Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный экономический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Вышка часть 2.docx

Скачиваний:

Добавлен:

20.02.2016

Размер:

182.58 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

Однородное дифференциальное уравнение первого порядка

называется однородным, если правая часть удовлетворяет соотношению для всех значений t. Другими словами, правая часть должна являться однородной функцией нулевого порядка по отношению к переменным x и y: Однородное дифференциальное уравнение можно также записать в виде или через дифференциалы:

Уравнением Бернулли называется дифференциальное уравнение (при n = 0 или n = 1 получаем неоднородное или однородное линейное уравнение).

Дифференциальными уравнениями высшего порядка называют уравнения порядка выше первого. В общем случае такие уравнения имеют вид F(x, y, y′, y′′, K, y(n) ) = 0 ,

Обыкновенным дифференциальным уравнением n -го порядка – Уравнение вида или где x - независимая переменная, y - искомая функция, а функция F определена и непрерывна в некоторой области и во всяком случае зависит от

Дифференциальные уравнений, допускающих понижение порядка.

I. Уравнение вида . После n-кратного интегрирования получается общее решение

II. Уравнение не содержит искомой функции и её производных до порядка включительно:

Порядок такого уравнения можно понизить на единиц заменой . Тогда уравнение примет вид

Дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид , где p и q – произвольные действительные числа, а функция f(x) – непрерывна на интервале интегрирования X.

__________________________________________________________________________________________________

Числовой ряд — это числовая последовательность, рассматриваемая вместе с другой последовательностью, которая называется последовательностью частичных сумм (ряда).

Числовым рядом называется выражение вида где – действительные или комплексные числа, называемые членами ряда, - общим членом ряда.

Гармонический ряд представляет собой сумму, составленную из бесконечного количества членов, обратных последовательным числам натурального ряда

Частичная сумма числового ряда – это сумма вида , где n – некоторое натуральное число.

Суммой числового ряда это предел частичных сумм Sn, если он существует и конечен

Сходящимся называется числовой ряд если существует конечный предел последовательности частичных сумм . Это значит, что бесконечная сумма равна некоторому конечному числу S

Расходящимся называется если предел последовательности частичных сумм числового ряда не существует или бесконечен, то ряд

Суммой сходящегося числового ряда называется предел последовательности его частичных сумм, то есть

Знакоположительным числовой ряд если все его члены положительны, то есть, .

Знакочередующимся числовой ряд если знаки его соседних членов различны. Знакочередующийся числовой ряд можно записать в виде или , где

Знакопеременным числовой ряд если он содержит бесконечное множество как положительных, так и отрицательных членов.

Признак Лейбница:

(монотонное невозрастание {an} по абсолютной величине)
Тогда этот ряд сходится.

Абсолютно сходящимся знакопеременный ряд , если сходится ряд из абсолютных величин его членов, то есть, сходится знакоположительный числовой ряд .

Условно сходящимся знакопеременный ряд , если ряд расходится, а ряд сходится

Арифметическая прогрессия. Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с постоянным для этой последовательности числом d

Число d называется разностью прогрессии.

Член арифметической прогрессии вычисляется по формуле: an = a1 + d ( n – 1 )

Геометрическая прогрессия. Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на постоянное для этой последовательности число q

Число q называется знаменателем прогрессии.

Член геометрической прогрессии вычисляется по формуле: bn = b1 q n - 1 .

Сумма n первых членов геометрической прогрессии вычисляется как:

Необходимый признак сходимости числового ряда:

Если ряд сходится, то .

если , то ряд расходится.

Признак сравнения — утверждение об одновременности расходимости или сходимости двух рядов, основанный на сравнении членов этих рядов.

Признак Даламбера: Положительный числовой ряд . Если существует предел отношения последующего члена к предыдущему: , то:

а) При D<1 ряд сходится. В частности, ряд сходится при D=0.

б) При D>1 ряд расходится. В частности, ряд расходится при .

в) При D=1 признак не дает ответа.

Радикальный признак Коши: Если для ряда

если ряд сходится,

если l > 1 ряд расходится,

если l = 1 вопрос о сходимости ряда остается открытым

Интегральный признак Коши Пусть f (x) является непрерывной, положительной и монотонно убывающей функцией на промежутке [1, +∞). Тогда ряд сходится, если сходится несобственный интеграл , и расходится, если .

Абсолютная и условная сходимость

Ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд также сходится.

Если ряд сходится абсолютно, то он является сходящимся (в обычном смысле). Обратное утверждение неверно.

Ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

___________________________________________________________________________________________________

Степенной ряд – это ряд, в общий член которого входят целые положительные степени независимой переменной И записывается

Степенным рядом называется функциональный ряд вида

где a0, a1, a2, …,an,…, а также x0 – постоянные числа.

Центром степенного ряда - точку x0

Признак Д’Аламбера: Если при n > N и α > 1 выполнено неравенствотогда степенной ряд сходится во всех точках окружности | x | = R абсолютно и равномерно по x.