Лабораторная работа №3. Оценка значимости уравнения линейной регрессия и прогнозирование

Задание 1. Определить зависимость ввода в действие жилых домов от инвестиции в жилищное строительство по регионам РК. Оцените значимость уравнения регрессии и его параметров.

Таблица 5 – Данные для построения уравнения линейной регрессии

№	Области	Инвестиции, млн.тг, х	Введено, тыс.кв.м., у	(х-хср)	(у-уср)	ỹ	у-ỹ	Аi
1	Акмола	68	16,04
2	Актобе	371	43,37
3	Алматы	1021	75,09
4	Атырау	1012	54,94
5	Восточный Казакстан	162	25,36
6	Жамбыл	164	27,36
7	Западный Казакстан	272	33,73
8	Караганды	63	9,83
9	Костанай	98	14,70
10	Кызылорда	108	21,79
11	Мангыстау	272	45,77
12	Павлодар	40	11,65
13	Северный Казакстан	14	3,07
14	Южный Казакстан	329	73,85
	Среднее
	σ^2
	r
	R^2
	a
	b

Требуется:

1. Построить линейное уравнение парной регрессии у от x, определяющее зависимость ввода в действие жилых домов от инвестиции в жилищное строительство.

2. На основе исходных и расчетных значений построить корреляционное поле и тренд уравнения линейной регрессии.

3. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции, коэффициент детерминации.

4. Оценить адекватность модели. Сред­няя ошибка аппроксимации и коэффициент эластичности.

5. Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции.

6. Выполнить прогноз ввода жилья y при прогнозном среднем значении инвестиции x на 20%, Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал.

7. Добавить в график уравнения линейной регрессии прогнозное значение результативного признака y.

8. С помощью пакета анализа данных (Сервис–Анализ данных–Регрессия) получить параметры линейной регрессии, корреляции, доверительные интервалы, т.е. вывести итоги по регрессионной статистике, дисперсионному анализу и выводу остатков.

Решение:

1. Построить линейное уравнение парной регрессии методом наименьших квадратов.

Используя расчетные формулы:

получить уравнение регрессии: ỹ = 16,65 + 0,055 • х.

Вывод: С увеличением инвестиции в строительство жилья на 1млн.тенге ввод жилья незначительно возрастет в среднем на 0,055 кв.м.

3. На диаграмме корреляционного поля зависимости переменных х, у построить ряд точек, используя расчетные значения и линию линейного тренда.

Рисунок 5 – Тренд уравнения линейной регрессии у = 16,65 + 0,055 • х

3. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и коэффициент детерминации.

Вывод: Связь прямая положительная. Коэффициент детерминации показывает, что 64% вариации ввода жилья (у) объясняется вариацией инвестиции в строительство х.

4. Оценить качество уравнения регрессии в целом с помощью F-критерия Фишера. Если F< F_таб , то R² незначим; если F> F_таб, то R² значим.

Фактическое значение F-критерия:

сравнивается с табличным значением F_табл=4,75 из таблицы F-критерия Фишера.

Вывод: Уравнение регрессии значимо при уровне значимости α = 0,05.

5. Оценку адекватности модели определить средней ошибкой аппроксимации:

Рассчитать коэффициент эластичности:

Показатель эластичности свидетельствует об увеличении на 0,49% ввода кв.м. жилья при увеличении на 1% инвестиции в строительство.

6. Оценку статистической значимости параметров регрессии провести с помощью t-статистики Стьюдента.

Выдвигается основная гипотеза о статистически незначимых показателей

Н_о: a=b=0.

Определить среднеквадратические отклонения S_a, S_b параметров а и b от своих оценок:

Рассчитать фактические значения t-статистики:

Для числа степеней свободы df=n-2=12 и α=0 t_табл=2,178.

Если t_факт>t_табл, то гипотеза Н_о отклоняется, т.е. a, b не случайно отличаются от нуля и статистически значимы.

Опре­делить предельную ошибку для каждого показателя:

Доверительные интервалы рассчитать с помощью следующих формул:

В итоге получить а[5.3; 28.0] и b [0.03; 0.08]

Вывод: Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу о том, что с вероятностью р = 1- = 0,95, где =0,05, пара­метры а и b, находясь в указанных границах, не принимают нулевых значений, т.е. не являются статистически незначимыми и сущест­венно отличны от нуля.

7. Выполнить прогноз ввода жилья у при прогнозном среднем значении инвестиции х на 20%. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал.

Если прогнозное значение инвестиции составит: , то прогнозное значение ввода жилья составит:

Среднеквадратичное отклонение (ошибка) прогноза:

Предельная ошибка прогноза, которая в 95% случаев не будет превышена, составит:

Доверительный интервал прогноза : [3,09; 68,51]

Добавить в график уравнения линейной регрессии прогнозное значение результативного признака у.

Рисунок 6 – Прогнозное значение на основе линейного уравнения регрессии

8. Вывести итоги по регрессионной статистике, дисперсионному анализу и выводу остатков с помощью команды Сервис–Анализ данных–Регрессия. Получить параметры линейной регрессии, корреляции, доверительные интервалы и остатки.

Задание 2. По данным проведенного опроса восьми групп семей известны данные связи расходов населения на продукты питания с уровнем доходов семьи. Оцените значимость построенного уравнения регрессии и его параметров.

Таблица 6 – Данные для построения уравнения линейной регрессии

№	Доходы семьи, тыс.тг, х	Расходы на питание, тыс.тг, у	(х-хср)	(у-уср)	ỹ	у-ỹ	Аi
1	1,2	0,9
2	3,1	1,2
3	5,3	1,8
4	7,4	2,2
5	9,6	2,6
6	11,8	2,9
7	14,5	3,3
8	18,7	3,8
Среднее
σ
r
R^2
a
b

Требуется:

1. Предположим, что связь между доходами семьи и расходами на питание линейная. Построить корреляционное поле.

Рисунок 7 – Корреляционное поле зависимости

2. Расчитать параметры линейного уравнения парной регрессии и получить уравнение

3. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и коэффициент детерминации

4. Оценить качество уравнения регрессии в целом с помощью F-критерия Фишера. Табличное значение F_табл =4,75 при k1=1, k2=n-2=6, α = 0,05.

Если F> F_таб, то уравнение регрессии значимо в целом

5. Качество уравнения регрессии определить средней ошибкой аппроксимации.

6. Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции рассчитать t-критерий Стьюдента и доверительные интервалы параметров.

Фактические значения t-статистик:

t_табл=2,447 для числа степеней свободы df=n-2=6 и α=0,05.

Для t_факт>t_табл a, b, r статистически значимы.

Рассчитать доверительный интервал для а и b:

В итоге получить: а[0,597; 1,075] и b [0,145; 0,191]

7. Найти прогнозное значение результата при значении фактора, составляющем 110% от среднего уровня. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал.

Если прогнозное значение доходов семьи: ,

то прогнозное значение расходов на питание составит:

Ошибка прогноза:

Предельная ошибка прогноза, которая в 95% случаев не будет превышена, составит:

Вывод: Доверительный интервал прогноза [2,113; 2,867] является статистически надежным.

8. Добавить в график корреляционного поля тренд уравнения линейной регрессии и прогнозное значение результативного признака у.

9. Проверить параметры линейной регрессии, корреляции с помощью пакета Анализ данных командой Сервис– Анализ данных–Регрессия.