Дифференциальные уравнения 3

Из курса теории функций комплексного переменного известно, что функции u(x, y) и v(x, y) удовлетворяют системе Коши– Римана (4.3), а также каждая из них удовлетворяет уравнению Лапласа (5.7). Это дает способ нахождения частных решений данного дифференциального уравнения.

Пример 5.1. Рассмотрим аналитическую функцию комплексного переменного

f(z) = ln

1

, z0 = x0 + i y0.

z − z0

Запишем комплексное число z − z0 в виде z

= z0 = r eiφ,

где

, φ = arg

y − y0

. Тогда

r =

(x

−

x

)2 + (y

−

y

)2

f(z) =

√y

0

0

x

−

x

0

1

−

y0

ln

−

arg

. В результате получаем такие решения урав-

r

x − x0

нения Лапласа:

1

y − y0

u = ln

, v = arctg

.

√

(x

−

x0)2 + (y

−

y0)2

x − x0

1

Умножив функцию u на числовой множитель

, получим

2π

решение

1

1

u =

ln

.

(5.8)

2π

(x − x0)

2

+ (y − y0)

2

√

Оно называется фундаментальным решением уравнения Лапласа (5.7).

Непосредственными вычислениями (У–10) проверяем, что

уравнение Лапласа в трехмерном случае
					uxx + uyy + uzz = 0					(5.9)
имеет решение
u =		1	ln				1				.
		4π
					(x − x0)	2	+ (y − y0)	2	+ (z − z0)	2
Оно также	называется фундаментальным решением урав-
				√

нения Лапласа (5.9).

21

§ 6. Классификация линейных дифференциальных уравнений второго порядка со многими независимыми переменными.

В § 3 был разработан метод приведения линейных дифференциальных уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными к каноническому виду. Для линейных дифференциальных уравнений второго порядка с n > 2 независимыми переменными в общем случае приведение к каноническому виду удается лишь в случае дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим линейные дифференциальные уравнения второго порядка с n независимыми переменными

n n	n
∑∑	∑
L(u) ≡	aij(x)uxixj + bi(x)uxi + c(x)u = f(x), (6.1)
i=1 j=1	i=1

где коэффициенты aij, bi, c, f определены на области Ω Rn, aij ≡ aji. Выделим главную часть дифференциального уравнения (6.1):

n	n
∑∑
L0(u) ≡	aij(x)uxixj .	(6.2)
i=1 j=1

Далее рассмотрим n числовых переменных ξ1, . . . , ξn, и поставим в соответствие частным производным функции u числовые выражения по следующему правилу

uxi → ξi, uxixj → ξiξj.

Тогда главной части (6.2) соответствует полином по переменным ξ1, . . . , ξn:

∑n ∑n

P (x, ξ) ≡

aij(x)ξiξj.

(6.3)

i=1 j=1

22

Полином (6.3) по переменным ξ1, . . . , ξn, будем называть характеристическим полиномом. Зафиксируем точку x0

Ω. В результате получим квадратичную форму с постоянными коэффициентами

n	n
∑∑
P (ξ) ≡	aij(x0)ξiξj.	(6.4)

i=1 j=1

Рассмотрим поверхность Γ Ω, определяемую уравнением

φ(x) = 0,

(6.5)

где φ C2(Ω). Теперь положим в выражении (6.3) ξi = φxi. Поэтому ξ = grad φ.

Определение 6.1. Поверхность Γ, заданную уравнением (6.5), будем называть характеристикой, или характеристической поверхностью дифференциального уравнения (6.1), если во всех точках поверхности Γ для функции φ выполняется соотношение

n	n
∑∑
P (x, grad φ(x)) ≡	aij(x)φxiφxj = 0. (6.6)

i=1 j=1

При этом уравнение (6.6) будем называть уравнением характеристик.

Отметим, что в случае n = 2 уравнение (6.6) совпадает с введенным ранее характеристическим уравнением (3.1).

