12
.pdf26.Интегрирование рациональных функций, некоторых иррациональностей и тригонометрических выражений.
Для интегрирования рациональной функции |
, где P(x) и Q(x) -, используется |
следующая последовательность шагов: |
|
1.Если дробь неправильная (т.е. степень P(x) больше степени Q(x)), преобразовать ее в правильную, выделив целое выражение
2.Разложить знаменатель Q(x) на произведение одночленов и/или несократимых квадратичных выражений;
3.Разложить рациональную дробь на простейшие дроби, используя метод неопределенных коэффициентов;
4.Вычислить интегралы от простейших дробей.
Шаг 1. Преобразование неправильной рациональной дроби
Если дробь неправильная (т.е. степень числителя P(x) больше степени знаменателя Q(x)), разделим многочленP(x) на Q(x). Получим следующее выражение:
где - правильная рациональная дробь.
Шаг 2. Разложение знаменателя на простейшие дроби
Запишем многочлен знаменателя Q(x) в виде
где квадратичные функции являются несократимыми, то есть не имеющими действительных корней.
Шаг 3. Разложение рациональной дроби на сумму простейших дробей.
Запишем рациональную функцию в следующем виде:
Общее число неопределенных коэффициентов Ai , Bi , Ki , Li , Mi , Ni , ... должно быть равно степени знаменателя Q(x).
Затем умножим обе части полученного уравнения на знаменатель Q(x) и приравняем коэффициенты при слагаемых с одинаковыми степенями x. В результате мы получим систему линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов Ai , Bi , Ki , Li , Mi , Ni , .... Данная система всегда имеет единственное решение. Описанный алгоритм представляет собой метод неопределенных коэффициентов.
Для интегрирования рациональных функций вида R(sin x,cos x) применяют подстановку t=tgx2, которая называется универсальной тригонометрической подстановкой. Тогда x=2arctg t, dx=2dt1+t2, sin x=2t1+t2, cos x=1−t21+t2. К
сожалению, универсальная тригонометрическая подстановка часто приводит к большим вычислениям. Поэтому, по возможности, пользуются следующими подстановками. Если R(−sin x,cos x)= =−R(sin x,cos x), то
делают заменуcos x=t и тогда sin xdx=−dt. При R(sin x,−cos x)=−R(sin x,cos x),
полагают sin x=t, при этом cos xdx=dt, а в случаеR(−sin x,−cos x)= =R(sin x,cos x) делают замену tg x=t, при которой x=arctg t, dx=dt1+t2,sin x=t1+t2,cos x=11+t2, или ctg x=t.
. Основной приѐм решения иррациональных интегралов – это замена
переменной, которая избавит нас от ВСЕХ корней в подынтегральной функции Последовательность
(1)Проводим подстановку после замены .
(2)Выносим константу за пределы интеграла. Числитель и знаменатель сокращаем на .
(3)Получившийся интеграл является табличным, готовим его для интегрирования, выделяя квадрат
(4)Интегрируем по таблице,
27.Понятие определенного интеграла и его свойства. Интегрирование кусочно-непрерывных функций. Замена переменной и интегрирование по частям. Формула Ньютона-Лейбница.
Основные свойства определенного интеграла
1. Будем считать, что определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю (по определению):
a
f ( x)dx 0.
a
2. Будем считать, что при перемене мест верхнего и нижнего пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный:
a b
f (x)dx f (x)dx .
b a
3.Пусть функции f (x) и g (x) интегрируемы на сегменте [a,b], тогда
функции |
f (x) g(x) , |
f (x) g(x) и |
f (x)g(x) также интегрируемы на этом |
|
сегменте, причем: |
|
|
|
|
|
b |
b |
b |
|
|
[ f (x) g(x)]dx |
f (x)dx g(x)dx |
||
|
a |
a |
a |
. |
4. |
Если функция f (x) |
интегрируема на сегменте [a,b], то функция cf (x) ( c |
||
=const) интегрируема на этом сегменте, причем: |
|
|||
|
b |
|
b |
|
|
cf (x)dx c f (x)dx. |
|
||
|
a |
|
a |
|
5.Если функция f (x) интегрируема на сегменте [a,b] , то эта функция
интегрируема на любом сегменте [c, d ], содержащемся в сегменте [a,b] .
6. Пусть функция |
f (x) интегрируема на сегментах [a, c] и [c,b] . Тогда |
|
эта функция интегрируема на сегменте [a,b], причем: |
||
b |
c |
b |
f (x)dx |
f (x)dx f (x)dx. |
|
a |
a |
c |
Основные правила интегрирования
Теорема: Любая непрерывная на интервале (a,b) функция f (x) имеет на
этом интервале первообразную. Одной из первообразных является функция:
x
F (x) f (t)dt ,
c
где c - любая фиксированная точка интервала |
|
|
|||
|
|
|
(a,b) . |
|
|
Так как две первообразные данной функции |
f (x) |
отличаются на постоянную, то |
|||
|
|
|
|
|
|
согласно |
теореме, любая первообразная |
(x) |
непрерывной на сегменте |
[a,b] |
|
|
|
|
|
||
функции |
f (x) |
имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
x
(x) f (t)dt C
a |
|
где C - некоторая постоянная. |
|
Полагая в последней формуле сначала x a, затем |
x b , и используя первое |
свойства определенного интеграла, получим: |
|
b |
|
(a) C , (b) f (t)dt C . |
|
a |
|
Из этих равенств вытекает соотношение: |
|
b |
|
f (t)dt (b) (a) ,
a
которое называется основной формулой интегрального исчисления или
формулой Ньютона – Лейбница.
