Дифференциальные уравнения 3
.pdfПоэтому дифференциальное уравнение (3.1) эквивалентно двум линейным дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка:
zx + λ1(x, y)zy = 0, |
(3.2) |
zx + λ2(x, y)zy = 0. |
(3.3) |
Из курса дифференциальных уравнений известно, что для построения общего решения линейного дифференциального уравнения в частных производных первого порядка достаточно найти общий интеграл соответствующего ему характеристического уравнения. Для дифференциальных уравнений (3.2) и (3.3) характеристическими уравнениями являются дифференциальные уравнения
dy |
= λ1(x, y) и |
dy |
|
|
|
|
= λ2(x, y). |
(3.4) |
|
dx |
dx |
Дифференциальные уравнения (3.4) будем называть уравнениями характеристик для дифференциального уравнения (2.3), а их частные интегралы – характеристиками. Таким образом, если ξ(x, y) = C является общим интегралом одного из дифференциальных уравнений (3.4), то функция z = ξ(x, y) есть решение дифференциального уравнения (2.3).
Рассмотрим теперь каждый тип дифференциального уравнения (2.3) отдельно.
Случай 1. Пусть на области D дифференциальное уравнение (2.3) является уравнением гиперболического типа, т.е. всюду в области D выражение a212 − a11a22 > 0. Тогда всюду в области D функции λ1(x, y) ≠ λ2(x, y) и вещественны. Поэтому никакие две характеристики из разных семейств
ξ(x, y) = C1 и η(x, y) = C2 |
(3.5) |
11
не касаются друг друга. Эти два семейства образуют криволинейную сетку. Выбрав
ξ = ξ(x, y), η = η(x, y),
где ξ(x, y) и η(x, y) определены из (3.5), получим, что
a11=a22= 0.
Поэтому дифференциальное уравнение (2.6) после деления на
2 a12≠ 0 примет вид
|
|
Uξη =F 1 (ξ, η, U, Uξ, Uη). |
(3.6) |
Форма дифференциального уравнения (3.6) называется канонической формой уравнения гиперболического типа. Отметим, что часто используется и другая каноническая форма, которую из исходного дифференциального уравнения (2.3) можно получить заменой
1 1
α= 2(ξ − η), β = 2(ξ + η).
Вэтом случае дифференциальное уравнение имеет вид
|
|
Uαα − Uββ =F 2 (α, β, U, Uα, Uβ). |
(3.7) |
Случай 2. Пусть на области D дифференциальное уравнение (2.3) есть уравнение эллиптического типа, т.е. выражение a212 − a11a22 < 0 на D. Тогда уравнения характеристик (3.4) при вещественных коэффициентах aij имеют комплексно сопряженные правые части. Все характеристики будут комплексными (т.е. эллиптическое уравнение не имеет характеристических линий). Считая, что коэффициенты aij определены в комплексной области и аналитичны, делаем формальную замену
ξ = ξ(x, y), η = ξ(x, y),
12
где ξ(x, y) = C1 и ξ(x, y) = C2 есть комплексно сопряженные общие интегралы дифференциальных уравнений (3.4). В результате получим дифференциальное уравнение
|
|
|
|
||
|
|
Uξη =F 1 |
(3.8) |
||
в комплексной области. Если сделать еще одну замену |
|
||||
1 |
1 |
|
|||
α = |
|
(ξ + η) = Re ξ, β = |
|
(ξ − η) = Im ξ, |
|
2 |
2 |
|
|||
то дифференциальное уравнение (3.8) примет вид |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Uαα + Uββ =F 2 |
(3.9) |
уже в вещественной области. Дифференциальное уравнение (3.9) есть каноническая форма уравнения эллиптического типа.
Случай 3. И, наконец, пусть на области D дифференциальное уравнение (2.3) есть уравнение параболического типа,
т.е. выражение a212 − a11a22 = 0 на D и λ1(x, y) ≡ λ2(x, y). В этом случае существует только одно уравнение характери-
стик
dy
dx = λ1(x, y).
