RI_OCR[4]
.pdf..!..у' = |
+ (Зх - |
·3 In (sin 7х) + |
arctg (3х - 5)· _.1 - Х |
|
У |
1 |
Б)2 |
SIП 7Х |
|
|
|
|
Х 7 cos 7х. |
|
Отсюда |
|
|
|
|
у'= |
(sin 7х)агсtg(зх-s)(31п(sin 7х) + |
7 arctg (Зх-5).cos 7Х). |
||
|
|
|
1+ (3х-Б? |
sin 7х |
14. у = V(X+5)6 /«x-I)2(x+3».
~Применяя метод логарифмического дифференци
рования (см. § 6.2), последовательно находим:
. In у= |
~ |
In (х+ |
5) - 2 In (х- |
|
1) - |
5 In (х+ |
3), |
||||||||||
|
|
|
1, |
|
|
6 |
2 |
|
|
|
Б |
|
|
|
|
||
|
|
|
уу |
= |
7(х+Б) - |
-х=т - х+З' |
|
|
|
||||||||
У |
, |
V(х+Б)6 |
(6 |
|
|
2 |
|
|
Б ) |
|
|
||||||
|
= (х_I)2(х+З)5 |
7(х+Б) |
- |
х-I |
- |
х+3 |
. |
• |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ИД3-6.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Найти у' и у". |
|
1.2. х2/5 + у2j7 = |
|
|
|||||||||||||
1.1. у2 = |
8х. |
|
|
|
|
|
1. |
|
|||||||||
1.3. У = х + |
arctg у. |
1.4. х2/5 |
+ у2/3 = |
1. |
|
||||||||||||
1.5. у2 = |
25х - |
|
4. |
|
1.6. arcctg у = |
|
4х + |
5у. |
|||||||||
1.7. у2 -x=cos у. |
|
1.8. |
|
3х + sin у = 5у. |
|
||||||||||||
1.9. tg у = 3х |
+ 5у. |
|
1.10. |
ху = |
ctg у. |
|
|
||||||||||
1.11. у=еУ+4х. |
|
1.12. |
In у - |
у/х = |
7. |
|
|||||||||||
1.13. y2+ r |
=siny. |
1.14. |
еУ = |
4х -7у. |
|
|
|||||||||||
1.15.4sin2 (x+y)=x. |
1.16. sin у = 7х + |
3у. |
|||||||||||||||
1.17. tg у = |
4у -5х. |
1.18. у=7х-сt |
у. |
|
|||||||||||||
1.19. xv - 6 = |
cos у. |
1.20. |
3у = |
7 + |
хуз. |
|
|||||||||||
1.21. У = |
х + In (у/х). |
1.22. x~2 |
- |
3 |
|
4х - 5. |
|||||||||||
V2 |
|||||||||||||||||
1.23. х2у2 |
+ |
х = |
5у. |
|
1.24. х +х у +у=4. |
||||||||||||
1.25. sin у = |
|
ху2 + |
5. |
1.26. х3 + |
у3 = |
|
5х. |
|
|
||||||||
1.27. -{; +-{у=-J7. |
1.28. у2 = |
(х - |
|
у)/(х +у). |
|||||||||||||
1.29. sin 2 (3х + |
у2) = 5. |
1.30. ctg2 (х + |
у) = |
5х. |
|||||||||||||
2. Найти у' и у". |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 1 |
{Х = t2t + |
3) cos t, |
22 {Х=2 cos |
2 |
t, |
|
|
||||||||||
•• |
У = |
3t3 • |
|
|
|
|
•• |
|
У = |
3 sin 2 |
t. |
|
|
||||
2 3 |
{x=6COS3 |
t, |
|
4 |
|
Х = |
1/ (' +2), |
|
|||||||||
•• |
У = |
2 sin |
3 |
t. |
|
{У = |
(t/(t + 2»2. |
|
|||||||||
|
|
2.. |
|
||||||||||||||
|
|
|
-21 |
, |
|
|
2.6. {Х=.;t, |
|
|
|
|
||||||
25• • |
{ х=е41 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
у=е. |
|
|
|
|
|
|
|
y=V!. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
221
{Х= 4t +2t 2,
2.9.у = Бt3 _ 3t2 •
2.11. {Х = |
е c?s t, |
||
|
у = |
е SIП t. |
|
2.13. {Х = |
5 c?s t, |
||
|
у=4 sIП t. |
||
2. 15. |
bt=arctgt, |
||
ГУ = |
In (1 |
+(2 ). |
|
2 17 |
{Х = |
3(t - |
sin (), |
· • |
У = |
3( 1 - cos t). |
2.19.{уХ = sin 2t,
=cos 2 (.
