Задания к главам 4,5

№

Задание

Варианты ответов

Отв.

1

Среди следующих функций указать функции, в

1)

a), b), d);

1)

область определения которых входит полуин-

2)

только d);

тервал (0;1]:

3)

b), e);

y =

1

1

4)

a), c);

a)

; b) y = ln x ;

c) y =

;

5)

a), d), e).

x

x2 − x

d)

y =

1− x

;

e)

y = lnln x .

2

Если

f (x) = x2 +1,

g(x) = sin x , то композицией

1)

a);

2)

функций g и f

( g f ) является функция

2)

b);

3)

c);

a)

sin2 x +1;

b) sin(x2 +1) ;

c)

sin x2 +1;

4)

d);

d)

(x2 +1)sin x ;

e)

sin(x3 + x) .

5)

e).

3

Какие из данных функций являются четными:

1)

а);

3)

a)

y = x6 ;

b)

y = x3 ;

2)

d), e);

c)

y = ex ;

d)

y = cos x ;

3)

а), d), e);

e)

y = sin x2 .

4)

c), b);

5)

ни одна не

является.

4

Какие из данных функций являются нечетными:

1) а), b), e);

4)

a)

y = x6 ;

b)

y = x3 ;

2) ни одна не

с)

y = ex ;

d) y = sin x ;

является;

e)

y = 2x2 − x4 .

3) только b);

4) b), d);

5) c), d).

5

Обратной к функции y = x3 +1 является функ-

1)

y =

1

;

2)

ция

x3 +1

2)

y = 3

x −1

;

3)

y = 3

−1;

x

4)

x = y3 +1;

5)

x =

1

.

y3 +1

267

№

Задание

Варианты ответов

Отв.

6

Бесконечно малыми при x → ∞ функциями

1)

все, кроме b);

5)

являются

2)

a), d);

a)

y =

1

;

b)

y = sin x

2

;

3)

a), d), e);

4)

b), c);

2

x

x

5)

все.

c)

y = cos x +sin x ;

d)

y =

2x

;

2x2 +1`

1

x

e)

y =

.

(x −1)2

7

Бесконечно большими при x → 0 функциями

1) только b);

1)

являются

2)

a), b);

1

1

3)

c), d);

a)

y = sin x

;

b)

y = x ;

4)

a), b), e);

c)

y =

1

;

d)

y =

1

;

5)

все.

ln x

ex

e)

y =

sin x

.

x

8

Какие из следующих пределов равны числу 1:

1)

а), c);

2)

a)

lim

sin x

;

b)

lim

1

x

2)

a), c), d);

x

1+

x

;

3)

только b);

x→0

x→∞

4)

a), e);

sin x2

tg(x −1)

c)

5)

a), c), e).

lim

;

d)

lim

;

x2

x

−1

x→0

x→1

e) lim sin x .

x→∞

x

9

2

3

Вычислить lim

3x + x −1

x→∞ x2 − 2x +1

10

Вычислить lim

3x2 + x −1

0

x→∞ x3 − 2x +1

11

Вычислить lim

3x2 + x3 −1

1

x→∞

x3 − 2x +1

12

Вычислить lim

0,1x2 −1

10

0,01x2 − 2x +1

x→∞

13

Вычислить lim sin3x

3

x→0

tg x

14

Вычислить lim sin x tg2 2x

4

x→0

tg x

268

№

Задание

Варианты ответов

Отв.

15

Вычислить lim e10x

−1

5

x→0

sin 2x

16

Вычислить lim

ln(1+ 6x2 )

3

sin 2xarcsin x

x→0

17

1

2x

2

+

= e

k

, то k равно

Если lim 1

x

x→∞

18

2

x

2

+

= e

k

, то k равно

Если lim 1

x

x→∞

19

x +3

x

k

1

Если lim

= e

, то k равно

x→∞ x + 2

20

x − 2

−2x

= e

k

k равно

8

Если lim

, то

x→∞ x + 2

21

Найти lim

f (x) , если

f (x)

2 x при x ≤ 0

.

1

=

x→+0

x

+1 при x > 0

22

Найти lim

f (x) , если

f (x)

0

= cos x при x ≤π .

x→+0

sin x при x >π

23

Найти lim f (x) , если

5

x→+0

x −3 при x < 0

f (x) =

x +1 при 0 ≤ x ≤ 4 .

x при x > 4

3 +

24

Найти

lim

f (x), если

f (x) = 3x−1 .

0

1

x→1−0

25

Найти

lim

f (x)

, если

f (x) =

x −3

.

–1

x→3−0

x −3

26

Найти

lim

f (x), если f (x) =

x2 −14x + 49

,

0

x0 = 7.

x→x0 −0

x −7

269

№

Задание

Варианты ответов

Отв.

27

Какие из следующих функций являются не-

1)

a), d);

1)

прерывными в точке x0 = 0 :

2)

a), e);

1 при x < 0

3)

b), d);

4)

c), d);

a) f (x) =

x

2 +1 при 0 ≤ x ≤1;

5)

c), b).

x +1 при x >1

b) f

(x) =

x2

−1

;

с) f (x) = ln(x −1) ;

x

−1

d) f (x) = (x −1)2 ;

x

2

при x <

1

.

e) f (x) =

2x +1 при x ≥1

28

Какие из следующих функций имеют устра-

1)

b), c);

2)

нимый разрыв в точке x =1:

2)

c), d);

a)

y

1

y =

x −1

3)

d), c);

=

;

b)

;

4)

a),b), c);

(x −1)2

x −1

x2

− 2x +1

5)

только c).

c)

y

=

;

d) y =

sin(x −1)

;

x −1

x −1

e)

y =

sin x

.

x −1

29

Какие из данных функций имеют разрыв пер-

1)

a), d);

3)

вого рода в точке x = 2:

2)

a), d), b);

f (x) =

1

f

(x) =

x − 2

3)

b), c), d);

a)

;

b)

;

4)

c), e);

x2 − 2x

x2 − 4

c) f (x) = tg(x − 2) ;

d)

f (x) = sin(x − 2) ;

5)

только b).

x − 2

x − 2

1 при x ≤

2

e) f (x) =

.

1

при x > 2

− 2

x

30

Какие из данных функций имеют разрыв вто-

1)

a), c), d);

4)

рого рода в точке x = 3 :

2)

b), c);

a)

f (x) = sin

1

f (x) =

x + 2

3)

c), d);

;

b)

;

4)

a), b), d);

x −3

x2 −9

b)

f (x) = sin(x −3)

;

d)

f (x) = 3

1

;

5)

a), b), e).

x−3

x −3

e)

f (x) =

x −3

.

x2 −9

270