дополнительно для заочников по матем

							51
стационарную точку			x = a на экстремум с помощью второго доста-
				6
точного условия экстремума. Найдем вторую производную:
				V ′′ = π(a −12x) .
a						a
Так как V ′′		= −πa < 0		, то в точке	x =		рассматриваемая функция
						6
6

имеет максимум. Он равен							2
a				π a					a			πa3
V =			=			a − 4					=		.
					6							216
6				2					6

	a
Так как рассматриваемая функция непрерывна на интервале 0,		и
	4

на этом интервале имеет лишь один экстремум, который является максимумом, то этот экстремум является и наибольшим значением рас-

	a
сматриваемой функции на интервале 0,		.
	4

Ответ: πa3 . 216

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2

Задание 1.

Зависимость производства национального дохода Z от объемов использования основных производственных факторов – рабочей силы х и производственных фондов у можно описать функцией Z = f(x, y). Изменение значения функции национального дохода при малом изменении ее аргументов приближенно выражается полным дифференциалом

		dz = ∂z dx +	∂z dy .
		∂x	∂y
	Найти полный дифференциал функции.
В – 1		Z = x3 + y3 −3xy(x − y)	при х = 3,	у = 2;
В – 2		Z =3x2 y2 + 4xy3 − 7x2	при х = 2,	у = 3;
В – 3		Z = (x2 + y)exy	при х = 1,	у = 1;

52

В – 4

Z =

3x

2

+ y

2

при х = 2,

у = 2;

В – 5

Z = 6 3 1 + 4xy + x2 + y3

при х = 2,

у = 1;

В – 6

x

2

2

Z =

− y

при х = 1,

у = 2;

x

2

2

+ y

В – 7

Z =

2xy

при х = 1,

у = 2;

x

2

+ y

В – 8

Z =3

3

x

2

y + 2

xy

при х = 1,

у = 1;

В – 9

Z = 2

x y3 + 6

x 3 y

при х = 4,

у = 1;

В – 10

Z =

xy + x

при х = 2,

у = 2;

y

В – «α»

Z = x4 −3x2 y2 + 5xy3 + y4

при х = 2,

у = 1.

Задание 2.

Найти неопределенные интегралы (результаты в случаях а) и б) проверить дифференцированием).

В – 1	а)	∫(2 −5sin x) 13 cos x dx ;					б)	∫xe2x dx ;
	в)	∫		3x − 2	dx ;		г)	∫sin3 5x dx ;
			x2 + 2x + 2
В – 2	а)	∫e2arcsin x dx ;					б)	∫(x2 +1)e−2 x dx ;
			1	− x2
	в)	∫		2x −5		dx ;	г)	∫ cos x sin3 x dx ;
			4x	2
				− 4x +17

В – 3 а)

в)

В – 4 а)

в)

В – 5 а)

в)

В – 6 а)

в)

В – 7 а)

в)

∫x2e2x3 dx ;

	2x + 5
∫	9x2 + 6x + 2 dx ;

cos x dx dx ;
∫5 sin3 x
	3x −1
∫	2x2 + 2x +1 dx ;
∫	x + ln x dx ;
	x
	5x +8
∫		dx	;
	6x2 + x − 2

∫		ex dx
				;
	4 + e		2 x
∫		x + 3					dx	;
		2 + 4x − x2
∫sin(ln x) dx					;
				x
∫		x + 5				dx ;
		2x2 + 2x + 3

53

б)	∫x tg 2 x dx ;
г)	∫3 sin x cos3	x dx ;

б) ∫ln(xx++22) dx ;

г)	∫sin2 xcos3 x dx ;
б)	∫x arctgx dx ;
г)	∫sin4 x dx ;

б) ∫(x2 − 2x +1)ln x dx ;

г)	∫sin3 xcos2 x dx .
б)	∫arccos x dx ;
г)	∫sin2 5x dx .