221 |
{Х = |
(ln t)/t, |
• |
• У = |
t2 In t. |
223 |
X=I/(t+I), |
· . { y=(t/(t+I»2. |
2·25 |
|
Х= е-Зt, |
. {у=е8/. |
||
2•27 |
. |
Х = In 2 t, |
{y=t+!nt. |
||
229 |
• |
{Х = 6t2-4, |
• |
У = 3/5. |
28 {X=~,
. : y=(t+ I)/~.
2.10. {x=(ln t)/t, y=tlnt.
{Х- t4
2.12. =1 n't .
у-
2 14 {х = 5 cos2 t,
.. y=3sin 2 t.
2.16. {Х = |
arcsin (, |
|
|
y=-.fI=f. |
|
218 |
{х = |
3(sin t - t cos t), |
.. У = |
3(cos t +t sin t). |
|
2.20. |
{Х - еЗt |
|
У - |
е-'Зt. |
|
.2.22. {Х = |
arccos t, |
|
|
|
L г.-д |
|
У =\/ I-t-. |
|
2.24. {Х=5SiпЗ t, |
||
|
y=3cosз t. |
|
2.26. {Х= |
i!.a_-1)2, |
|
|
y=~ |
|
2 28 |
{Х = М, |
|
. . |
y=t/e. |
|
230 |
{Х = |
arcsin /, |
. • |
У = 'П (. |
3. Для данной |
функции |
у и аргумента Хо вычислить |
|||||||
у'" (Хо). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.1. У = |
sin 2 х, |
Хо = л/2. |
|
3.2. у = |
arctg х, |
Хо = 1. |
|||
3.3. У = 'П (2 + х2), Хо = |
О. |
3.4. у = |
е" cos Х, |
ХО = О. |
|||||
3.5. У = |
е" sin 2х, |
хо = |
О. |
|
3.6. у = |
е-" cos х, хо = О. |
|||
3.7. y=sin 2х, хо=л. |
|
|
3.8. у=(2х+ 1)5, хо= 1. |
||||||
3.9. |
У = |
In (1 +х), |
Хо = |
2. |
3.10. У = |
i-re", |
Хо = О. |
||
3.11. |
У = |
arcsin х, |
Хо = |
О. |
3.12. У = |
(5х - 4)5, Хо = 2. |
|||
3.13. |
У = Х sin х, Хо = л/2. |
3.14. у = х2 In х, |
хо = 1/3. |
3.15.У = Х sin 2х, Хо =-л/4.
3.16.y=xcos2x, хо=л/12.
3.17. у = х· In х, хо = 1. 3.18. y=x+arctg х, хо= 1.
3.19.y=cos2 x, хо=л/4. 3.20. y=ln(x2 -4), Хо=3.
3.21.у = r cos х, хо = л/2.
222
3.22.У = х arccos х, хо =-{3/2.
3.23.У =(х+ 1) In (х+ 1), хо = -1/2.
3.24. У = In3 х, хо = 1. |
3.25. У = 2Х', хо = 1. |
3.26.у=(4х-3)5, хо= 1.
3.27.y=xarcctgx, хо=2. 3.28. у=(7х-4)6, хо= 1.
3.29. У = х sin 2х, хо = л/4.
3.30. у = sin (х3 + л), хо = v;..
4. Записать формулу для производной n-го порядка
указанной фуикции.
4.1. |
у = |
In х. |
4.3. |
у = |
2Х • |
4.5.у = sin х.
4.7.у = e- zx.
4.9.у=-Гх.
4.11. у= Цх-3). 4.13. у = е4Х• 4.15. у=5Х •
4.17. у = In (4 + х). 4.19. У = !ОХ.
