дополнительно для заочников по матем

61

Примечание: интегралы вида ∫sinm x cosn x dx, где m и n по-

ложительные четные числа (или одно из них – нуль) вычисляются с помощью формул

sin x cos x =

1

sin 2x,

sin

2

x =

1 − cos2x

,

cos

2

x =

1 + cos2 x

;

2

2

2

если же

m – нечетное число, то вычисляются с помощью подстановки

cos x =t ;

если n – нечетное, то подстановка

sin x =t .

Задание 3.

y = −x2 + 4x +1 и прямой

Найдем точки пересечения параболы

y = x +1. Для этого решим систему

	2	+ 4x +1	;		= −x	2	+ 4x +1;
y = −x				x +1
y = x +1				y = x +1

x2 −3x = 0

y = x +1.

Отсюда x1 = 0, x2 =3, y1 =1, y2 = 4 , а точки пересечения А(0; 1), В(3; 4). Построим чертеж и найдем пределы интегрирования.

5 4 B

		A			2
y=x+1					y=-x +4x+1
0			2	3	4

Так как а = 0, b = 3, f (x) = −x2 + 4x +1, ϕ(x) = x +1, то искомая площадь равна:

62

	b							3					3
S = ∫( f (x) − ϕ(x))dx = ∫(−x2 + 4x +1 − (x +1))dx = ∫(−x2 + 3x)dx =
	a							0					0
		x	3		3x	2			3	27		9
									= −9 +		=		= 4,5 (кв.ед.).
=	−			+
		3			2					2		2
									0

Ответ: 4,5 кв. ед.

Задание 4.

I. Количество (объем) L продукции, произведенной рабочим за время от х1 часа смены до х2 часа, выражается определенным инте-

b

гралом L = ∫ f (x)dx , где f(x) непрерывная функция, которая характе-

a

х. Если

ризует

изменение

производительности от

времени

f (x) =

2x + 5, x1 = 2,

x2 =10, то

10

2x + 5 dx = 1

2

(2x + 5)32

10 =

1

(2x + 5) 32

10 =

1

L = ∫

(125 +

27) ≈ 50,67.

2

2

3

2

3

2

3

Таким образом, за указанный промежуток времени рабочим будет произведено 50,67 единиц продукции.

Ответ: 50,67.

II. Если объем продукции изменяется от х1 до

х2 , то среднее

значение издержек производства К(х)

выражается формулой

1

x

K (c) =

∫2 K (x)dx .

x

− x

2

x1

1

Если

f (x) = 6x2 + 2x +1,

x

=1,

x

2

=

3 , то

1

K (c) =

1 ∫(6x2

+ 2x +1)dx = 1 (2x3 + x2 + x)

3 =

3

3 −1 1

2

1

= 12 (54 + 9 + 3 − 2 −1 −1) =31,

т.е. среднее значение издержек равно 31 денежной единице.

Ответ: 31.

63

Задача 5.

Данное

уравнение

является

линейным,

поэтому

полагаем

y =u v . Тогда

y

′

′

′

и уравнение примет вид:

=u v + uv

′

′

+ uv tgx

1

= cos x

или

u v + uv

′

′

1

+

(v

+ v tgx)u = cos x

(1)

u v

В качестве

функции

v

возьмем

частное

решение

уравнения

v′ + v tgx = 0 , обращающее в нуль коэффициент при u в уравнении (1). Тогда из (1) получим систему дифференциальных уравнений

v′

+ v tgx = 0

(2)

′

1

u v =

cos x.

Интегрируя первое уравнение системы (2), находим функцию v:

v′ + v tgx = 0,

dv + tgx dx = 0,

∫

dv +

∫tgx dx = c.

v

v

В этом и только в этом случае полагаем с = 0.

Тогда

ln | v | −ln | cos x |= 0,

v = cos x.

Интегрируем второе уравнение системы (2):

1

′

1

u

′

cos x =

1

u

′

=

1

u = ∫

dx + c,

u =tgx + c.

,

,

2

,

2

u v =

cos x

cos x

cos

cos

x

x

Тогда общее решение данного дифференциального уравнения будет иметь вид:

y =u v = (tgx + c)cos x		(3)
Из (3) найдем с, полагая	x = π, y =1:	1 = (tgπ+ c) cos π, отсюда
c = −1 . Подставляя значение	c = −1 в общее решение (3), получим ча-

стное решение исходного дифференциального уравнения, удовлетворяющее данному начальному условию:

y = (tgx −1)cos x =sin x − cos x.

Ответ: y = (tgx + c)cos x ; y =sin x − cos x.

64

Задание 6.

Полагая х + 2 = у, получим ряд

∞

y

n

∑

(4)

n(5n +1)

n=1

Найдем радиус сходимости этого ряда.

Так как

an =

1

,

n(5n

+1)

an+1

=

1

,

то

R = lim

a

n

= lim

(n +1)(5n+1 +1)

= 5 .

(n +1)(5n+1

+1)

an+1

n(5n

+1)

n→∞

n→∞

Следовательно, (- 5; 5) – интервал сходимости полученного ряда (4). Исследуем сходимость ряда (4) на концах интервала сходимо-

сти, т.е. при у = -5 и у = 5. При у = -5 получим ряд

∑∞ (−1)n 5n n=1 n(5n +1) .

Это знакочередующийся ряд, члены которого убывают по абсолютной

n →∞ и

lim | a

5n

величине при

n

|= lim

= 0. По признаку

n→∞

n→∞ n(5n +1)

Лейбница этот ряд сходится.

