3.190. Составить уравнение гиперболы, касающейся двух прямых: 5х–6у–16=0, 13х–10у–48=0, при условии, что еe оси совпадают с осями координат.

	3.191.	Убедившись, что точки пересечения эллипса	x2	+	y2	=1 и гиперболы
			20		5

x2 − y2 =1 являются вершинами прямоугольника, составить уравнения

12 3

его сторон.

3.192. Прямая 2х–у–4=0 касается гиперболы, фокусы которой находятся в точках F1(–3; 0) и F2(3; 0). Составить уравнение этой гиперболы.

3.193. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, если известны уравнение касательной к гиперболе 15х+16у–36=0 и расстояние между eе вершинами 2а=8.

3.4.3. Парабола

Параболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой директрисой. Фокус параболы обозначается буквой F, расстояние от фокуса до директрисы — буквой р. Число р называется параметром параболы.

Пусть дана некоторая парабола. Введем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы ось абсцисс проходила через фокус данной параболы перпендикулярно к директрисе и была направлена от директрисы к фокусу; начало координат расположим посредине между фокусом и директрисой (рис. 3.15а). В этой системе координат данная парабола будет определяться уравнением

y2=2рх. (3.37)

Уравнение (3.37) называется каноническим уравнением параболы. В этой же системе координат директриса данной параболы имеет уравнение х=− 2p .

Фокальный радиус произвольной точки М(х; у) параболы (т.е. длина отрезка FM) может быть вычислен по формуле r=x+ 2p .

95

а)	б)
	рис. 3.15

Парабола имеет одну ось симметрии, называемую осью параболы, с которой она пересекается в единственной точке. Точка пересечения параболы с осью называется ее вершиной. При указанном выше выборе координатной системы ось параболы совмещена с осью абсцисс, вершина находится в начале координат, вся парабола лежит в правой полуплоскости.

Если координатная система выбрана так, что ось абсцисс совмещена с осью параболы, начало координат — с вершиной, но парабола лежит в левой полуплоскости (рис. 3.15б), то ее уравнение будет иметь вид

y2=–2рx. (3.38)

В случае, когда начало координат находится в вершине, а с осью совмещена ось ординат, парабола будет иметь уравнение

x2=2ру,	(3.39)
если она лежит в верхней полуплоскости (рис. 3.16а), и
х2=–2ру	(3.40)

— если в нижней полуплоскости (рис. 3.16б).

а) б)

Рис. 3.16

Каждое из уравнений параболы (3.38), (3.39), (3.40), как и уравнение (3.37), называется каноническим.

96

Если ось симметрии параболы параллельна оси Oy , а ее вершина находится в точке C(x0; y0 ), то уравнение параболы имеет вид

(x − x )2	= ±2 p(y − y ) .	(3.41)
0	0

Если ось симметрии параболы параллельна оси Ox , а ее вершина находится в точке C(x0; y0 ), то уравнение параболы имеет вид

(y − y )2	= ±2 p(x − x ) .	(3.42)
0	0

Геометрический смысл параметра p состоит в том, что, чем больше его величина, тем ближе к оси симметрии лежат ветви параболы.

Пример 3.19. На параболе у2=8х найти точку, расстояние которой от директрисы равно 4.

Решение. Из уравнения параболы получаем, что р = 4. По условию, r=4. Следовательно, r = x + p/2 = 4; поэтому: x=2; y2=16; y=±4.

Таким образом, искомые точки: M1(2; 4), M2(2; –4).

Пример 3.20. Определить координаты вершины, ось симметрии и директрису параболы y = −x2 + 4x −5.

Решение. Преобразуем данное уравнение, выделив полный квадрат.

y = −(x2 − 4x +5) = −(x2 − 4x + 4 +5 − 4) = −(x − 2)2 −1				или	y +1 = −(x − 2)2 .
Сравнивая с (3.41), заключаем, что координаты вершины имеют вид A(2;−1) ,
уравнение	оси симметрии x = 2, ветви направлены				вниз, уравнение
директрисы	y = −1+ 1	1	= − 3 .
	2	2	4

Пример 3.21. Составить уравнение параболы, которая симметрична относительно оси Оx, проходит через точку A(4; –1), а вершина ее лежит в начале координат.