4.21. У = cos 3х.
4.23. у= _Х_.
х+5
4.25. у =-vх+ 7. 4.27. у= Х~З'
1
4.29. у = 1 +х .
4.2.У = I/x.
4.4.у = cos х.
4.6. у= 1/(x+5).
4.8.У = In (3 +х).
4.10.У = хе3Х•
4.12. y=ln(5+x2 ).
4.14.у= 1/(x-7).
4.16.у = е-5х •
4.18.У = I/(x - 6).
4.20.у=7Х •
4.22. У = In (3х - 5).
I
4.24. y=ln-- .
4-х
4.26. у = хебх •
4.28.у = 1$'
4.30.у = In (5х - 1).
|
5. Решить следующие задачи. |
|
|
|
|
|
|||
|
5.1. Записать уравнение касательной к кривой у = |
х2 _ |
|||||||
-7х + 3 в точке с абсциссой х = 1. |
|
|
|
|
|
||||
|
5.2. |
Записать |
уравнение |
нормали |
к |
кривой |
у = |
х2 - |
|
- |
16х +7 в точке с абсциссой х = 1. |
|
|
|
|
у = |
|||
|
5.3. |
Записать |
уравнение |
касательной к |
линни |
||||
=-vх |
4 в точке с абсциссой х = 8. |
|
|
|
|
|
|||
. |
5.4. Записать уравнение нормали к линии у = -vх+4 |
||||||||
в точке с абсциссой х = - 3. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
5.5. Записать |
уравнение касательной |
к |
кривой |
|||||
у=х3 -2х2 +4х-7 в точке |
(2, 1). |
|
|
|
|
|
|||
|
5.6. |
Записать |
уравнение |
нормали |
к |
кривой |
у = |
х3 _ |
|
- |
5х2 +7х - 2 в точке (1, 1). |
|
|
|
|
|
223
5.7. Определить угловой коэффициент касательной
к кривой х2 -!/+ху-ll =0 в точке (3,2).
5.8. В какой точке кривой у2 = 4х3 касательная пер |
|
пендикулярна к прямой Х + 3у - |
1 = о? |
5.9. Записать уравнение касательной к кривой у = r- |
|
:..... 6х +2 в точке с абсциссой Х = |
2. |
5.10. |
Записать уравнение касательной к кривой у = |
= х2/4 - |
Х +5 в точке с абсциссой Х = 4. |
5.11.Записать уравнение нормали к кривой у = х4/4-
-27х +60 в точке с абсциссой Х = 2.
|
5.12. Записать |
уравнение |
касательной |
к |
кривой |
у= |
- ~ +7х - 15/2 в точке с |
абсциссой Х= 3. |
|
||
|
5.13. Записать |
уравнение |
нормали к |
кривой у = |
|
= |
3 tg 2х + 1 в точке с абсциссой Х = л/2. |
|
|
||
|
5.14. Записать |
уравнение |
касательной |
к |
кривой |
у= 4 tg 3х в точке с абсциссой Х = л/9.
5.15.Записать уравнение нормали к кривой у = 6 tg 5х в точке с абсциссой Х= л/20.
5.16. Записать уравнение касательной к кривой
у= 4 sin 6х в точке с абсциссой Х = л/18.
5.17.Выяснить, в каких точках кривой у = sin 2х каса
тельная составляет с осью ОХ угол л/4.
5.18. Выяснить, в какой точке кривой у = 2х3 - 1
касательная составляет с осью ОХ угол л/3.
