12

Пусть , тогда, в силу непрерывности обратной функции, и , поэтому

(11. 4)

Так как

22.Правило Лопиталя и формула Тейлора.

(правило Лопиталя). Если функции F(X) и G(X) дифференцируемы в вблизи точки а, непрерывны в точке а, G¢(X) отлична от нуля вблизи а и F(A) = G(A) = 0, то предел отношения функций при х®а равен пределу отношения их производных, если этот предел (конечный или бесконечный) существует.

Отметим, что формула справедлива только в том случае, если предел, стоящий справа, существует. Может случиться, что предел, стоящий слева существует, в то время как предел, стоящий в правой части равенства, не существует

Доказательство. Применив формулу Коши, получим:

Где e - точка, находящаяся между а и х. Учитывая, что f(a) = g(a) = 0:

Пусть при х®а отношение			стремится к некоторому пределу. Т. к. точка e лежит между
точками а и х, то при х®а получим e®а, а следовательно и отношение						стремится к
тому же пределу. Таким образом, можно записать:
		.
Теорема доказана.
усть	f (x) и g (x) - функции, определенные и дифференцируемые в
окрестности точки a, где a - конечное число или (если a						, то
под окрестностью точки a понимаем какой-нибудь л c; ; если a ,
c; ; если a , то окрестность – луч ; c ). В самой точке a
функции могут быть не определены. Пусть g (x) 0 при				x a .
I правило. Если:
lim f (x) lim g(x) 0
1. x a		x a
					f
2.Существует конечный			или бесконечный предел	lim		(x)	. Тогда:
					g (x)
				x a
lim	f (x)	.
	g(x)
x a

II правило. Если:

1. lim f (x) ,	lim g(x) ;
x a	x a

2.Существует			конечный	или	бесконечный предел lim			f (x)		. Тогда:
								g (x)
							x a
lim	f (x)	.
x a	g(x)
									0
Правила Лопиталя позволяют раскрывать неопределенности вида											или
									0
	. Однако, они могут быть использованы и при раскрытии неопределенностей
			0 ,	00 ,	1 ,	0 ,	. Для этого
других видов:

исследуемое выражение преобразуют так, чтобы получилась неопределенность

вида 0 или

0

.

Формула Тейлора Теорема.

Пусть функция имеет в некоторой окрестности конечной

точки a производные до порядка включительно, x – любое значение аргумента из указанной окрестности тогда между точками a и x найдется точка такая, что

Доказательство. Представим функцию f(x) в виде некоторого многочлена Pn(x), значение которого в точке х = а равно значению функции f(x), а значения его производных равно значениям соответствующих производных функции в точке х = а.

(1)

Многочлен Pn(x) будет близок к функции f(x). Чем больше значение n, тем ближе значения многочлена к значениям функции, тем точнее он повторяет функцию.

Представим этот многочлен с неопределенными пока коэффициентами:

(2)

Для нахождения неопределенных коэффициентов вычисляем производные многочлена в точке х = а и составляем систему уравнений:

(3)

Решение этой системы при х = а не вызывает затруднений, получаем:

…………………….

Подставляя полученные значения Ci в формулу (2), получаем:

Как было замечено выше, многочлен не точно совпадает с функцией f(x), т.е. отличается от нее на некоторую величину. Обозначим эту величину Rn+1(x). Тогда:

f(x) = Pn(x) + Rn+1(x)

23.Исследование функции на экстремум, монотонность и точки перегиба функции.

Монотонность функции

Функция

y y x

называется

возрастающей на

промежутке

I ,

если

y x1 y x2

для любых точек x1

и x2

из промежутка

I ,

удовлетворяющих

неравенству

x1 x2 .

Функция называется убывающей на

I ,

если из условия

x1 x2 следует y x1 y x2

.

Теорема.

Если

функция

y f (x)

непрерывна

на

отрезке

a,b ,

a, b

f (x)

дифференцируема на интервале

, то для того,

чтобы

была

возрастающей (убывающей) необходимо и достаточно, чтобы

f '(x) 0

f '(x) 0 в каждой внутренней точке интервала a, b .

