рівняння |
|
2u |
|
0 |
|
( f , - довільні функції). |
|||||||||||||||||||||||||
|
y2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
б) u x, y yf x x ; |
|
|
|
2u |
0 |
|
|
|
u |
f x |
|
|
|
|
|
|
|
u x, y yf x x |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
Вказати загальний розв’язок рівняння |
|
2u |
|
1 |
|
( f , - довільні функції). |
|||||||||||||||||||||||||
|
x2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
г) |
u x, y |
1 |
|
x |
2 |
xf y |
y ; |
|
|
2u |
1 |
u |
x f ( y) |
|
u x, y |
1 |
|
x |
2 |
xf y y |
||||||||||||
2 |
|
|
|
|
x2 |
x |
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5 |
Вказати загальний розв’язок рівняння |
|
2u |
|
|
1 |
( f , |
- довільні функції). |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
б) u x, y xy f x y |
; |
|
2u |
1 |
|
|
|
u |
y |
|
u x, y xy f x y |
|
|
|
||||||||||||||||||
x y |
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
6 |
Вказати загальний розв’язок рівняння |
|
2u |
|
1 |
( f , |
- довільні функції). |
|||||||||||||||||||||||||
|
y2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
в) |
u x, y |
|
1 |
y2 |
yf x x ; |
|
|
u x, |
y y2 |
yf x y ; |
|
д) інша відповідь. |
||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2u 1 |
|
|
|
u |
y f (x) |
|
|
|
|
u x, y |
|
1 |
y2 yf x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
7 |
Вказати загальний розв’язок рівняння |
|
2u |
|
6x |
( f , |
- довільні функції). |
|||||||||||||||||||||||||
|
x2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
а) |
u x, y x3 xf y y ; |
|
|
|
2u |
6x |
u |
3x2 f ( y) |
u x, y x3 xf y y |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
Вказати загальний розв’язок рівняння |
|
|
2u |
|
6 y |
( f , |
|
- довільні функції). |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
y2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
г) |
u x, y y3 yf x x ; |
|
|
2u 6 y |
|
u |
2 y 2 f (x) |
|
u x, y y3 yf x x |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
9 |
Вказати загальний розв’язок рівняння |
|
|
2u |
|
|
4xy |
( f , - довільні функції). |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
б) |
u x, y x2 y2 f x y ; |
|
2u |
4xy |
|
u |
2xy 2 |
|
|
u x, y x2 y2 f x y |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
10Вказати загальний розв’язок рівняння |
|
2u |
|
x y |
( f , - довільні функції). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x y |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
в) |
u x, y |
1 |
xy x y f x y ; |
2u |
x y |
|
u |
xy |
y 2 |
|
|
|
u |
x2 y |
|
y 2 |
|
x f x y |
|||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
x y |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||
u x , y |
1 |
xy x y f x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
Рівняння вільних коливань струни має вид: |
|
б) |
2u |
a2 |
2u |
; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
t |
2 |
x2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Якщо щільність |
стала, x , то рівняння коливань струни приймає |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2U |
a |
2 |
2U |
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
F |
; a2 |
|
|
T |
||||||||||||
вигляд: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
де f |
|
|
|
|
|
0 |
- сталі. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
t |
2 |
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
12 |
Рівняння теплопровідності в стержні має вид: |
|
г) |
u |
|
a2 |
2u |
; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
t |
|
x2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рівняння теплоповідності — рівняння, що визначає закон зміни температури з часом при теплопередачі через теплопровідність.
де c — питома теплоємність, q — тепловий потік, S — джерело тепла.
У випадку, коли тепловий потік пропорційний градієнту температури
(закон Фур'є) ,
закон теплопровідності набирає форми:
Це неоднорідне диференційне рівняння в часткових похідних параболічного типу, схоже на рівняння дифузії.
2
Здебільшого при розв'язуванні рівняння теплопровідності вважають, що теплоємність і коефіцієнт теплопровідності не залежать від температури. В
такому випадку рівняння теплопровідності стає лінійним.
13 Рівняння Лапласа має вид: |
в) |
2u |
|
2u |
0 |
; |
|
x2 |
y2 |
||||||
|
|
|
|
|
Рівняння Лапласа — однорідне лінійне рівняння в часткових похідних другого
порядку еліптичного типу.
Функції, які задовільняють рівнянню Лапласа, називаються гармонічними.