5.19. |
Выяснить, |
в |
какой |
точке |
кривой |
у = |
х3/3 - |
||||||
- х2/2 - |
7Х +9 |
касательная составляет с осью |
ОХ угол |
||||||||||
-л/4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х3/3 - |
||
5.20. |
Выяснить, в каких точках |
кривой |
у = |
||||||||||
- 5х2 /2 |
+7Х + |
4 |
касательная |
составляет |
с |
осью |
ОХ |
||||||
угол л/4. |
|
|
|
|
|
|
у = х3/3 - |
9х2/2 + |
|||||
5.21. |
Найти |
точки |
на |
кривой |
|||||||||
+ 20х -7, в которых касательные |
параллельны оси ОХ. |
||||||||||||
5.22. |
Найти точку на кривой у = |
х4/4 -7, касательная |
|||||||||||
в которой параллельна прямой у = |
8х - 4. |
+4х + 7, ка |
|||||||||||
5.23. |
Найти |
точку |
на кривой |
у = |
-зх2 |
||||||||
сательная в которой перпендикулярна к прямой Х - |
|
20у |
+ |
||||||||||
+5=0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
4х +6, |
|
|
||
5.24. |
Найти |
точку |
на кривой |
у = |
зх2 - |
каса |
|||||||
тельная |
в которой параллельна прямой 8х - у - |
5 = |
о. |
||||||||||
5.25. |
Найти |
точку |
на кривой |
у = |
5х2 - |
4х |
+ |
1, |
каса |
||||
тельная |
в которой |
перпендикулярна |
к прямой Х |
+6у |
+ |
+15=0.
5.26.Найти точку на кривой у = зх2 - 5х - 11, каса
+10 = о.тельная
224
|
5.27. Найти точку |
на кривой у = |
_х2 + 7х + 16, ка |
|||||||||||
сательная в которой параллельна прямой |
|
у = |
3х +4. |
|||||||||||
|
5.28. |
Выяснить, в какой точке кривой у = 4х2 - |
10х + |
|||||||||||
+ 13 |
касательная |
параллельна |
прямой |
|
у = 6х - 7. |
|||||||||
|
5.29. Выяснить, в какой точке кривой у = |
7х2 |
- |
5х + 4 |
||||||||||
касательная перпендикулярна к прямой 23у |
+ х - |
1 = о. |
||||||||||||
|
5.30. Выяснить, в какой точке кривой у = |
~/4 - |
7х+5 |
|||||||||||
касательная параллельна прямой у = |
2х+5. |
|
|
|
|
|||||||||
|
6. Решить следующие задачи. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
6.1. |
Траектория |
движения |
тела - |
кубическая |
пара |
||||||||
бoлa 12у = х3 . В каких ее точках |
скорости |
возрастания |
||||||||||||
абсциссы |
и |
ординаты |
одинаковы? |
(Ответ: |
|
(2, |
2/3), |
|||||||
(-2, -2/3).) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
6.2. Закон движения материащ,ной точки s = зt2/4 - |
|||||||||||||
- |
3t + |
7. |
В какой момент времени скорость ее движения |
|||||||||||
будет равна 2 м/с? |
(Ответ: 10/3 с.) |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
6.3. По оси Ох движутся две материальные точки, |
|||||||||||||
законы движения которых х = |
4t 2 - |
7 и х = 3t 2 - |
4t + 38. |
|||||||||||
С |
какой |
скоростью |
эти точки |
удаляются |
друг |
от друга |
||||||||
в момент |
встречи? |
(Ответ: 40 м/с или 26 м/с.) |
|
|
||||||||||
|
6.4. |
Материальная |
точка |
движется |
по |
гиперболе |
||||||||
ху = 12 |
так, |
что ее абсцисса |
х равномерно |
возрастает |
со скоростью 1 м/с. с какой скоростью изменяется орди
ната точки, когда она проходит положение (6, 2)? |
(ОТ |
|||||||||||
вет: -1/3 м/с.) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
6.5. |
в какой точке |
параболы у2 = 4х ордината возра |
|||||||||
стает вдвое быстрее, чем |
абсцисса? (Ответ: (1/4, |
1).) |
||||||||||
|
6.6. Закон |
движения |
