Свойства линейной зависимости и независимости.

На основании данных определений, сформулируем и докажем свойства линейной зависимости и линейной независимости системы векторов.

1. Если к линейно зависимой системе векторов  добавить несколько векторов, то полученная система будет линейно зависимой.

Доказательство.

Так как система векторов  линейно зависима, то равенство  возможно при наличии хотя бы одного ненулевого числа из чисел . Пусть .

Добавим к исходной системе векторов еще s векторов , при этом получим систему . Так как  и , то линейная комбинация векторов этой системы вида   представляет собой нулевой вектор, а . Следовательно, полученная система векторов является линейно зависимой.

2. Если из линейно независимой системы векторов  исключить несколько векторов, то полученная система будет линейно независимой.

Доказательство.

Предположим, что полученная система линейно зависима. Добавив к этой системе векторов все отброшенные векторы, мы получим исходную систему векторов. По условию – она линейно независима, а в силу предыдущего свойства линейной зависимости она должна быть линейно зависимой. Мы пришли к противоречию, следовательно, наше предположение неверно.

3. Если в системе векторов  есть хотя бы один нулевой вектор, то такая система линейно зависимая.

Доказательство.

Пусть вектор  в этой системе векторов является нулевым. Предположим, что исходная система векторов линейно независима. Тогда векторное равенство  возможно только тогда, когда . Однако, если взять любое , отличное от нуля, то равенство  все равно будет справедливо, так как . Следовательно, наше предположение неверно, и исходная система векторов линейно зависима.

4. Если система векторов  линейно зависима, то хотя бы один из ее векторов линейно выражается через остальные. Если система векторов  линейно независима, то ни один из векторов не выражается через остальные.

Доказательство.

Сначала докажем первое утверждение.

Пусть система векторов  линейно зависима, тогда существует хотя бы одно отличное от нуля число  и при этом верно равенство . Это равенство можно разрешить относительно , так как , при этом имеем Следовательно, вектор  линейно выражается через остальные векторы системы , что и требовалось доказать.

Теперь докажем второе утверждение.

Так как система векторов  линейно независима, то равенство  возможно лишь при .

Предположим, что какой-нибудь вектор системы  выражается линейно через остальные. Пусть этим вектором является , тогда . Это равенство можно переписать как , в его левой части находится линейная комбинация векторов системы, причем коэффициент перед вектором  отличен от нуля, что указывает на линейную зависимость исходной системы векторов. Так мы пришли к противоречию, значит, свойство доказано.

Из двух последних свойств следует важное утверждение: если система векторов содержит векторы  и , где  – произвольное число, то она линейно зависима.

17. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Доказательство теорем о линейной зависимости.

Векторы  называются линейно зависимыми, если существуют такие числа, не все равные нулю, что . Ясно, что заданные векторы будут линейно зависимыми, если какой-либо из этих векторов линейно выражается через остальные.

В противном случае, т.е. когда соотношение  выполняется только при , эти векторы называютсялинейно независимыми.

Теорема 1. Любые два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

Доказательство:

1. Действительно, пусть имеем два коллинеарных вектора  и . Тогда либо оба они равны нулю, и следовательно, любая их линейная комбинация  при любых λ₁ и λ₂, либо один из них не нуль, тогда другой отличается от него на числовой множитель, например, . Но отсюда , а это и означает линейную зависимость векторов  и .

2. Докажем обратное, т.е. если два вектора линейно зависимы, то они коллинеарны. Пусть векторы  и  линейно зависимы. Тогда найдутся числа λ₁ и λ₂ такие, что , причём, например, λ₂ ≠ 0. Тогда , т.е. векторы коллинеарны.

Таким образом, теорема утверждает, что линейно независимыми на плоскости могут быть только те векторы, которые неколлинеарны.

18. Диагональная система векторов. Доказательство теоремы о диагональной системе векторов.

Диагональная система векторов, система единичных векторов.

19. Система единичных векторов. Доказательство утверждений о системе единичных векторов.

Единичный вектор - это вектор, абсолютная величина (модуль) которого равен единице.

20. Базис, ранг системы векторов и векторного пространства. Доказательство теоремы о разложении вектора по базису.

21. Евклидово пространство. Определение и примеры. Норма и ее свойства. Доказательство неравенства Коши – Буняковского.

22. Ортогональные системы векторов в евклидовом пространстве. Доказательство теоремы о базисе евклидова пространства.

