Билет 3.
1. Градиент функции нескольких переменных
Градиентом
функции называется вектор, координаты
которого равны частным производным
функции.
Градиент – вектор, который показывает направление наибольшей скорости возрастания функции. Модуль – величина этой скорости. Он всегда направлен ┴ к поверхности уровня функции.
Пример:
z=x2+y2-2y;
M0(1;1);
.
Построить график: от точки М0 2 вправо
и 0 вниз.
2. Теорема сложения вероятностей для совместных событий. Вероятность появления хотя бы одного события
События называются совместными, если они могут произойти одновременно.
Теорема сложения вероятностей для совместных событий: Вероятность суммы 2-х совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без учета их совместного появления. p(A+B)=p(A)+p(B)−p(AB)
Вероятность появления хотя бы одного из событий А1, А2,…, Аn, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведений вероятностей противоположных событий: Р (A) = 1 — q1q2 ... qn. Если события А1, А2,…,Аn имеют одинаковую вероятность р, то формула принимает простой вид: Р(А)=1-qn.
Пример. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: p1 = 0,8; p2 = 0,7; p3 = 0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания (событие А) при одном залпе из всех орудий.
Вероятности событий, противоположных событиям А1, А2 и А3 (т. е. вероятности промахов), соответственно равны: q1=1-p1=0,2,q2=0,3,q3=0,1. Искомая вероятность P(A)=1-q1q2q3=0,994.
Билет 4.
1. Частные производные и дифференциалы высших порядков
Если
продифференцировать еще раз
и
,
то в результате, по отношению к исходной
функцииz,
мы получим частную производную второго
порядка.
Всего
возможно 4 варианта частных производных
второго порядка: 1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Теорема Шварца утверждает, что если
смешанные частные производные непрерывны,
то они совпадают.
Дифференциал второго порядка:
Пример:
Найти
частные производные функции:
z=3x3y4+2x2+3y3;
и
для у.
2. Формула полной вероятности. Вероятность гипотез. Формулы Байеса
Пусть событие А может произойти одновременно с одним из событий Н1, Н2,…,Нn, которые образуют полную группу попарно несовместных событий.
Теорема
полной вероятности:
вероятность события А равна сумме
произведений безусловных вероятностей
гипотез на условную вероятность события
А:Р(А)=Р(Н1)Р(А/Н1)+Р(Н2)Р(А/Н2)+Р(Нn)Р(А/Нn).
По
формуле Байеса
можно найти вероятность того, что
произошла именно i-я
гипотеза, если уже известно, что произошло
событие А:
Пример: В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых; во второй — 20 шаров, из них 4 белых. Наудачу извлекли один шар. Найти вероятность того, что взят белый шар.
Пусть событие A— «наудачу взятый шар — белый». Введем события (гипотезы):Н1— «шар извлечен из первой урны»,Н2— «шар извлечен из второй урны». Р(Н1)=Р(Н2)=1/2 Вероятность того, что из первой урны извлечен белый шар, РН1(A)=8/10=4/5 вероятность того, что из второй урны извлечен белый шар, РН2(A)=4/20=1/5; Р(А)= Р(Н1)Р(А/Н1)+Р(Н2)Р(А/Н2)=1/2*4/5+1/2*1/5=2/5+1/10=1/2.