материальной |
точки |
s = |
t4 - |
||||||
-3t 2 + |
2t - |
4. Найти скорость движения точки в момент |
||||||||||
времени |
t = |
2 с. |
(Ответ: 22 м/с.) |
|
|
s = 3t 4 - |
||||||
|
6.7. Закон |
движения |
материальной точки |
|||||||||
- |
t 3 + 4t 2 + 6. |
Найти |
скорость ее движения |
в момент |
||||||||
времени t = |
2 с. |
(Ответ: 100 м/с.) |
|
|
|
|
||||||
|
6.8. |
Закон |
|
движения |
материальной |
точки |
s = |
|||||
= |
4 cos (~ |
+ :) + 6. |
Найти ее скорость |
в |
момент |
вре |
||||||
мени t = |
л с. (Ответ: |
- |
1 |
м/с.) |
|
|
|
|
||||
|
6.9. |
Закон |
|
движения |
материальной |
точки |
s = |
|||||
= |
4 sin (~ |
+ ~) - 8. |
Найти ее скорость |
в |
момент |
вре |
||||||
мени t = |
л/2 |
с. |
(Ответ: 2/3 м/с.) |
|
|
|
|
|||||
|
6.10. |
Закон |
движения |
материальной |
точки |
s = |
||||||
= |
- 3 cos (~ |
+ l~) + 10. |
Найти ее скорость в момент |
|||||||||
времени t = |
л/3 |
с. (Ответ: |
3/8 м/с.) |
|
|
|
|
225
|
6.11. Закон движения материальной точки s = |
~ t3 - ' |
|||||
- |
-} /? + 7. |
В какой момент времени ее скорость |
будет |
||||
равна 42 м/с? (Ответ: 3 с.) |
|
4t3 - |
|||||
|
6.12. Закон движения |
материальной точки s = |
|||||
- |
2/ + 11. |
В какой момент времени ее скорость |
будет |
||||
равна 190 м/с? |
(Ответ: 4 с.) |
|
s = |
||||
|
6.13. |
Закон |
движения |
материальной |
точки |
||
|
5 |
2/ |
+7. |
|
. |
|
|
= |
"3 t3 - |
Найти скорость ее движения в момент |
|||||
вреМЕ:НИ |
/ = |
4 с. |
(Ответ: 78 м/с.) |
|
|
||
|
6.14. |
Закон движения материальной точки s = |
2t 5 - |
||||
- |
бt3 - |
58. |
Найти скорость ее движения в момент вре |
||||
мени / = 2 с. (Ответ: 88 м/с.) |
|
|
|||||
|
6.15. По оси Ох движутся две материальные точки, |
||||||
законы движения которых х = 3t2 - 8 и х = |
2/2 + |
5/ + 6. |
С какой скоростью удаляются эти точки друг от друга
вмомент встречи? (Ответ: 42 м/с, 33 м/с.)
6.16.По оси Ох движутся две материальные точки,
+6 и х = 4/2 + 18.законы
С какой скоростью удаляются эти точки друг от друга в
момент встречи? (Ответ: 39 м/с, 32 м/с.)
6.17. По оси Ох движутся две материальные точки,
закоиы движения |
которых х = : /3 -7t + 16 и х= |
= t3 + 2t2 +5t - 8. |
В какой момент времеии их скорости |
окажутся равными? (Ответ: 6 с.)
6.18. |
Закон движения материальной точки s = ~ t3 _ |
|||
- 2t2 - |
11/ + 275. В какой момент времени скорость |
ее |
||
движения будет равна 10 м/с? |
(Ответ: 7 с.) |
|
||
6.19. |
Материальная точка |
движется |
по гиперболе |
|
ху = 20 так, что ее абсцисса равномерно |
возрастает |
со |
скоростью 1 м/с. с какой скоростью изменяется ее
орднната, когда точка проходит положение (4, 5) ?
(Ответ: -1,25 м/с.)
6.20.в какой точке параболы !I = 8х ордината возра
стает вдвое быстрее, чем абсцисса? (Ответ: (1/2, 2).)
6.21.По оси Ох движутся две материальные точки,
+2t + 6 и х = 4t2 +
+3t + 18. С какой скоростью удаляются эти точкизаконы
друг от друга в момент встречи? (Ответ: 42 м/с или
35м/с.)
6.22.в какой точке крнвой !I = 16х ордината воэра-
226
стает в четыре раза быстрее, чем абсцисса? (Ответ:
(1/4, 2).)
6.23.В какой точке параболы х2 = 9у абсцисса возра
стает вдвое быстрее, чем ордината? (Ответ: (9/4,9/16).)