Решение. Так как парабола проходит через точку A(4; –1) с положительной абсциссой, а ее осью служит ось Оx, то уравнение параболы следует искать в виде y2 = 2 px . Подставляя в это уравнение координаты точки A, будем иметь 1 =8 p или

2 p = 14 .Такимобразом,искомымуравнениемпараболыбудет y2 = 14 x .

97

Задачи для самостоятельного решения

3.194.Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная, что:

1)парабола расположена в правой полуплоскости симметрично относительно оси Ох и ее параметр р=3;

2)парабола расположена в левой полуплоскости симметрично относительно оси Ох и ее параметр р=0,5;

3)парабола расположена в верхней полуплоскости симметрично

относительно оси Оу и ее параметр p= 14 ;

4) парабола расположена в нижней полуплоскости симметрично относительно оси Оу и ее параметр р=3.

3.195. Определить величину параметра и расположение относительно координатных осей следующих парабол:

1) у2=6х; 2) х2=5у; 3) у2= –4х; 4) х2= –у.

3.196. Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная, что:

1)парабола симметрично расположена относительно оси Ох и проходит через точку А(9; 6);

2)парабола симметрично расположена относительно оси Ох и проходит через точку В(–1; 3);

3)парабола симметрично расположена относительно оси Оу и проходит через точку С(1; 1);

4)парабола симметрично расположена относительно оси Оу и проходит через точку D(4; –8).

3.197. Составить уравнение параболы, которая имеет фокус F(0; –3) и проходит через начало координат, зная, что ее осью служит ось Оу.

3.198. Установить, какие линии определяются следующими уравнениями:

1)

у=2

x

;

2)

у=

−x

;

3)

у=-3

−2x

;

4)

у=–2

;

5)

х=

;

6)

х= –5

.

x

5y

−y

Изобразить эти линии на чертеже.

98

3.199. Найти фокус F и уравнение директрисы параболы у2=24х.

3.200. Вычислить фокальный радиус точки М параболы у2=20х, если абсцисса точки М равна 7.

3.201. Составить уравнение параболы, если дан фокус F(–7; 0) и уравнение директрисы х–7=0.

3.202. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет параболу, и найти координаты ее вершины А, величину параметра р и уравнение

директрисы:
1) у2=4х–8;	2) у2=4–6х;	3) х2=6у+2;	4) х2=2–у.

3.203. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет параболу, и найти координаты ее вершины А и величину параметра р:

1) y=	1	х2+х+2;	2) y=4x2–8x+7;	3) y= –	1	х2+2х–7.
	4				6

3.204. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет параболу, и найти координаты ее вершины А и величину параметра р:

1) х=2у2–12у+14; 2) х= – 14 у2+у; 3) х=–у2+2у–1.

3.205. Установить, какие линии определяются следующими уравнениями:

1)	у=3–4		x −1	;		2)	х=–4+3		y +5	;
3)	х=2–				;	4)	у=–5–				.
		6 − 2y						−3x − 21

Изобразить эти линии на чертеже.

3.206. Составить уравнение параболы, если даны ее фокус F(7; 2) и директриса

х–5=0.

3.207. Составить уравнение параболы, если даны ее фокус F(2; –1) и директриса

х–у–1=0.

3.208. Дана вершина параболы А(6; –3) и уравнение ее директрисы 3х–5у+1=0. Найти фокус F этой параболы.

3.209. Определить точки пересечения прямой 3х+4у–12=0 и параболы у2= –9х.

3.210. В следующих случаях определить, как расположена данная прямая относительноданнойпараболы— пересекаетли,касаетсяилипроходитвнеее:

1) х–у+2=0, у2=8х;

2) 8х+3у–15=0, х2= –3у;

3) 5х–у–15=0, у2= –5х.

99