Из курса линейной алгебры известно, что квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду. Для этого от переменных ξ1, . . . , ξn, перейдем к новым переменным µ1, . . . , µn, с помощью линейного невырожденного преобразо-

вания

∑n

ξi = Cijµj,

(6.7)

j=1

23

где ||Cij|| есть невырожденная матрица. Далее подставим (6.7) в квадратичную форму (6.4). Имеем

n		n
∑		∑
ξi = Cikµk, ξj = Cjsµs.
k=1		s=1
Тогда
n n	n	n
∑∑∑∑
P (ξ) =		aij(x0)CikCjsµkµs.
i=1 j=1 k=1 s=1
В итоге мы получили новую квадратичную форму
	n	n
	∑∑
P (µ) =		Aksµkµs	(6.8)
	k=1 s=1
с коэффициентами
n	n
∑∑
Aks =		aij(x0)CikCjs.	(6.9)

i=1 j=1

Из теории квадратичных форм известно, что существует такое невырожденное линейное преобразование (6.7), для которого форма (6.8) принимает канонический вид

∑n

P (µ) = aiµi2, ai {−1, 0, 1}, i =
	1, n,		(6.10)
i=1

то есть Aks = 0 при k ≠ s, а Aii = ai, i = 1, n. При этом число значений −1, 0 и 1 у коэффициентов ai квадратичной формы (6.10) не зависит от преобразования (6.7). Этот факт используется для классификации дифференциальных уравнений (6.1).

Определение 6.2. Дифференциальное уравнение (6.1) называется:

24

1) эллиптическим в точке x0, если в квадратичной фор-

ме (6.10) все коэффициенты ai = 1, i = 1, n, или все коэффициенты ai = −1, i = 1, n;

2) гиперболическим в точке x0, если в квадратичной форме (6.10) коэффициенты a1 = 1, ai = −1, i = 2, n, или коэффициенты a1 = −1, ai = 1, i = 2, n;

3) параболическим в точке x0, если в квадратичной форме (6.10) коэффициенты a1 = 0, ai = 1, i = 2, n, или коэффициенты a1 = 0, ai = −1, i = 2, n.

Очевидно, данная классификация не исчерпывает все типы дифференциальных уравнений (6.1). Однако в случае n = 2 приведенная классификация соответствует классификации из §2.

25

§ 7. Приведение к каноническому виду линейных дифференциальных уравнений второго порядка со многими независимыми переменными.

Рассмотрим дифференциальное уравнение (6.1) с постоянными коэффициентами

n n	n
∑∑	∑
L(u) ≡	aijuxixj + biuxi + cu = f(x),	(7.1)
i=1 j=1	i=1

где функция f определена на области Ω Rn, aij = aji. Приведем его к каноническому виду с помощью невырожденной линейной замены независимых переменных. Для этого в дифференциальном уравнении (7.1) произведем замену

∑n

yi = Cjixj, i = 1, n,	(7.2)
j=1

где матрица ||Cji|| является транспонированной по отношению к матрице преобразования (6.7). Сначала вычислим частные производные:

n

n

∑

∂yk

∑

u

= u

= C u

, i = 1, n,

yk ∂xi

xi

k=1

ik

yk

k=1

n

n

n

∑

∑∑

uxixj = Cik(uyk )xj =

CikCjsuysyk , i = 1, n, j = 1, n.

k=1

k=1 s=1

Далее после подстановки в дифференциальное уравнение (7.1) получаем такое дифференциальное уравнение:

n	n	n
∑∑		∑
L(u) ≡		Aksuykys + Bkuyk + cu = f(x),
k=1 s=1		k=1
где
n	n
∑∑
Aks =		CikCjsaij, k = 1, n, s = 1, n,

i=1 j=1

26

∑n

Bk = Cikbi, i = 1, n.

i=1

Поэтому каждый коэффициент Aks совпадает с соответствующим коэффициентом (6.9) квадратичной формы. А это значит, что если квадратичная форма (6.4) с помощью преобразования(6.7) приводится к каноническому виду (6.10), то дифференциальное уравнение (7.1) с помощью преобразования (7.2) приводится к каноническому виду

n	n
∑	∑
aiuyiyi +	Akuyk + cu = f(x).	(7.3)
i=1	k=1

Теперь приведем примеры дифференциальных уравнений в каноническом виде при n = 3.