6.24.В какой точке параболы х2 = 10у абсцисса
возрастает в пять раз быстрее, |
чем ордината? (Ответ: |
|||||||
(1; |
0,1).) |
|
|
|
|
|
|
|
|
6.25. По оси Ох движутся две материальные точки, |
|||||||
законы |
движения |
которых |
х = 2t 3 - 2t |
2+ 6t - |
7 |
и |
||
Х= |
~ t 3 - |
t 2 + 14t +4. В какой |
момент времени их ско |
|||||
рости будут равными? (Ответ: |
4 с.) |
|
|
|
||||
|
6.26. Закон движения материальной точки по прямой |
|||||||
задан формулой s = |
+t 3 - {- t 2 - |
ЗОt + 18. |
В какой |
мо |
||||
мент времени скорость точки будет равна |
нулю? (ОТ |
|||||||
вет: 6 с.) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.27. |
Тело движется по прямой Ох по |
закону |
Х = |
||||
= {- t3 - |
2. t2 + 10/ - |
16. Определить скорость и ускоре |
||||||
ние движ~ния тела. В какие моменты времени оно |
||||||||
меняет направление движения? |
(Ответ: 2 с, 5 с.) |
|
|
|||||
|
6.28. Зависимость между массой Х кг вещества, полу |
чаемого в некоторой химической реакции, и временем t
выражается уравнением Х = 7(1 - е-4/). Определить ско
рость реакции в случае, когда t = О с. (Ответ: 28 кг/с.)
6.29. Материальная точка движется прямолинейно так,
что v 2 = 6х, где v - скорость; Х - пройденный путь. Опре
делить ускорение движения точки в момент, когда ско
рость равна 6 м/с. (Ответ: 1/2 м/с2.) |
|
s = 3t + |
|||||
+ |
6.30. Закон движения материальной точки |
||||||
/3. |
Найти скорость ее |
движения |
в |
момент |
времени |
||
t = |
2с. (Ответ: |
15 м/с.) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение типового варианта |
|
|||
|
1. |
Найти у' |
и у", если X3~ - у2 = |
6х. |
|
|
|
|
~ |
Имеем |
равенство |
3Х у +х3у' - |
2уу' = 6, |
откуда |
|
|
|
|
у' = (6 - Зх2у)/(х3 - |
2у). |
|
||
|
Продифференцировав обе части предыдущего равен |
||||||
ства, |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
6ху +3х2у' + 3х2у' + хЗу" - 2у? - |
2уу" = |
О, |
откуда
у"(~ - 2у) = 2у,2 - 6х2у' - 6ху,
227
У" =2 (6_3х2у)2 -6х2 |
6-3ry _~. ~ |
(х3 - 2у)3 |
(r - 2yi r-2y |
2.Найти У' и у", если
х= з/4 - t2 ,}
y=t3 -5.
~Так как
|
х' = 12t3 |
- |
2t,} |
х" = 36t2 - |
2,} |
|
|||
|
У' = 3t 2 |
|
И |
У" = 6t, |
|
|
|||
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,_ yf |
_ |
3t2 |
|
|
3t |
|
|
|
|
УХ - |
-;г |
- |
12t3 _ |
2t |
- |
12t2- |
2 ' |
|
••" _ |
ф'if - |
xf' ift |
_ |
6t(12t3 - |
2t) - |
(36t 2 - |
2)· зе |
|
|
ух - |
xr' |
|
- |
|
|
(12t 3 _ 2t)3 |
|
- |
|
_ |
72t4 - 12t 2 - |
108t4 + 6t 2 |
_ |
_ |
3(бt2 |
+ 1) |
~ |
||
- |
(12t 3 - |
2t'f |
|
- |
|
4t(6t 2 - I?· |
|||
3. Найти У'"( : ), |
если У = {- - |
+cos2 х. |
|
~Последовательно находим:
У' = |
~ cos х . sin х = |
~ sin 2х |
|
|
2 |
4' |
|
У" = |
+cos 2х, У'" = |
- |
sin 2х, |
у'"(л/4) = -sin (л/2) = |
-1. ~ |
4. Записать формулу для производиой n-го порядка,
если y=x~.
~ Имеем:
У' = ~ + хеХ , у" = ~ + ~ +x~ = 2еХ + хеХ •
У'" =·2~ + ~ + хеХ = 3еХ + x~.