Пусть ξ(x, y) = C есть его общий интеграл. Возьмем произвольную дважды дифференцируемую функцию η(x, y), та-
кую, чтобы |
|
|
|
|
|
D(ξ, η) |
|
|
|
|
|
̸= 0. |
(3.10) |
|
|
D(x, y) |
|||
|
|
|
|
|
Тогда при замене ξ = ξ(x, y), η = η(x, y) коэффициенты a11= |
||||
|
2 |
|
|
|
0 (в силу (3.1)) и a12= 0 |
(т.к. a12 − a11a22= 0). Коэффициент |
a22 ≠ 0, так как в противном случае не будет выполняться
13
условие (3.10). Поэтому дифференциальное уравнение (2.6) принимает вид
|
|
Uηη =F 1 . |
(3.11) |
Дифференциальное уравнение (3.11) есть каноническая форма уравнения параболического типа. При этом в
правой части дифференциального уравнения (3.11) – функ-
ции F 1 – обязательно должна присутствовать первая частная производная Uξ по независимой переменной ξ, ибо в противном случае исходное дифференциальное уравнение в частных производных (3.11) вырождается в обыкновенное дифференциальное уравнение по переменной η и в нем переменная ξ играет роль параметра.
14
§ 4. Системы дифференциальных уравнений с частными производными.
Определение 4.1. Системой дифференциальных уравнений с частными производными относительно k
неизвестных функций ui, |
i = 1, k, будем называть систему |
|||||||
из k уравнений |
|
|
|
|
|
|
||
|
∂u1 |
|
∂miuk |
|
|
|
|
|
Fi(x; u1, . . . , uk, |
|
) = 0, i = 1, k. |
|
|||||
|
, . . . , |
|
(4.1) |
|||||
∂x1 |
∂xnmi |
Рассмотрим теперь систему дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка, состоящую из двух уравнений, содержащих две неизвестные функции с дву-
мя независимыми переменными:
{
b11ux + b12uy + c11vx + c12vy + b1u + c1v = f1, (4.2) b21ux + b22uy + c21vx + c22vy + b2u + c2v = f2.
В матричной записи дифференциальная система (4.2) принимает вид
|
|
|
|
|
Lw = f, |
|
|
|
|
||||
где матричный дифференциальный оператор |
|
|
|
||||||||||
|
b11 |
∂ |
|
∂ |
|
|
|
∂ |
∂ |
|
|
|
|
|
|
+ b12 |
|
+ b1 |
c11 |
|
+ c12 |
|
+ c1 |
|
|||
L = |
∂x |
∂y |
∂x |
∂y |
, |
||||||||
|
|
∂ |
|
∂ |
|
|
|
∂ |
|
∂ |
|
|
|
|
b21 |
+ b22 |
|
+ b2 |
c21 |
+ c22 |
+ c2 |
|
|
||||
|
∂x |
|
|
|
∂y |
|
|||||||
|
|
|
∂y |
|
∂x |
|
|
|
|||||
вектор-столбцы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
f1 |
|
|
|
|
|
|
|
w = ( v |
|
), f = ( f2 ). |
|
|
|
|
15
Для классификации дифференциальной системы (4.2) вы-
делим ее главную часть |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
b11 |
∂ |
∂ |
|
∂ |
|
∂ |
|
|
|
|
|
+ b12 |
|
c11 |
|
+ c12 |
|
u . |
||
L1w = |
∂x |
∂y |
∂x |
∂y |
||||||
|
|
∂ |
|
∂ |
|
∂ |
|
∂ |
|
( v ) |
|
b21 |
+ b22 |
c21 |
+ c22 |
|
|||||
|
|
∂y |
∂x |
∂y |
||||||
|
|
∂x |
|
|
|
|
Далее поставим в соответствие главной части дифференциальной системы (4.2) характеристическую матрицу
b11ξ1 + b12ξ2 |
c11ξ1 + c12ξ2 |
) |
A = ( b21ξ1 + b22ξ2 |
c21ξ1 + c22ξ2 |
и характеристический многочлен
P = det A = a11ξ12 + 2a12ξ1ξ2 + a22ξ22,
где (У–4)
a11 = b11c21 − b21c11, a22 = b12c22 − b22c12,
1
a12 = 2(b12c21 + b11c22 − b22c11 − b21c12).
Классификация дифференциальных систем (4.2) проводится с помощью дискриминанта D = a212 − a11a22 характеристического многочлена по аналогии с классификацией дифференциальных уравнений (2.3) (см. определение 2.1) (У–5).
Пример 4.1. Рассмотрим важную для теории аналитических функций комплексного переменного эллиптическую си-
стему Коши–Римана |
|
|
|
|
|
|
∂u |
|
∂v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
− |
∂y |
= 0, |
(4.3) |
|
∂u |
|
∂v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ = 0, |
|
||
|
|
|
|||
∂y |
|
∂x |
|
16
для которой характеристическая матрица
()
A = |
ξ1 |
−ξ2 |
, |
|
|
ξ2 |
ξ1 |
|
|
характеристический многочлен P = ξ2 |
+ ξ2, а дискриминант |
|||
|
|
|
1 |
2 |
D = −1.