23. Ортогональный и ортонормированный базис. Вывод формулы для координат вектора в ортонормированном базисе.

Так как евклидово пространство является линейным, на него переносятся все понятия и свойства, относящиеся к линейному пространству, в частности, понятия базиса и размерности.

Базис  евклидова пространства называется ортогональным, если все образующие его векторы попарно ортогональны, т.е.

 при 

Базис  евклидова пространства называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и длина каждого из них равна единице:

Теорема 8.5. В конечномерном евклидовом пространстве любую систему ортогональных (ортонормированных) векторов можно дополнить до ортогонального (ортонормированного) базиса.

24. Доказательство теоремы о необходимом и достаточном условии равенства нулю определителя.

25. Ранг матрицы. Различные формы определения ранга. Доказательство теоремы о базисном миноре. Свойства ранга. Методы нахождения.

26. Общая теория систем ЛАУ. Доказательство критерий Кронекера-Капелли.

27. Однородная система ЛАУ. Доказательство теоремы о необходимом и достаточном условии существования ненулевого решения однородной системы. Следствия.

28. Свойства решений однородной системы ЛАУ. Фундаментальная система решений однородной системы и ее нахождение.

29. Собственные векторы и собственные значения, доказательство свойства. Характеристический многочлен. Спектр.

Пусть  — числовая квадратная матрица n-го порядка. Ненулевой столбец , удовлетворяющий условию

(7.13)

называется собственным вектором матрицы . Число  в равенстве (7.13) называется собственным значением матрицы . Говорят, что собственный вектор  соответствует {принадлежит) собственному значению .

30. Теорема о сумме и произведении собственных значений. Проблема диагонализации. Теорема о построении диагональной формы матрицы.

31. Линейные преобразования переменных. Матрица линейного преобразования. Ортогональное линейное преобразование переменных.

 2. Линейное преобразование переменных. Линейным преобразованием переменных называется такой переход от системы n переменных к системе n переменных , при котором старые переменные выражаются через новые при помощи линейных формул или, подробнее,  (

32. Ортогональная матрица. Доказательство теоремы о необходимом и достаточном условии ортогональности матрицы. Следствия.

Ортогональная матрица порядка n матрица

 

Следствие 1. Модуль определителя ортогональной матрицы равен единице.

Следствие 2. Ортогональная матрица является невырожденной матрицей.

Следствие 3. Произведение двух ортогональных матриц есть ортогональная матрица.

Следствие 4. РавенствоВыражает необходимое и доста

Точное условие ортогональности матрицы

Следствие 5. Матрица, полученная транспонированием ортогональной матрицы, является ортогональной.

Следствие 6. Матрица, обратная ортогональной матрице, является ортогонал ьной.

произведение которой на транспонированную матрицу А' даёт единичную матрицу, то есть АА' = Е (а следовательно, и A'A = Е).

33. Симметрическая матрица. Теорема о собственных векторах симметрической матрицы. Проблема диагонализации симметрических матриц.

Симметричной называют квадратную матрицу, элементы которой симметричны относительно главной диагонали.

34. Квадратичная форма и ее матрица. Приведение квадратичной формы к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования.

Канонический вид квадратичной формы       Квадратичная форма называется канонической, если все  т. е.      Всякую квадратичную форму можно привести к каноническому виду с помощью линейных преобразований. На практике обычно применяют следующие способы.      1. Ортогональное преобразование пространства : где  - собственные значения матрицы A.

35. Положительно определенные и отрицательно определенные квадратичные формы. Связь знакоопределенности квадратичной формы с собственными значениями матрицы. Критерий Сильвестра.

 Квадратичная форма A(x,x) называется положительно (отрицательно) определённой, если для любого  x≠ 0 A(x,x) > 0 (A(x,x) < 0). Положительно определённые и отрицательно определённые формы называются знакоопределёнными.  Квадратичная форма является положительно определенной, тогда и только тогда, когда все угловые миноры её матрицы строго положительны. Квадратичная форма является отрицательно определенной, тогда и только тогда, когда знаки всех угловых миноров её матрицы чередуются, причем минор порядка 1 отрицателен.

36. Применение квадратичных форм для исследования кривых второго порядка.

В общем случае кривая второго порядка в базисе  описывается

уравнением . Ее первые три слагаемые образуют квадратичную форму  с матрицей:

.

Задача о приведении кривой  к каноническому виду сводится к задаче о приведении к каноническому виду квадратичной формы  этой кривой.