14 Розв’язок задачі про вільні коливання струни, закріпленої на кінцях
2u |
a |
2 |
2u |
, u 0, t u l , t 0, |
u x , 0 f x , |
ut x , 0 0 має вид: |
t 2 |
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an |
|
|
n |
|
||
а) u x, t An cos |
t sin |
x , |
||||||
|
|
l |
||||||
n 1 |
|
|
l |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
Рівняння виду |
|
|
|
|||||
2u |
a2 |
2u |
F (x;t) |
|||||
t2 |
x2 |
|||||||
|
|
|
|
|
с крайовими умовами
u(0;t) u(l;t) 0
і початковими умовами
u(x;0) (x)
du |
|
(x) |
|
|
|
||
dt |
|||
|
t 0 |
||
|
A |
2 l |
f x sin |
n |
x dx ; |
||
l |
|
l |
||||
n |
|
|
||||
|
|
|
|
|
||
|
|
0 |
|
|
|
(1)
(2)
(3)
(4)
описує закон коливань однорідної тонкої нерозтяжної струни довжини l, закріпленої на кінцях у точках х=0 і х=l (умови (2)), з початковою формою (х) (умова (3)) і початковою швидкістю (х) (умова (4)), у поле дії зовнішньої сили (наприклад, сили ваги, у магнітному полі й т.п.). Постійний параметр a2 залежить від властивостей струни, функція F(x;t) - від зовнішньої сили. Якщо F(x;t)=0 – це значить, що зовнішньої сили немає (або їй можна зневажити) і коливання називаються вільними.
Відзначимо, що коливання розглядаються малі (відхилення u крапок струни від положення рівноваги – осі Ох – мало), плоскі (коливання відбуваються тільки в площині хOu), поперечні (кожна крапка струни рухається строго перпендикулярно положенню рівноваги).
3
Рівняння вільних коливань струни, закріпленої на кінцях:
|
|
|
|
u(x,0) (x), |
||||
2u |
|
2u |
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
a2 |
|
|
|
(x), |
||||
|
|
, |
|
|
|
|||
t2 |
x2 |
t |
||||||
|
|
|
|
t 0 |
||||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
u(0,t) u(l,t) 0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
має рішення виду
|
na t Bn sin |
na t)sin |
nx |
|
u(x;t) ( An cos |
, |
|||
n 1 |
l |
l |
l |
|
|
|
|
|
де коефіцієнти Аn і Вn знаходять із початкових умов:
|
|
|
|
du |
|
|
|
na |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Тобто, оскільки |
|
x , 0 0 |
, то |
|
|
|
Bn sin |
|||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||
ut |
dt |
|
|
l |
||||||
|
|
|
|
|
t 0 |
n 1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
nx (x) =0, тому складова l
|
|
an |
|
n |
|
|
|
2 |
l |
|
n |
|
|
Bn=0/ |
u x, t An cos |
t sin |
x , |
An |
|
0 |
f x sin |
x dx |
|||||
l |
l |
l |
l |
||||||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
15 Розв’язок задачі про вільні коливання струни, закріпленої на кінцях
2u |
a |
2 |
2u |
, |
u 0, t u l , t 0 , |
u x , 0 0 , |
|
x , 0 x має вид: |
|||||||||||||
t 2 |
|
x2 |
ut |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an |
|
|
n |
|
2 |
l |
|
|
n |
|
||
б) u x, t Bn sin |
|
|
|
x sin |
x dx ; |
||||||||||||||||
|
|
t |
sin |
|
x , |
Bn |
|
|
|||||||||||||
|
l |
l |
an |
l |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
Рівняння виду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
2u |
a2 |
2u |
F (x;t) |
(1) |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
t2 |
x2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
с крайовими умовами |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
u(0;t) u(l;t) 0 |
|
(2) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
і початковими умовами |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
u(x;0) (x) |
|
(3) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
du |
|
|
|
(x) |
|
(4) |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
t 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
описує закон коливань однорідної тонкої нерозтяжної струни довжини l, закріпленої на кінцях у крапках х=0 і х=l (умови (2)), з початковою формою(х) (умова (3)) і початковою швидкістю (х) (умова (4)), у поле дії зовнішньої сили (наприклад, сили ваги, у магнітному полі й т.п.). Постійний параметр a2 залежить від властивостей струни, функція F(x;t) - від зовнішньої сили. Якщо F(x;t)=0 – це значить, що зовнішньої сили немає (або їй можна зневажити) і коливання називаються вільними.
Відзначимо, що коливання розглядаються малі (відхилення u крапок струни від положення рівноваги – осі Ох – мало), плоскі (коливання відбуваються
4
тільки в площині хOu), поперечні (кожна крапка струни рухається строго перпендикулярно положенню рівноваги).