Сравнив полученные выражения дЛЯ У', У" и У"', за
пишем:
Y<n)=n~ +x~. ~
5. Записать уравнение касательной к кривой У = х2 -
- |
9х - |
4 в точке с абсциссой х = |
- |
1. |
1 + 9 - 4 = 6. |
|
|
~ Ордината |
точки касания |
у( - |
1) = |
||
В |
любой точке |
У' = 2х - 9. В точке |
касания у'( -1) = |
|||
= |
~ 11. |
Поэтому имеем уравнение касательной (по точке |
||||
(-1, 6) |
и угловому коэффициенту |
-11): |
|
|||
|
|
У - 6 = |
-11 (х + 1), У = |
-llx - |
5. ~ |
228
6. По оси Ох движутся две материальные точки, законы
tЗ |
4 и Х2 = |
7 |
12t +3 (х- |
движения которых ХI ="3 - |
2" (2 - |
в метрах, t - в секундах). В какой момент времени их
скорости окажутся равными?
~ Находим скорости обеих точек: xf = t2 , ~ = 7( - 12.
Так как xf=x~, то (2=7t-12, t 2 -7t+ 12=0, tl =3 С, t2 = 4 с. •
ИД3-6.3
Найти указанные пределы, используя правило Ло
питаля.
1
1. 1. |
· |
In(x+5) |
. |
1.2. |
• |
аlПХ_х |
|
|
|
||||||
11т |
|
|
|
|
|
11т |
|
|
. |
|
|
||||
|
x~oo Vх+З |
|
|
|
x~O |
|
х-I |
|
|
|
|||||
1.3. |
lim |
tg х - х |
|
|
1.4. |
1im 1 - 4 sin 2 (пх/6) |
|||||||||
|
x~O |
х- sin х |
|
|
|
х.... 1 |
|
|
1 _х2 |
|
|
||||
1.5. |
1im arcsin ~ . ctg (х - а). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
х_й |
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.6. |
lim |
(л - |
2 arctg х) 'П х. |
lim (_1__ _х_). |
|||||||||||
1.7. |
lim |
(al |
/ |
x - |
I)x. |
1.8. |
|||||||||
|
x~oo |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1..9 |
x~oo |
|
|
|
|
|
|
|
x~1 |
|
In х |
|
|
In х |
|
11т |
2 |
|
|
. |
2' |
1.10. liт |
tg х - |
х |
|
|
|||||
|
· |
1 - |
cos r |
|
|
|
|
|
2 sin х + х • |
||||||
|
x~O |
Х |
- |
|
slП Х |
|
|
|
x~O |
|
|||||
1..11 |
· |
|
|
|
е I/x' - |
1 |
|
· |
|
хЗ - |
2х2 |
- |
|
Х +'2 |
|
11т |
2 arctg х |
2 |
1. 12. 11т |
|
3 |
. |
|
.• |
|||||||
|
x~oo |
- n |
|
x~1 |
|
Х -7х+6 |
|||||||||
1.13. |
lim х cos х - |
sin х . |
1.14. |
Hт~. |
|
|
|
||||||||
|
х-о |
|
|
|
х3 |
|
|
|
х-+оо х 5 |
|
|
|
|
||
1.15. |
|
|
|
|
I - x |
|
1.16. |
Iiт |
In х . |
|
|
|
|||
lim -:-------,-- |
|
|
|
||||||||||||
|
х->'I 1 - sin (пх/2) |
|
x_~ |
v; |
|
|
|
||||||||
1.17. |
lim |
|
ch х-I |
|
|
1.18. |
lim |
|
п/х |
|
|
|
|||
|
|
1 - |
|
cos х |
|
|
x~O ctg (пх/2) |
|
|
||||||
1.19. |
lim |
l/cos2 х- 2 tg х |
|
· |
|
In (sin mх) |
. |
||||||||
|
|
1 + cos 4х |