При у = 5 получим положительный ряд

∞

5

n

∑

.

n(5n

+1)

n=1

∞

1

Сравним этот ряд с расходящимся гармоническим рядом

∑

. По

n=1

n

5

n

1

второму признаку сравнения

n

:

Следовательно

lim

n

=1 ≠ 0.

n→∞ n(5

+

1)

∞

5

n

ряд ∑

расходится.

n=1

n(5n +1)

Таким образом, областью сходимости ряда (4)

является проме-

жуток

[-5;

5). Заменив переменную

у

переменной х,

получим

−5 ≤ x + 2 <5,

− 7 ≤ x <3, т.е.

[-7; 3) – область сходимости данного

ряда.

Ответ: (-7; 3),

[-7; 3).

65

Задание 7.

Разложение функции sin x в ряд Маклорена имеет вид:

sin x = x −

x3

+

x5

−

x7

+...

3!

5!

7!

Подставив

x2 вместо х, получим

1

sin x

2

1

x

4

x

8

x

12

x

5

x

9

x

13

1

∫

dx = ∫

1

−

+

−

+

... dx = x

−

+

−

+ ...

=

x

2

3!

5!

7!

5

3!

9 5!

13

7!

0

0

0

=1

−

1

+

1

−

1

+....

5

3!

9 5!

13 7!

Так как

1

=

1

<

1

, то по признаку Лейбница, чтобы

9

5!

1080

1000

выполнить заданную точность, достаточно взять сумму первых двух членов. Следовательно,

1 sin x2				1				1		29
∫			dx ≈1 −			=1	−		=		≈ 0,9667.
	x	2		5 3!				30		30
0

Ответ: 0,9667.

Задание 8.

Для нахождения коэффициентов а и b линейной зависимости у = ах + b по методу наименьших квадратов составим нормальную систему

	n	n	n
a∑xi2		+ b∑xi = ∑xi yi
	i=1	i=1	i=1
	n		n
	a∑xi + b n = ∑yi .
	i=1		i=1

Для этого необходимые результаты вычислений занесем в таблицу

i	xi	yi	xi yi	xi2
1	1	1	1	1
2	2	0,5	1	4
3	3	2,5	7,5	9
4	4	4	16	16
5	5	3	15	25
∑	15	11	40,5	55

66

В последней строке таблицы записаны коэффициенты нормальной системы уравнений, которая в данном случае примет вид

55a +15b = 40,515a + 5b =11.

Решая эту систему, получаем а = 0,75, b = -0,05. Следовательно, за-

висимость между величинами х и у	выражается формулой
y = 0,75x − 0,05.
Подставляем в полученную формулу	х = 6, получаем

y(6) = 0,75 6 − 0,05 = 4,45.

Это и есть искомое прогнозируемое значение.

Ответ: y = 0,75х – 0,05; 4,45.

ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ И ОФОРМЛЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Студент должен выполнить две контрольные работы №1 и №2, строго придерживаясь указанных ниже правил. Работы, выполненные без соблюдения этих правил, не допускаются к собеседованию и возвращаются студенту для доработки.

1.Студент должен выполнять контрольные работы по варианту, номер которого совпадает с последней цифрой номера его зачетной книжки. Контрольные работы, выполненные не по своему варианту, к собеседованию не допускаются.

2.Контрольные работы следует выполнять каждую в отдельной тетради чернилами любого цвета кроме красного, оставляя поля для замечаний рецензента.

3.В заголовке должны быть ясно написаны фамилия и инициалы студента в родительном падеже, номер зачетной книжки (шифр), специальность, номер группы, факультет и номер выполняемой кон-

67

трольной работы. Заголовок работы надо поместить на обложке тетради; здесь же следует указать дату отсылки работы в университет и адрес студента.

4.Решения задач располагать в порядке номеров, указанных в заданиях, сохраняя номера задач.

5.Перед решением каждой задачи надо выписать полностью ее условие. В том случае, когда несколько задач имеют общую формулировку, следует, переписывая условия задач, заменить общие данные конкретными из соответствующего номера.

6.Решения задач излагать подробно и аккуратно, объясняя все действия и делая необходимые чертежи.

7.В конце выполненной контрольной работы следует указать использованную литературу.

8.После получения прорецензированной работы студент должен исправить в ней все отмеченные ошибки и недочеты и вернуть ее на повторное рецензирование. В связи с этим рекомендуется при выполнении контрольной работы оставлять в конце тетради несколько чистых листов для исправлений и дополнений в соответствии с указаниями рецензента.

68

Содержание

Предисловие……………………………………………………………... 3

I.Методические указания по изучению курса высшей математи-

ки……………………………………………………………………….. 3

Литература…………………………………………………………..……. 3

Вопросы по курсу «Высшая математика»……………………………… 4

1.Аналитическая геометрия……………………………………………... 6

2.Линейная алгебра…………………………………………….………... 9

3.Математический анализ ……………………………………………... 24

II. Контрольные работы…………………………………………….… 29

Контрольная работа № 1………………………………………………... 29

Методические рекомендации к выполнению контрольной работы № 1………………………………………………………………. 38

Контрольная работа № 2………………………………………………... 51

Методические рекомендации к выполнению контрольной работы № 2………………………………………………………………. 59

Правила выполнения и оформления контрольных работ……….. 66