Рівняння вільних коливань струни, закріпленої на кінцях:
|
|
|
|
u(x,0) (x), |
||||
2u |
|
2u |
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
a2 |
|
|
|
(x), |
||||
|
|
, |
|
|
|
|||
t2 |
x2 |
t |
||||||
|
|
|
|
t 0 |
||||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
u(0,t) u(l,t) 0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
має рішення виду
|
na t Bn sin |
na t)sin |
nx |
|
u(x;t) ( An cos |
, |
|||
n 1 |
l |
l |
l |
|
|
|
|
|
де коефіцієнти Аn і Вn знаходять із початкових умов:
підставляючи t=0 одержуємо
|
nx |
|
u(x;0) An sin |
(x) =0 pf evjdj. |
|
n 1 |
l |
|
|
|
тобто Аn – коефіцієнти Фур'є для функції (х) при розкладанні на інтервалі (0; l) по синусах кратних дуг.
Далі, диференціюючи u(х;t) по t і підставляючи t=0 одержуємо:
|
|
|
|
|
|
|
nx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
du |
|
|
na Bn sin |
(x) , |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
dt |
|
t 0 |
n 1 l |
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
тобто |
na B – коефіцієнти Фур'є для функції (х) при розкладанні на інтервалі |
||||||||||
|
l |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0; l) по синусах кратних дуг. |
|
|
|
|
|||||||
Отже, складова An=0, тому розв’язок має вид: 2u |
a2 2u |
, |
u 0, t u l , t 0 , |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t 2 |
x2 |
|
|
16 |
Розв’язок задачі про вільні коливання струни, закріпленої на кінцях |
|||||
2u |
a |
2 |
2u |
, u 0, t u l , t 0 , |
u x , 0 f x , |
ut x , 0 x має вид: |
t 2 |
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an |
|
an |
|
в) u x, t An cos |
|
t Bn sin |
|
||
l |
l |
||||
n 1 |
|
|
Рівняння виду
|
n |
|
|
|
2 l |
n |
|
|
2 |
l |
n |
|
|
t sin |
|
x , |
An |
|
|
f x sin |
|
x dx , Bn |
|
|
x sin |
|
x dx ; |
|
|
|
an |
|
|||||||||
|
l |
|
|
|
l |
0 |
l |
|
|
0 |
l |
|
2u |
a2 |
2u |
F (x;t) |
(1) |
|
t2 |
x2 |
||||
|
|
|
с крайовими умовами
u(0;t) u(l;t) 0 |
(2) |
5
і початковими умовами
u(x;0) (x) |
(3) |
|||
du |
|
(x) |
(4) |
|
|
||||
|
|
|||
dt |
||||
|
t 0 |
|
||
|
|
описує закон коливань однорідної тонкої нерозтяжної струни довжини l, закріпленої на кінцях у крапках х=0 і х=l (умови (2)), з початковою формою(х) (умова (3)) і початковою швидкістю (х) (умова (4)), у поле дії зовнішньої сили (наприклад, сили ваги, у магнітному полі й т.п.). Постійний параметр a2 залежить від властивостей струни, функція F(x;t) - від зовнішньої сили. Якщо F(x;t)=0 – це значить, що зовнішньої сили немає (або їй можна зневажити) і коливання називаються вільними.
Відзначимо, що коливання розглядаються малі (відхилення u крапок струни від положення рівноваги – осі Ох – мало), плоскі (коливання відбуваються тільки в площині хOu), поперечні (кожна крапка струни рухається строго перпендикулярно положенню рівноваги).
Рівняння вільних коливань струни, закріпленої на кінцях:
|
|
|
|
u(x,0) (x), |
||||
2u |
|
2u |
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
a2 |
|
|
|
(x), |
||||
|
|
, |
|
|
|
|||
t2 |
x2 |
t |
||||||
|
|
|
|
t 0 |
||||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
u(0,t) u(l,t) 0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
має рішення виду
|
na t Bn sin |
na t)sin |
nx |
|
u(x;t) ( An cos |
, |
|||
n 1 |
l |
l |
l |
|
|
|
|
|
де коефіцієнти Аn і Вn знаходять із початкових умов: підставляючи t=0
|
|
nx |
|
одержуємо |
u(x;0) An sin |
(x) , |
|
|
n 1 |
l |
|
|
|
|
тобто Аn – коефіцієнти Фур'є для функції (х) при розкладанні на інтервалі (0; l) по синусах кратних дуг.