Пример 4.2. Рассмотрим систему двух дифференциаль-
ных уравнений с постоянными коэффициентами |
|
||||||||
|
∂u |
|
∂u |
|
∂v |
∂v |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b11 |
∂x |
+ b12 |
∂y |
+ c11 |
∂x |
+ c12 |
∂y |
= 0, |
(4.4) |
|
∂u |
|
∂u |
|
∂v |
∂v |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b21 |
|
+ b22 |
|
+ c21 |
|
+ c22 |
|
= 0. |
|
∂x |
∂y |
|
|
|
|||||
|
|
|
∂x |
∂y |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∂v |
∂v |
Разрешая ее относительно частных производных ∂x и ∂y,
получаем (У–6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
∂v |
1 |
|
|
|
∂u |
|
|
∂u |
||||||
|
|
|
= |
|
|
|
[(b21c12 − b11c22) |
|
|
+ (b22c12 − b12c22) |
|
|
], |
||
|
∂x |
∆ |
∂x |
∂y |
|
||||||||||
|
∂v |
1 |
[(b11c21 − b21c11) |
∂u |
|
∂u |
], |
||||||||
|
|
= |
|
|
+ (b12c21 − b22c11) |
|
|||||||||
|
∂y |
∆ |
∂x |
∂y |
где
∆ = c11c22 − c12c21 ≠ 0.
Дифференцируя первое равенство по y, а второе по x и вычитая из первого равенства второе, получим дифференциальное уравнение второго порядка для неизвестной функции u:
a11uxx + 2a12uxy + a22uyy = 0,
где коэффициенты a11, a12, a22 совпадают с коэффициентами характеристического многочлена дифференциальной системы (4.4) (У–7). Аналогичное дифференциальное уравнение получаем для функции v (У–8). Это позволяет сделать
17
вывод, что тип дифференциального уравнения для функции u (для функции v) совпадает с типом исходной дифференциальной системы (4.4).
18
§ 5. Классические решения простейших дифференциальных уравнений с частными производными.
Одной из основных проблем теории дифференциальных уравнений с частными производными является нахождение решений. Рассмотрим этот процесс для простейших случаев.
1. Общее решение простейшего гиперболического дифференциального уравнения на плоскости. Рассмотрим гиперболическое дифференциальное уравнение
uxy = f(x, y), |
(5.1) |
где функция f C(R2). Найдем его общее решение.
Сначала проинтегрируем дифференциальное уравнения (5.1) по x. В результате получаем, что
∫x
uy = f(ξ, y)dξ + C(y),
0
где C(y) есть произвольная непрерывная функция переменной y. Далее интегрируя полученное дифференциальное уравнение по y, получаем, что
∫y ∫x ∫y
u = f(ξ, η)dξdη + C(η)dη + C1(x).
0 0 0
И теперь с учетом произвольности функции C(y) окончательно получаем общее решение дифференциального уравнения (5.1) в виде
∫y ∫x
u = C1(x) + C2(y) + |
|
f(ξ, η)dξdη, |
(5.2) |
19 |
0 |
0 |
|
где C1(x) и C2(y) есть произвольные непрерывно дифференцируемые функции.
На основании формулы (5.2) приходим к выводу, что дифференциальное уравнение (частный случай – при f(x, y) ≡ 0
– дифференциального уравнения (5.1))
|
|
uxy = 0 |
(5.3) |
имеем общее решение |
|
||
u = C1(x) + C2(y). |
(5.4) |
||
Дифференциальное уравнение |
|
||
1 |
|
|
|
uxx − |
|
uyy = 0, a ̸= 0, |
(5.5) |
a2 |
приводится к дифференциальному уравнению (вида (5.3))
uξη = 0
заменой ξ = x + ay, η = x − ay (У–9). Поэтому его общее решение определяется соотношением
u = C1(x + ay) + C2(x − ay). |
(5.6) |
2. Нахождение решений уравнения Лапласа на плос-
кости. Полагая в дифференциальном уравнении параметр
√
a = i, где i = −1 есть мнимая единица, получаем уравнение Лапласа
uxx + uyy = 0. |
(5.7) |
Пусть f(z) есть произвольная функция комплексного переменного z = x + i y на области Ω. Выделим у нее действительную и мнимую части:
f(z) = u(x, y) + i v(x, y).
20