3. Показатели вариации.

Показатели вариации (изменчивости) (measures of variability), вычисляемые на основании данных, измеряемых с помощью интервальных или относительных шкал, включают размах вариации, межквартильный размах, дисперсию, стандартное отклонение и коэффициент вариации.

Показатели вариации (изменчивости) (measures of variability) - Статистики, показывающие меру разброса (вариабельность) значений переменной.

Размах вариации (range) отражает разброс данных. Он равен разности между наибольшим и наименьшим значениями в выборке. Поэтому на него непосредственно влияют выбросы.

Размах = Xмаксимальное- Х минимальное

Если все значения данных умножить на константу, то значение размаха вариации умножается на ту же константу. Размах вариации в табл. 2 равен: 7 — 2 = 5,000.

Межквартильный размах (interquartile range) — это разность между 75- и 25-м процентилями. Межквартильный размах (interquartile range) - Размах вариации распределения, охватывающий центральные 50% всех наблюдений.

Для набора точек данных, расположенных в ранжированном ряду, р-м процентилем будет такое значение переменной в ранжированном ряду распределения, что р% единиц совокупности будут меньше и (100 — р)% — больше него. Если все значения данных умножить на константу, то межквартильный размах умножается на эту же константу. Межквартильный размах в табл. 2 равен 6 - 3 = 3,000.

Разность между средним значением переменной и ее наблюдаемым значением называют отклонением от среднего.

Дисперсией называется средний квадрат отклонения значений признака от среднего арифметического. Дисперсия, вычисляемая по выборочным данным, называется выборочной дисперсией и обозначается .

      Выборочную дисперсию вычисляют по приведенным ниже формулам:

      Для несгруппированных данных

            .                                                           

В этой формуле — сумма квадратов отклонений значений признака x_i от среднего арифметического х. Для получения среднего квадрата отклонений эта сумма поделена на объем выборки n.

      Для сгруппированных в интервальный вариационный ряд данных:

          .                                                         

Здесь х_i — срединные значения интервалов группировки; — взвешенная сумма квадратов отклонений.

      Размерность дисперсии не совпадает с единицами измерения варьирующего признака. Дисперсия измеряется в единицах измерения признака в квадрате.

       Стандартным отклонением (или средним квадратическим отклонением) называется корень квадратный из дисперсии:

                        .                                                                 

Размерность стандартного отклонения в отличие от размерности дисперсии совпадает с единицами измерения варьирующего признака, поэтому в практической статистике для того, чтобы охарактеризовать рассеяние признака используют обычно стандартное отклонение, а не дисперсию.

Стандартное отклонение для данных табл.2 находим по формуле;

δ==1,579

     ,                                                                  

называемый коэффициентом вариации.

Обычно он выражается в процентном отношении:

      .

Коэффициент вариации является относительной мерой рассеяния признака.

      Коэффициент вариации используется и как показатель однородности выборочных наблюдений. Считается, что если коэффициент вариации не превышает 10 %, то выборку можно считать однородной, т. е. полученной из одной генеральной совокупности. Практически коэффициент вариации применяется в основном для сравнения выборок из однотипных генеральных совокупностей. Коэффициент вариации можно использовать как относительную меру рассеяния только в тех случаях, когда значения признака измерены в шкале с абсолютным нулем.

      К использованию коэффициента вариации нужно подходить с осторожностью. Продемонстрируем возможные ошибки на следующем примере. Если на основании многолетних наблюдений среднее арифметическое среднесуточных температур 8 марта составляет в какой-либо местности 0°С, то по формуле получим бесконечный коэффициент вариации независимо от разброса температур. Поэтому в данном случае коэффициент вариации не применим! в качестве показателя рассеяния температур, а специфику явления более объективно оценивает стандартное отклонение.