Далі, диференціюючи u(х;t) по t і підставляючи t=0 одержуємо:
|
|
|
|
|
|
|
|
nx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
du |
|
|
|
na Bn sin |
(x) , |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
dt |
|
t 0 |
n 1 l |
l |
|
||
|
|
|
|
||||||
тобто |
na B |
– коефіцієнти Фур'є для функції (х) при розкладанні на інтервалі |
|||||||
|
l |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0; l) по синусах кратних дуг.
|
|
an |
|
an |
|
u x, t An cos |
|
t Bn sin |
|
||
l |
l |
||||
n 1 |
|
|
|||
6 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
2 l |
n |
|
|
2 |
l |
n |
|
|
t sin |
|
x , |
An |
|
|
f x sin |
|
x dx , Bn |
|
|
x sin |
|
x dx ; |
|
|
|
an |
|
|||||||||
|
l |
|
|
|
l |
0 |
l |
|
|
0 |
l |
|
17 Розв’язок задачі про вільні коливання нескінченної струни
2u |
|
|
2u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x at f x at |
|
1 x at |
||||
|
|
|
a |
2 |
|
, u x , 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
має вид: |
г) u x, t |
|
|
|
|
y dy ; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
t 2 |
|
|
x2 |
f x , ut x , 0 x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2a x at |
||||
Рівняння вільних коливань нескінченної струни: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
2u |
|
|
u(x,0) (x), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
u |
a2 |
|
|
, |
u |
|
|
|
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
t2 |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
t 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
(без крайових умов) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
вирішують за допомогою формули Даламбера: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x at) (x at) |
|
|
1 |
x at |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
u(x;t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x)dx |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2a |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x at |
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
Розв’язок задачі теплопровідності в стержні |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
u |
a2 |
2u , |
|
u 0, t u l, t 0 , |
u x, 0 |
f x має вид: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
t |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a 2 n 2 2 |
t |
|
|
|
|
n |
|
|
|
2 |
l |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||
б) u x, t Ane |
|
l 2 |
|
sin |
|
x , |
An |
|
f x sin |
x dx ; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
l |
l 0 |
l |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Рівняння виду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
u |
a2 2u |
F (x;t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с крайовими умовами
u(0;t) u(l;t) 0
і початковою умовою
u(x;0) (x)
описує закон розподілу температури в однорідному стрижні довжини l, на кінцях якого підтримується нульова температура. Функція F(x;t) характеризує існуючі усередині стрижня крапки (джерела) виділення або поглинання тепла. Якщо такі відсутні, F(x;t)=0 і рівняння називається однорідним.
19 Рівняння Лапласа в полярних координатах має вид:
в) r2 2u r u 2u 0 ;r2 r 2
Рівняння Лапласа - диференціальне рівняння в частинних похідних. У
тривимірному просторі рівняння Лапласа записується так:
і є окремим випадком рівняння Гельмгольца.
7
Усферичних координатах рівняння має вигляд
Уполярних координатах r, φ рівняння має вигляд
20 |
Розв’язок задачі Діріхле для круга 2u 2u 0 , |
u |
|
r R |
f має вид: |
|||||||||||
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
y2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
A0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
б) |
u r , |
An cos n Bn sin n r |
n |
, |
An |
f t cos nt dt , |
Bn |
|
|
f t sin nt dt ; |
||||||
2 |
|
Rn |
Rn |
|||||||||||||
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Нехай в площині 0ху є коло радіусом R з центром на початку координат і на його окружності задана деяка функція f( ), де - полярний кут. Потрібно знайти функцію u(r, ), непреривну в колі, включаючи границю, задовільняючу всередині кола рівнянню Лапласа
2U 2U 0 .x2 x2
і на колі що приймає задані значення U r R f ( ) .
|
1 |
|
|
|
R |
2 |
r |
2 |
|
|
U (r,) |
f (t) |
|
|
|
|
|
dt . |
|||
2 |
R |
2 |
2rRcos(t ) r |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формула називається інтегралом Пуассона. Шляхом аналізу цієї формули доводиться, що якщо формула f( ) неперервна, то функція U(r, ), визначена інтегралом задовільняє рівність (1 ) і при r R буде U(r, ) f( ), тобто U(r, )
являє собою рішення поставленої задачі Діріхле для кола.
рівtym C
1 Вказати тип рівняння |
2u |
2 |
2u |
3 |
2u |
|
u |
0 . |
б) гіперболічний; |
|
x2 |
x y |
y2 |
y |
|||||||
|
|
|
|
|
|
Запишемо таке рівняння щодо функції двох змінних у загальному виді:
a(x, y) |
2u |
2b(x, y) |
2u |
c(x, y) |
2u |
g(u, x, y, |
u |
, |
u ) 0 . |
|
x2 |
x y |
y2 |
x |
|||||||
|
|
|
|
|
y |
Ці рівняння часто зустрічаються в математичних моделях фізичних процесів і теорія їхнього рішення найбільше добре розроблена.