В – 8 а)

в)

В – 9 а)

в)

В – 10 а)

в)

В – «α» а)

в)

∫x7−x2 dx ;
∫			8x −1						dx ;
			5 + 2x − x2
	4arctgx
∫					dx	;
	1 + x			2
∫			x + 3					dx ;
	3		+ 4x − 4x				2

x3dx

∫x8 +1;

∫	x −8	dx ;
	4 − 2x − x2

∫(3 − 4cos x) 13 sin x dx ;

	2x +1
∫	4x2 + 4x −3 dx ;

54

б)	∫x2e3x dx ;
г)	∫cos2 3x dx .
б)	∫ln3x dx ;
	x
г)	∫cos4	x	dx .
	2
б)	∫(x −3)sin 2x dx ;
г)	∫sin2 xcos2 x dx .
б)	∫xe−x dx ;
г)	∫cos2 3x dx ;

Задание 3.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной данными линиями. Сделать чертеж.

В – 1	y2 =9x ,	у - х - 2 = 0.
В – 2	y2 = 2x +1,	х – у - 1 = 0.
В – 3	y = x2 +1,	х + у = 3.
В – 4	y2 = 4x ,	x2 = 4 y .

55

В – 5	y = x2 − 6x + 7 ,	у - х - 1 = 0.
В – 6	y = x2 + 4x ,	у = х + 4.
В – 7	y = x2 + 2 ,	у - х - 2 = 0.
В – 8	y = −x2 − 6x −5,	у - х - 1 = 0.
В – 9	y = −x2 + 6x −5 ,	у = х - 5.
В – 10	y = 4x ,	x2 = 4 y
В – «α»	y = −x2 + 4x +1,	у - х - 1 = 0.

Задание 4.

Пусть известна непрерывная функция f(x), которая характеризует изменение производительности труда от времени х рабочего некоторого предприятия. Определить объем продукции, произведенной рабочим за промежуток времени от х1 до х2.

В – 1

f (x) =10 + 2sin 2 πx,

x

= 4,

x

2

= 6.

x

1

В – 2

f (x) =

+

x1

x2 = 2.

42 1

,

= 0,

x2 +1

В – 3

f (x) =13cos2 π (x − 2),

x

= 2,

x

2

= 4.

4

1

x

В – 4

f (x) = 31 e

2

,

x

= 2,

x

2

=3.

1

−

x

В – 5

f (x) = 40 2

x

=1,

x

=3.

3 ,

2

1

В – «α1»

f (x) =

2x + 5,

x1

= 2,

x2

=10.

Найти среднее значение издержек К(х), выраженных в денежных единицах, если объем продукции х изменяется от х1 до х2.

В – 6	K (x) = 3x +1,	x = 0,	x		2	=3.
		1
В – 7	K (x) =3x2 + 4x +1,	x =1,	x	2		= 4.
		1
В – 8	K (x) = ex + 2,	x = 0,	x		2	= 4.
		1
В – 9	K (x) = 2x2 + 3x + 4,	x = 2,	x		2	=5.
		1
В – 10	K (x) = 2x+1 + 4,	x =1,	x	2		=5.
		1
В – «α2»	K (x) = 6x2 + 2x +1,	x =1,	x	2		=3.
		1

56

Задание 5. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальному условию

у = у0 при х = х0 .

В – 1

y′−

y

= x ln x,

x0 = e,

y0 = e2

.

xln x

1

2

В – 2

y

′

+ 3y tg3x =sin 6x,

x0 = 0,

y0 =

3.

1

В – 3

y

′

− 2 y = e

x

− x,

x0 = 0,

y0 =

4.

В – 4

y

′

sin x − y cos x =1,

x0 =

π

2

,

y0 = 0.

В – 5

xy

′

+ y + xe

−x2

= 0,

x0 =1,

y0 =

1

2е.

В – 6

y

′

− yctgx = e

x

sin x,

x0 =

π

2

,

y0 =1.

В – 7

y′

1 − x2

+ y = arcsin x,

x0 = 0,

y0 = 0.