Пусть  и  – собственные значения матрицы , а  и  – ортонормированные собственные векторы матрицы , соответствующие собственным значениям  и .

Ортонормированные векторы  и  называются главными направлениями этой кривой.

Пусть  является матрицей перехода от ортонормированного базиса  к ортонормированному базису .

Тогда ортогональное преобразование:

Приводит квадратичную форму  к каноническому виду , а уравнение кривой – к виду  в прямоугольной декартовой системе координат , оси которой направлены вдоль векторов , а начало совпадает с точкой системы координат .

Выделив в этом уравнении полные квадраты, получим , где  – некоторые числа. Осуществив параллельный перенос системы координат  в новое начало , получим канонический вид уравнения  в системе координат . В зависимости от чисел  эта кривая будет эллипсом, гиперболой, параболой, парой прямых, точкой или мнимой кривой.

37. Системы координат на плоскости (декартова и полярная). Основные приложения метода координат на плоскости с выводами формул.

Декартова система координат на плоскости определяется некоторой ее точкой O и базисом из двух векторов, параллельных плоскости. Точка O называется началом координат. Прямые, проведенные через начало координат в направлении базисных векторов, называются осями координат. Они лежат в плоскости и называются осями абсцисс и ординат. Каждая ось координат является числовой осью с началом в точке O, положительным направлением, совпадающим с направлением соответствующего базисного вектора, и единицей длины, равной длине этого вектора.

Координатами точки M называются координаты вектора OM (радиус–вектора) (см. рис. 1).

Если базис ортонормированный, то связанная с ним декартова система координат называется прямоугольной.

На плоскости часто употребляется также полярная система координат (рис. 2).

Она определяется точкой O, называемой полюсом, и лучом, исходящим из полюса, называемым полярной осью. Полярными координатами ρ и  точки M называются расстояние ρ от полюса до точки M ( ρ = |OM|) и угол  между полярной осью и вектором OM (рис. 2). Угол  называется полярным углом, измеряется в радианах и отсчитывается от полярной оси против часовой стрелки. Полярные координаты точки O: ρ = 0, угол  не определен. У остальных точек ρ > 0 и угол  определен с точностью до 2π. Обычно полагают 0 ≤  < 2 π или − π <  ≤ π.

Если полюс совпадает с началом прямоугольной декартовой системы координат, а полярная ось — с положительной частью оси абсцисс, то декартовы координаты x и y точки M выражаются через ее полярные координаты ρ и  формулами

x = ρcos      y = ρsin .

Полярные координаты ρ и  точки M выражаются через ее декартовы координаты x и y формулами

ρ

=

√

x^2 + y^2

cos =    x √  x^2 + y^2

sin =    y √  x^2 + y^2

Замечание. Если не указано положение полюса и полярной оси относительно декартовой системы координат, то считаем, что полюс совпадает с началом прямоугольной декартовой системы координат, а полярная ось — с положительной частью оси абсцисс.

38. Прямая на плоскости. Различные виды уравнения прямой. Теорема об общем уравнении прямой. Угол между двумя прямыми на плоскости. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых на плоскости.

39. Эллипс. Доказательство теоремы о необходимом и достаточном условии того, что точка M(x;y) лежит на эллипсе. Параметры эллипса, исследование формы по уравнению.

40. Гипербола. Доказательство теоремы о необходимом и достаточном условии того, что точка M(x;y) лежит на гиперболе. Параметры гиперболы, исследование формы по уравнению, различные возможности расположения гиперболы относительно координатных осей.

41. Парабола. Доказательство теоремы о необходимом и достаточном условии того, что точка M(x;y) лежит на параболе. Различные возможности расположения параболы относительно координатных осей. Фокальное свойство выпуклого параболического зеркала.

42. Плоскость в пространстве. Различные виды уравнения плоскости. Угол между двумя плоскостями, условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. Расстояние от точки до плоскости.

43. Прямая в пространстве. Различные виды уравнения прямой в пространстве. Угол между двумя прямыми в пространстве. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых.

44. Прямая и плоскость в пространстве. Угол между прямой и плоскостью. Условие параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Пересечение прямой и плоскости. Условие принадлежности прямой плоскости.

45. Поверхности в пространстве. Цилиндрические поверхности. Поверхности вращения. Конические поверхности. Канонические уравнения поверхностей второго порядка и их изображения.

Составитель: доцент кафедры __________________/_Е. А.Сетько

Заведующий кафедрой __________________/_Е.А. Ровба

14