Пример 7.1. Эллиптические уравнения

uxx + uyy + uzz + B1ux + B2uy + B3uz + cu = f(x, y, z). (7.4)

Пример 7.2. Гиперболические уравнения

uxx − uyy − uzz + B1ux + B2uy + B3uz + cu = f(x, y, z). (7.5)

Пример 7.3. Параболические уравнения

uxx + uyy + B1ux + B2uy + B3uz + cu = f(x, y, z), B3 ≠ 0. (7.6)

27

§ 8. Исключение младших производных в дифференциальных уравнениях с частными производными второго порядка.

В параграфах 3 и 7 упрощение дифференциальных уравнений с частными производными производилось с помощью замены независимых переменных. В данном параграфе на примере линейных дифференциальных уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными покажем, как упрощение может быть осуществлено также с помощью замены неизвестной функции.

Рассмотрим следующие дифференциальные уравнения: 1) гиперболические:

	uxy + aux + buy + cu = f(x, y),	(8.1)
2)	параболические:
	uyy + aux + buy + cu = f(x, y), a ̸= 0,	(8.2)
3)	эллиптические:
	uxx + uyy + aux + buy + cu = f(x, y).	(8.3)

При этом будем полагать, что в дифференциальных уравнениях (8.1) – (8.3) коэффициенты a, b и c есть вещественные постоянные. Упрощение дифференциальных уравнений (8.1)

– (8.3) будем проводить, вводя новую независимую перемен-

ную v с помощью замены
u = v eαx+βy,	(8.4)

где постоянные α и β подлежат определению. Сначала вычисляем частные производные:

ux = (vx + αv)eαx+βy, uy = (vy + βv)eαx+βy,

28

uxx = (vxx + 2αvx + α2v)eαx+βy,

uxy = (vxy + αvy + βvx + αβv)eαx+βy,

uyy = (vyy + 2βvy + β2v)eαx+βy.

Подставляя вычисленные производные в (8.1), получаем дифференциальное уравнение

vxy +(a+β)vx +(b+α)vy +(αβ+aα+bβ+c)v = f(x, y)e−(αx+βy).

Полагая коэффициенты при первых производных равными нулю, определяем искомые постоянные

α= −b, β = −a.

Врезультате мы преобразовали дифференциальное уравнение (8.1) к виду

vxy + Av = g(x, y),

(8.5)

где A = c − ab, g(x, y) ≡ f(x, y)e−(αx+βy).

Аналогичным образом с помощью замены (8.4) дифферен-

циальное уравнение (8.2) преобразуем к виду
vyy + Avx = h(x, y),										(8.6)
где в преобразовании (8.4) α =	b2				c				b	; а дифферен-
			−			, β = −
	4a				a				2
циальное уравнение (8.3) – к виду
vxx + vyy + Bv = φ(x, y),										(8.7)
		a					b
где в преобразовании (8.4) α = −				, β = −				.
		2					2

29

§ 9. Задача Коши для уравнений с частными производными.

В области G Rn рассмотрим дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка

n n	n
∑∑	∑
L(u) ≡	aij(x)uxixj + bi(x)uxi + c(x)u = f(x) (9.1)
i=1 j=1	i=1

сдостаточно гладкими коэффициентами.

Впространстве Rn зададим незамкнутую без самопересечений поверхность Γ0, определяемую уравнением

g(x) = 0,

(9.2)

где g C2(G), и, кроме того, grad g(x) ≠ 0, x G. Обозначим через Γ = Γ0 ∩ G часть поверхности, расположенной внутри области G. Будем предполагать, что область G представима в виде G = G+ ∩ Γ ∩ G−, где G+ ∩ G− ≠0, а подобласти G+ и G− не имеют общих точек с поверхностью Γ. На поверхности Γ зададим два условия на неизвестную функцию u:

u| = φ0(x),	∂u	| = φ1(x),	(9.3)
	∂n

где φ0(x) и φ1(x) есть заданные функции на поверхности Γ,

n = (n1, . . . , nn) есть единичная нормаль к поверхности Γ, ∂n∂u

– производная по направлению нормали n, которая опреде-

ляется выражением			∑			|	|
	∂u								∂g
			n	∂u		1
		= (grad u, n) =			ni, n =					.	(9.4)
	∂n		i=1	∂xi		grad u ∂xi

Условия (9.3) называют начальными условиями.

30