В – 8

(x2 +1) y′ + 4xy =3,

x0 = 0,

y0 = 0.

В – 9

y′+ y cos x = cos x,

x0 = 0,

y0 =3.

В – 10

(x2 +1) y′− 2xy = x2 +1,

x0 =1,

y0 = π.

В – «α»

y′+ y tgx −

1

= 0,

x0 = π,

y0 =1.

cos x

Задание 6.

Найти интервал и область сходимости степенного ряда.

В – 1

∞

(−1)

n

x

n

В – 2

∞

(x −3)

n

;

∑

;

∑

n=1

3 n

n=1 n n +1

∞

(x −

1)

n

∞

(x + 4)

n

В – 3

∑

;

В – 4

∑

;

(3n −1)3n

n4

n=1

n=1

∞

5

n

x

n

∞

(x + 2)

n

В – 5

∑

;

В – 6

∑

;

n

n 3n−1

n=1

n=1

∞

(−1)

n

x

n

∞

2

n

(x +

1)

n

В – 7

∑

;

В – 8

∑

;

2n + 3

n +1

n=1

n=1

57

	∞	5n	n xn					∞	n(x − 2)n
В – 9	∑		4n	;	В – 10			∑		;
									5n + 2
	n=1							n=1
					∞		n
				В – «α»	∑	(x + 2)		;
					n=1 n(5n +1)

Задание 7.

Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и почленно его интегрируя.

	0,2		sin 5x	dx ;			1	x	3	cos x dx ;
В – 1	∫					В – 2	∫
			x
	0						0
	0,4	e−1,7 x2		dx ;			1	3	x cos x dx ;
В – 3	∫					В – 4	∫
	0						0
	0,8		sin1,25x				0,5
В – 5	∫				dx ;	В – 6	∫	e−0,9x2 dx ;
	0		x				0
	0,4		x e−0,25x dx ;				1	cos x dx ;
В – 7	∫					В – 8	∫
	0						0
	0,6	e−0,4 x2		dx ;			1	x2 sin x dx ;
В – 9	∫					В – 10	∫
	0						0

1	sin x2
В – «α» ∫			dx ;
	x	2
0

Задание 8.

Данные о выпуске продукции у (млн. руб.) на 11 предприятиях за 5 лет приведены в таблицах. Предполагая, что х и у связаны линейной зависимостью у = ах + b, найти методом наименьших квадратов параметры этой зависимости и определить прогноз на 6-й год.

B – 1

Год,	х	1 – й	2 – й	3 – й	4 – й	5 – й
Млн. р.,	у	0,8	0,3	2,3	3,8	2,8

58

В – 2

	Год,	х	1 – й	2 – й	3 – й	4 – й	5 – й
	Млн. р., у		2	1,5	3,5	5	4
В – 3
	Год,	х	1 – й	2 – й	3 – й	4 – й	5 – й
	Млн. р., у		1,2	0,7	2,7	4,2	3,2
В – 4
	Год,	х	1 – й	2 – й	3 – й	4 – й	5 – й
	Млн. р., у		1,4	0,9	2,9	4,4	3,4
B – 5
	Год,	х	1 – й	2 – й	3 – й	4 – й	5 – й
	Млн. р., у		2,1	1,6	3,6	5,1	4,1
В – 6
	Год,	х	1 – й	2 – й	3 – й	4 – й	5 – й
	Млн. р., у		1,8	1,3	3,3	4,8	3,8
B – 7
	Год,	х	1 – й	2 – й	3 – й	4 – й	5 – й
	Млн. р., у		2,6	2,1	4,1	5,6	4,6
B – 8
	Год,	х	1 – й	2 – й	3 – й	4 – й	5 – й
	Млн. р., у		2,8	2,3	4,3	5,8	4,8
В – 9
	Год,	х	1 – й	2 – й	3 – й	4 – й	5 – й
	Млн. р., у		1,6	1,1	3,1	4,6	3,6
B – 10
	Год,	х	1 – й	2 – й	3 – й	4 – й	5 – й
	Млн. р., у		2,4	1,9	3,9	5,4	4,4
В – «α»
	Год,	х	1 – й	2 – й	3 – й	4 – й	5 – й
	Млн. р.,	у	1	0,5	2,5	4	3

59

Методические рекомендации к выполнению контрольной работы № 2

Решение варианта « α »

Задание 1.