Дифференцируемая функция является возрастающей на промежутке I

тогда и

только тогда, когда

y x 0,

x I.

Выпуклость и перегибы графика функции

Графиком функции

y y x , заданной на множестве

X , называют множество

точек плоскости с координатами x;

y x ,

x X . График называют выпуклым

вниз на

промежутке

I , если

касательная к графику

в

любой точке

этого

промежутка расположена ниже графика. Если касательная расположена выше графика, то график называют выпуклым вверх. Точка, в которой график меняет направление выпуклости, называется точкой перегиба.

Если	на промежутке I вторая производная y x положительна, то график
является выпуклым вниз на этом промежутке. Если y x 0 на промежутке I , то
график является выпуклым вверх на промежутке I .
Точка	M c; y c может быть точкой перегиба только в том случае, когда
y c	0, либо y c не существует – необходимое условие перегиба. Однако

равенство нулю или не существование второй производной в точке c не означает

еще,

что

в точке

c;

y c

будет

перегиб

графика.

Поэтому

нужно

дополнительно исследовать такие точки.

I правило.

Если y c

равна нулю или не существует и y x

при переводе

через точку c меняет знак, то c;

y c

- точка перегиба графика функции y y x .

II правило.

Если

и y

0 , то

является точкой перегиба

y c

0

c

c; y c

графика функции y y x .

Локальный экстремум

Точка

x0 называется точкой локального максимума функции

y y x , если

существует

интервал

; ,

содержащий

точку

x0

такой

что

y x0 y x ,

x ;

.

Точка x0	называется точкой локального минимума функции			y y x ,	если
существует	интервал ; , содержащий точку	x	0	такой	что
y x0 y x ,	x ; .

Точки локального минимума и локального максимума называются точками

локального экстремума.
Необходимым условием	локального	экстремума		дифференцируемой	функции
является выполнение	равенства		0.	Поэтому точки, в	которых
		y x0

дифференцируемая функция может иметь локальный экстремум, находят, решая

уравнение: y x0 0.

Решения этого уравнения называют стационарными точками.

Глобальный экстремум

Непрерывная на отрезке a; b функция y y x принимает свое наибольшее

значение max y x и свое наименьшее значение min y x в точках этого

отрезка. Эти значения могут достигаться либо в стационарных точках отрезка, либо в точках недифференцируемости функции, либо в граничных точках отрезка. Поэтому для нахождения значений max y x и min y x поступают следующим

образом.
	Находят стационарные точки c1 , c2 , , cn функции;

Находят точки 1 , 2 , , m , в которых производная y x не

существует или обращается в бесконечность;

Вычисляют значения:

y c1 , , y cn , y 1 , , y m , y a , y b - и выбирают среди этих чисел наибольшее и наименьшее.

Это и будут max y x и min y x - глобальные экстремальные значения.

24.Свойства комплексных чисел. Разложение многочленов на множители. Представление рациональной функции в виде суммы элементарных дробей.

Комплексные числа —

(*)

где и — действительные числа, а — мнимая единица, слагаемое называется действительной частью, а слагаемое — мнимой частью. Действительную часть и коэффициент принято обозначать так:

Получается, что любое действительное число — это такое комплексное число, мнимая часть которого равна нулю, например:

и т. п.

Мнимое же число — это такое комплексное число, у которого нулю равна действительная часть, а мнимая часть отлична от нуля, в частности:

Комплексные числа можно складывать и перемножать точно так же, как это делают с алгебраическими выражениями. При этом привычные законы сложения и умножения — сочетательный (ассоциативный), переместительный (коммутативный), распределительный (дистрибутивный) — остаются в силе:

разложением многочлена на множители. В этом случае говорят, что многочлен делится на каждый из этих множителей.

-Вынесение общего множителя за скобки. Это преобразование является непосредственным следствием распределительного закона ac + bc = c(a + b).