Пусть выполнены следующие условия:
1)Функция f (x) непрерывна на отрезке [a,b] ;
2)отрезок [a,b] является множеством значений некоторой функции x g(t) ,
определенной |
на отрезке |
[ , ] |
и имеющей на этом отрезке непрерывную |
|
|
|
|
производную; |
|
|
|
3) g( ) a, |
g( ) b. |
|
|
При этих условиях справедлива формула: |
|||
b |
|
|
|
|
|
f (x)dx f (g(t))g (t)dt |
|
a |
|
Указанная формула называется формулой замены переменной в
определенном интеграле.
Пусть функции u(x) и v(x) имеют непрерывные производные на сегменте [a,b] .
Тогда имеет место следующая формула интегрирования по частям для определенных интегралов:
b |
|
b |
|
|
b |
|
. |
u(x)v (x)dx [u(x)v(x)] |a |
v(x)u (x)dx |
|
|
a |
|
a |
|
Так как v (x)dx dv(x)и u (x)dx du(x) , то эту формулу можно записать следующим образом:
b |
b |
udv [uv] |ba |
vdu . |
a |
a |
28.Геометрические приложения определенного интеграла. Физические приложения.
1. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y =f(x)( f(x)>0), прямыми x = a , x = b и отрезком [ a , b ] оси Ох, вычисляется по формуле
2.Площадь фигуры, ограниченной кривыми y = f ( x ) и y = g ( x ) ( f ( x )< g ( x )) и прямыми х= a , x = b , находится по формуле
3.Если кривая задана параметрическими уравнениями x = x ( t ), y = y ( t ), то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой и прямыми х=a , x= b , находится по формуле
4.Пусть S ( x )- площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох, тогда объем части тела, заключенной между перпендикулярными оси плоскостями х=а и х= b , находится по формуле
5.Пусть криволинейная трапеция, ограниченная кривой y = f ( x ) и прямыми y=0, х=а и х= b , вращается вокруг оси Ох, тогда объем тела вращения вычисляется по формуле
6.Пусть криволинейная трапеция, ограниченная кривой х= g ( y ) и
прямыми x =0, y = c и y = d , вращается вокруг оси О y , тогда объем тела вращения вычисляется по формуле
7. Если плоская кривая отнесена к прямоугольной системе координат и задана уравнением y = f ( x ) (или x = F ( y )), то длина дуги определяется формулой
29.Приближенное вычисление определенных интегралов. Несобственные интегралы.
Приближенное вычисление определенных интегралов
Рассмотрим формулы приближенного вычисления:
1) Формула прямоугольников
Пусть на отрезке [а; b], а < b, задана непрерывная функция ƒ(х). Требуется вычислить интегралчисленно равный площади соответствующей криволинейной
трапеции. Разобьем основание этой трапеции, т. е. отрезок [а; b], на n равных частей (отрезков)
длины с помощью точек х0= а, x1, х2,..., хn = b. Можно записать, что хi= х0+h• i, где i =
1,2,..., n
В серединекаждого такого отрезка построим
ординату ŷi =ƒ(сi) графика функции у = ƒ(х). Приняв эту ординату за высоту, построим прямоугольник с площадью h • ŷi.
Тогда сумма площадей всех n прямо угольников дает площадь ступенчатой фигуры, представляющую собой приближенное значение искомого определенного интеграла
2) Формула трапеций
Формулу трапеций получают аналогично формуле прямоугольников: на каждом частичном отрезке криволинейная трапеция заменяется обычной.
Разобьем отрезок [а; b] на n равных частей длины Абсциссы точек деления а = х0, x1,х2,...,b = хn (рис. 201). Пусть у0,у1...,уn —
соответствующие им ординаты графика функции. Тогда расчетные формулы для этих значений примут вид хi = a+h*i, уi=ƒ(xi), i= 0,1,2,..., n;
Заменим кривую у=ƒ(х) ломаной линией, звенья которой соединяют концы ординат yi и yi+1 (i = 0,1,2,.. .,n). Тогда площадь криволинейной трапеции приближенно равна сумме площадей обычных трапеций с основаниями уi, yi+1и
высотой
или
3) ормула парабол
Если заменить график функции у=ƒ(х) на каждом отрезке [xi-1;xi] разбиения не отрезками прямых, как в методах трапеций и прямоугольников, а дугами парабол, то получим более точную формулу приближенного вычисления интеграла
Суть этих методов – в замене подынтегральной функции интерполяционным многочленом. При этом возникает альтернативный выбор: осуществить замену подынтегральной функции одним интерполяционным многочленом высокой степени, описывающим изменение функции на всем интервале интегрирования
[a,b].
Несобственные интегралы
Определенный интеграл называется несобственным интегралом, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий:
Предел a или b (или оба предела) являются бесконечными;
Функция f (x) имеет одну или несколько точек разрыва внутри интервала [a,b].
Бесконечные пределы интегрирования
Пусть f (x) является непрерывной функцией в интервале [a, ∞). Несобственный интеграл определяется через предел следующим образом:
Рассмотрим также случай, когда функция f (x) непрерывна в интервале (−∞, b]. В этом случае несобственный интеграл определяется как
Если указанные выше пределы существуют и конечны, то говорят что несобственные интегралы сходятся.
В противном случае интегралы расходятся.