Найдем частные производные:

∂z

= (x4

−3x2 y2 + 5xy3

+ y4 )′x = 4x3 − 6xy2 + 5y3 ,

∂x

∂z

= (x4

−3x2 y2 + 5xy3

+ y4 )′y = −6x2 y +15xy2 + 4 y3.

∂y

х = 2,

у = 1.

Вычислим значения этих производных при

∂z(2, 1)

= 4 23 − 6 2 1 + 5 1 = 25,

∂x

∂z(2, 1)

= −6 22

1 +15 2 1 + 4 1 =10.

∂y

∂z(x, y) dx

∂z(x, y) dy.

Таким образом, по формуле

dy(x, y) =

+

Полу-

чим dz = 25dx +10dy.

∂x

∂y

Ответ: 25dx +10dy .

Задание 2.

3 – 4 cos x = t, тогда (3 − 4cos x)′dx = dt ,

а) сделаем замену

4sinx dx = dt,

sinx dx =

1 dt

и

1

4

1

1

1

4

3

3

4

∫(3 − 4cos x)

3 sin x dx = ∫t

3

dt =

t

3

+ c =

(3 − 4cos x)

3 + c.

4

4

4

16

Для проверки полученного результата убедимся в том, что производная от полученного выражения равна подынтегральной функции

	3		4		′		3			4			1
		(3 − 4cos x)		3	+ c	=					(3	− 4cos x)		3	4sin x =
							16			3
16

= (3 − 4cos x) 13 sin x,

т.е. получили подынтегральную функцию, следовательно, интеграл найден верно.

Ответ: 163 (3 − 4cos x)43 + c.

60

б) используем формулу интегрирования по частям:

∫udv =uv − ∫vdu.

Пусть u = x, dv = e-x dx. Тогда du = dx, v = ∫e−x dx = −e−x . Поэтому ∫xe−x dx = −xe−x + ∫e−x dx = −xe−x − e−x + c = −e−x (x +1) + c. Проверка:

(− e−x (x +1) + c)′ = (− e−x )′(x +1) − e−x (x +1)′= e−x (x +1) − e−x = xe−x ,

т.е. производная от полученного выражения равна подынтегральной функции.

										Ответ: − e−x (x +1) + c.
в) выделим полный квадрат квадратного трехчлена:
	2		2		3			2		1		1		3
4x		+ 4x −3 = 4 x		+ x −			= 4 x		+ x +		−		−			=
										4		4		4
					4

1

2

1

2

4

x +

−1

=

4 x +

− 4.

2

2

Положим

x + 1

=t,

x

=t

− 1

,

dx = dt.

2

2

Тогда

∫

2x +1

dx = ∫

2x +1

dx = ∫

2t

dt =

4x2 + 4x −3

4(x + 12)2 − 4

4t 2 −

4

= (сделаем замену:

4t

2 − 4 = z,

тогда

8tdt = dz и

2tdt = 1 dz) =

1

dz

1

−1

1

1

1

1

4

=

∫

=

∫z

2 dz =

z

2

+ c =

4t

2

−

4 + c =

4x

2

+ 4x −3 + c.

4

4

2

2

2

z

Ответ: 1

4x2

+ 4x − 3 + c.

2

г)

воспользуемся формулой понижения степени:

cos2 x =

1 + cos2x

,

т.е.

cos2 3x =

1 + cos6x

. Тогда

∫cos2 3x dx =

1 + cos6x

2

2

∫

dx =

1

∫dx +

1

∫cos6x dx =

1

x +

1

sin 6x + c.

2

12

2

2

2

Ответ:

1 x +

1

sin 6x + c.

12

2