-Использование формул сокращенного умножения и бинома Ньютон

. Формулы сокращѐнного умножения позволяют довольно эффективно представлять многочлен в форме произведения.

-Способ группировки. Этот способ заключается в том, что слагаемые многочлена можно сгруппировать различными способами на основе сочетательного и переместительного законов. На практике он применяется в тех случаях, когда многочлен удается представить в виде пар слагаемых таким образом, чтобы из каждой пары можно было выделить один и тот же множитель. Этот общий множитель можно вынести за скобку и исходный многочлен окажется представленным в виде произведени.

-Способ выделения полного квадрата. Метод выделения полного квадрата является одним из наиболее эффективных методов разложения на множители. Суть его состоит в выделении полного квадрата и последующего применения формулы разности квадратов.

-Способ замены переменной при разложении многочлена на множители.

Для интегрирования рациональной функции , где P(x) и Q(x) - полиномы, используется следующая последовательность шагов:

1.Если дробь неправильная (т.е. степень P(x) больше степени Q(x)), преобразовать ее в правильную, выделив целое выражение;

2.Разложить знаменатель Q(x) на произведение одночленов и/или несократимых квадратичных выражений;

3.Разложить рациональную дробь на простейшие дроби, используя метод неопределенных коэффициентов;

4.Вычислить интегралы от простейших дробей.

f (x) .

25.Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов. Основные методы вычисления.

.

Функция называется первообразной для функции f (x), на промежутке X , если для каждой точки этого промежутка F'(x) f (x).

Теорема. Если F1 (x) и F2 (x) – любые две первообразные для данной функции f (x) на промежутке X , то для всех x X выполняется равенство F2 (x) F1 (x) C .

Доказательство:

F '1 (x) F '2 (x) f (x) F1 (x) F2 (x) ' 0

F1 (x) F2 (x) C F1 (x) F2 (x) C

Таким образом, все семейство первообразных для данной функции f (x) имеет вид F(x) C , где F(x) одна из первообразных, а C произвольная

постоянная.

Совокупность всех первообразных для функции f (x) на промежутке X называется неопределенным интегралом функции

Неопределенный интеграл обозначается следующим образом:

f (x)dx F (x) C,

где		знак интеграла;

f (x) подынтегральная функция;

f (x)dx F'(x)dx dF(x) подынтегральное выражение.

Свойства неопределенного интеграла

1.Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функцией:

f (x)dx f (x)

d f (x)dx f (x)dx

2. f '(x)dx f (x) C

Эти свойства означают, что интегрирование и дифференцирование – взаимно обратные операции.

3.Если f (x) и g(x) –	интегрируемые функции, т.е. на промежутке X		они имеют
первообразные, то	сумма функций	f (x) g(x) также интегрируема		и
f (x) g(x) dx f (x)dx g(x)dx.
4.Если f (x) – интегрируемая функция,		а K постоянная величина,	то K f (x)	–

также интегрируемая функция и K f (x)dx K f (x)dx.

Таким образом, свойства 3 и 4 указывают на линейность операции интегрирования:

n		n
Ki fi (x)dx Ki fi (x)dx,
i 1		i 1
где	K	постоянные;
	i
fi (x) интегрируемые функции.
5.Если	f (x)dx F (x) C, а также		x (t) дифференцируемая функция, то

f ( (t))d (t) F ( (t)) C.

Простым обращением известных формул дифференцирования элементарных функций получается таблица простейших неопределенных интегралов.

1.

2.

3.

dx x C ;

		dx	tg x C;
		cos2 x
	x dx			x 1		C,	1;
				1

dx

ctg x C ;

4.

sin 2 x

5.

dx

ln

x

C ;

x

6.

dx

arcsin x C ;

1

x

2

7.

a x dx

a x

C (a 0, a 1) ;

lna

8.sin xdx cosx C ;

9.ex dx ex C;

10.cosxdx sin x C;