По последней строке табл.1.2 составляем систему (1.11), которая примет вид:

55a1 +15a0 = 4213,

15a1 +5a0 =1347.

Вычитая от первого уравнения утроенной третье, получим 10a1 =172 , откуда a1 =17,2 . Тогда второе уравнение примет вид:

15 17,2 +5a0 =1347 , откуда a0 = 217,8. Значит, искомая зависимость имеет вид: y =17, 2x + 217,8 .

1.4.3. Выравнивание экспериментальных данных по параболе

Пусть экспериментальные данные из табл. 1.1 располагаются вблизи некоторой параболы так, что между переменными x и y

можно предположить наличие зависимости, которая выражается

формулой y = a x2

+a x +a .

Тогда,

следуя методу наименьших

2

1

0

квадратов, надо найти минимум по

a0 , a1, a2

функции трех пере-

n

a2 xi2 +a1xi + a0 − yi )2 . Вычисляя частные

менных

S(a0 , a1, a2 ) = ∑(

i=1

производные

∂S

,

∂S

,

∂S

и приравнивая их к нулю, получаем

∂a

∂a

∂a

0

1

2

нормальную систему метода наименьших квадратов

при вырав-

нивании по параболе:

n

4 + a1

n

n

n

2 yi ,

a2

∑xi

∑xi

3

+ a0

∑xi

2 = ∑xi

i=1

i=1

i=1

i=1

n

3 + a1

n

2

+ a0

n

n

a2

∑xi

∑xi

∑xi

= ∑xi yi ,

(1.13)

i=1

i=1

i=1

i=1

n

2 + a1

n

n

a2

∑xi

∑xi

+ a0n = ∑ yi .

i=1

i=1

i=1

Решая эту систему, находим требуемые

a 0 ,

a 0

и a 0

, так

2

1

0

что искомое

уравнение

квадратичной

зависимости

есть

y = a 0 x2

+a 0 x +a 0 .

2

1

0

30

1.4.4. Выравнивание экспериментальных данных по гиперболе

Если есть основания полагать, что зависимость между переменными x и y обратно-пропорциональная (такая зависимость

имеет, например, место для связи между объемом выпускаемой продукции x и себестоимостью y единицы продукции), то эмпи-

рическая формула ищется в виде y = a0 + ax1 . В э том случае систе-

ма нормальных уравнений метода наименьших квадратов будет иметь вид:

n 1

n

a0n + a1

∑

= ∑ yi ,

n 1

i=1 xi

i=1

y

(1.14)

n

1

n

a0

∑

+ a1∑

= ∑

i

.

i=1 x

i

=1 x 2

i=1 x

i

i

i

31