8
Дискримінантом даного рівняння називається функція D(x, y) b2 ac .
Говорять, що дане рівняння належить
-до еліптичного типу в області, де D<0
-до гіперболічного типу в області, де D>0
-до параболічного типу в області, де D=0.-
D 12 1 3 2 0 - гіперболічний тип
2 Вказати тип рівняння |
2u |
6 |
2u |
10 |
2u |
|
u |
3 |
u |
0 . |
|
x2 |
x y |
y2 |
x |
y |
|||||||
|
|
|
|
|
|
а) еліптичний; А .
Запишемо таке рівняння щодо функції двох змінних у загальному виді:
a(x, y) |
2u |
2b(x, y) |
2u |
c(x, y) |
2u |
g(u, x, y, |
u |
, |
u ) 0 . |
|
x2 |
x y |
y2 |
x |
|||||||
|
|
|
|
|
y |
Ці рівняння часто зустрічаються в математичних моделях фізичних процесів і теорія їхнього рішення найбільше добре розроблена.
Дискримінантом даного рівняння називається функція D(x, y) b2 ac .
Говорять, що дане рівняння належить
-до еліптичного типу в області, де D<0
-до гіперболічного типу в області, де D>0
-до параболічного типу в області, де D=0.-
D 32 1 10 1 0 - еліптичний тип
3 Вказати тип рівняння 4 |
2u |
4 |
2u |
|
2u |
2 |
u |
0 . |
|
x2 |
x y |
y2 |
y |
||||||
|
|
|
|
|
в) параболічний;
Запишемо таке рівняння щодо функції двох змінних у загальному виді:
a(x, y) |
2u |
2b(x, y) |
2u |
c(x, y) |
2u |
g(u, x, y, |
u |
, |
u ) 0 . |
|
x2 |
x y |
y2 |
x |
|||||||
|
|
|
|
|
y |
Ці рівняння часто зустрічаються в математичних моделях фізичних процесів і теорія їхнього рішення найбільше добре розроблена.
Дискримінантом даного рівняння називається функція D(x, y) b2 ac .
Говорять, що дане рівняння належить
- до еліптичного типу в області, де D<0
9
-до гіперболічного типу в області, де D>0
-до параболічного типу в області, де D=0.-
D 22 4 1 0 - параболічний тип
4 Вказати тип рівняння |
2u |
2 |
2u |
4 |
2u |
|
u |
0 . |
б) гіперболічний; |
|
x2 |
x y |
y2 |
x |
|||||||
|
|
|
|
|
|
Запишемо таке рівняння щодо функції двох змінних у загальному виді:
a(x, y) |
2u |
2b(x, y) |
2u |
c(x, y) |
2u |
g(u, x, y, |
u |
, |
u ) 0 . |
|
x2 |
x y |
y2 |
x |
|||||||
|
|
|
|
|
y |
Ці рівняння часто зустрічаються в математичних моделях фізичних процесів і теорія їхнього рішення найбільше добре розроблена.
Дискримінантом даного рівняння називається функція D(x, y) b2 ac .
Говорять, що дане рівняння належить
-до еліптичного типу в області, де D<0
-до гіперболічного типу в області, де D>0
-до параболічного типу в області, де D=0.-
D 12 1 4 3 0 - гіперболічний тип
5 Вказати тип рівняння |
2u |
2 |
u |
3 |
u |
0 . |
б) гіперболічний; |
|
x y |
x |
y |
||||||
|
|
|
|
|
Запишемо таке рівняння щодо функції двох змінних у загальному виді:
a(x, y) |
2u |
2b(x, y) |
2u |
c(x, y) |
2u |
g(u, x, y, |
u |
, |
u ) 0 . |
|
x2 |
x y |
y2 |
x |
|||||||
|
|
|
|
|
y |
Ці рівняння часто зустрічаються в математичних моделях фізичних процесів і теорія їхнього рішення найбільше добре розроблена.
Дискримінантом даного рівняння називається функція D(x, y) b2 ac .
Говорять, що дане рівняння належить
-до еліптичного типу в області, де D<0
-до гіперболічного типу в області, де D>0
-до параболічного типу в області, де D=0.-
D 12 0 1 0 - гіперболічний тип
6 Вказати тип рівняння |
2u |
2 |
2u |
|
2u |
|
u |
|
u |
0 . |
в) параболічний; |
|
x2 |
x y |
y2 |
x |
y |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|