Контрольная работа №2 по математике
для студентов 1 курса заочного отделения
факультета строительства и транспорта
специальностей:
1-37 01 06 техническая эксплуатация автомобилей;
1-36 01 04 оборудование и технологии высокоэффективных процессов обработки материалов;
1-70 02 01 промышленное и гражданское строительство
на 2009/2010 учебный год (2-ой семестр)
Изучаемые разделы: Элементы высшей алгебры. Комплексные числа. Интегральное исчисление функций одной переменной. Дифференциальное исчисление функций многих переменных. Интегральное исчисление функций многих переменных. Векторный анализ и элементы теории поля.
1.Решение типового варианта.
Задача 1. Заданы два комплексных числа и . Вычислить+ , - , *, / . Найти модуль и аргумент комплексного числа и изобразить его на плоскости, записать число в тригонометрической и показательной форме, вычислить .
Решение.
По формулам суммы, разности и произведения комплексных чисел имеем
+ =
- =
* =
Для вычисления частного умножим числитель и знаменатель дроби на число сопряженное знаменателю и выполним преобразования
По формулам для определения модуля r и аргумента комплексного числа находим,
Тогда . Это означает, что
Показательная форма записи числа имеет вид
Изобразим на плоскости комплексное число
Для возведения комплексного числа в степень удобно воспользоваться формулой Муавра в тригонометрической или показательной форме.
Корень n-ой степени из комплексного числа z имеет n значений , k=0,1,…,n-1, которые находятся по формулам
- арифметический корень n-ой степени из r. Используя эти формулы, получаем
Задача 2. Используя ортогональное преобразование, привести к каноническому виду уравнение кривой и найти формулы преобразования координат.
Решение. Обозначим .
Матрица этой квадратичной формы имеет вид .
Составим характеристическое уравнение матрицы
.
Откуда .
Найдем собственные векторы. Для имеем систему уравнений
.
Тогда .
Нормируя полученные векторы, находим
.
Для получаем систему
.
Следовательно, .
Нормируя полученные векторы, имеем
.
Таким образом, матрица преобразования координат имеет вид
,
формулы преобразования осей координат имеют вид
(1)
Подставив в уравнение данной кривой выражения для x и y из (1), имеем
После несложных преобразований получим
.
Применив метод выделения полного квадрата, получим:
С помощью формул параллельного переноса системы координат
получаем
или .
Это уравнение эллипс с полуосями .
Задача 3. Найти неопределённые интегралы. В пунктах a и b результаты интегрирования проверить дифференцированием.
Решение.
3.a.
Преобразуем подынтегральную функцию таким образом, чтобы в числителе получилась производная знаменателя:
Проверим полученный результат:
3.b.
Воспользуемся методом интегрирования по частям, основанном на следующей формуле:
Выполним проверку результата:
3.c.
Подынтегральная функция представляет собой рациональную дробь. Разложим её знаменатель на множители: тогда:
Приведя правую часть последнего равенства к общему знаменателю, и приравняв числители дробей, получим тождество:
Найдём искомые коэффициенты:
а) полагая , получаем , откуда ;
б) полагая , получаем , откуда ;
в) полагая , получаем , откуда ;
Подставив найденные коэффициенты в разложение подынтегральной функции на простейшие дроби, получим:
3.d.
Подынтегральная функция представляет собой интеграл вида:
Где - рациональная функция; - целые положительные числа. С помощью подстановки (здесь - наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей ) данный интеграл приводится к интегралу от рациональной функции.
Задача 4. Вычислить приближённое значение определённого интеграла с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Вычисления производить с округлением третьего десятичного знака.
Решение. Формула Симпсона или формула парабол имеет вид:
(1)
где .
Рассмотрим при тогда .
Составим таблицу значений подынтегральной функции, необходимых для вычисления данного интеграла.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В последней строке таблицы находятся суммы чисел соответствующих столбцов.
Так как
по формуле (1) находим
Задача 5. Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость.
Решение. В соответствии определением несобственных интегралов имеем
5.a.
5.b.