1.2О. 11т |
|
In (sin х) |
|
|||||||||
|
x~,,/4 |
|
|
|
x~O |
|
|
|
|||||||
1.21. |
lim~. |
|
|
1.22. |
lim (I - |
cos х) ctg х. |
|||||||||
|
x~,,/2 |
tg 5х |
|
|
|
Х-+О . |
|
|
|
|
|||||
1.23. |
lim (1 |
- |
х) tg (лхj2). |
1.24. |
liт |
х |
sih (Зjх). |
||||||||
|
~x-l |
|
|
|
|
|
|
|
x~oo |
|
|
|
|
|
229
1.25. |
lim |
У,+2х+l |
1.26. |
lim |
х cos х - sin х . |
||||
~+x |
|
|
x~o |
|
|
|
r |
||
|
x~-I |
|
|
|
|
|
|||
1.27. |
lim |
'-х |
, |
1.28. |
Iiт tg x-sin х |
||||
|
x~1 1 - sin (пх/2) |
|
|
х....о |
4х - |
|
sin х ' |
||
|
' |
tg 3х |
|
1.30. |
1im |
sec |
2 |
х - 2 tg х |
|
1.29. l Im -- . |
|
|
|||||||
|
X~1!/2 |
tg 5х |
|
|
X~1!/4 |
1 + cos 4х |
|||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2••1 |
' |
1 - |
cos 8х |
|
l1т |
tg |
2 |
' |
|
|
x~o |
2х |
|
|
2.3. liт In x·ln (x-I), |
||||
|
x~1 |
|
|
|
2.5. |
' |
( |
|
1 |
|
|
|
|
l 1т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x~1 |
|
2(1 _-{;) |
|
|
|||
|
' |
е'" - |
t!x |
|
|
|
||
2•6. lIm --- |
|
|
|
|||||
|
x~o |
|
sin х |
|
|
|
|
|
2.8. Iim (л - |
х) |
|
tg (xj2), |
|||||
|
X~1! |
|
|
|
|
|
|
|
2.10. |
Iiт |
1 - |
sin ах , |
|||||
x~,,/(2а) |
(2ах - п)2 |
|||||||
2.12. |
' |
|
~-I |
|
. |
|
||
l 1т |
'П (1 + 2х) |
|
||||||
|
нО |
|
|
|||||
2.14. |
lim~ |
|
|
|
||||
|
x~1 |
1 _х3 |
' |
|
|
|
||
2.16. lim I-cosax . |
|
|||||||
|
x~O |
1 -cos Ьх |
|
|
||||
|
' |
|
~-I |
|
|
|
|
|
2..18 lIm -- . |
|
|
|
|||||
|
x~ |
sin 2х |
|
|
|
|
||
2.20. |
lim( - I --- I), |
|||||||
|
х....о |
х |
sin |
х |
|
|
r |
|
|
' |
|
аХ __ ЬХ |
|
|
|
||
2.22. |
l 1т |
|
|
|
. |
|
|
|
|
х....о |
x-.../I-r |
|
|
||||
2.24. |
' |
erгГx_, |
, |
|
|
|||
l 1т |
|
|
|
|
|
х....о -.../sin Ьх
,еХ
2.26.11т - 5 '
ноо Х
2.2.lim х4 sin (ajx),
x~oo
2.4. |
|
lim(-I- - |
2 5 |
), |
||||
|
|
|
x~3 х-з |
|
Х -х-б |
|
||
2.7. |
|
lim |
(_х |
п |
) |
|||
|
|
|
|
X~1!/2 |
ctg х |
2 cos х • |
||
2.9. |
|
lim х - a~ctg х • |
|
|||||
|
|
|
|
Х-+О |
|
Х |
|
|
2.11. |
lim |
1 - 2 sin х |
|
|||||
|
|
|
|
X~1!/6 |
cos Зх |
|
||
2 |
• |
13 |
• |
l' |
ах - |
1 |
|
|
|
|
x~ сХ_1 • |
|
|
||||
2.15. |
Hт~. |
|
|
|||||
|
|
|
|
x~1 |
ctg |
х |
|
|
2.17. Iim |
х-а |
|
|
|||||
|
|
|
|
х-+а х!' - d' |
|
|||
2.19. |
lim (х In х), |
|
||||||
|
|
|
|
x~o |
|
|
|
|
2.21.lim (1 - е2х) ctg х.
х....о
2.23. |
• |
ex'_I_x3 |
|
11т |
|
2 |
|
|
х-+О |
|
sin 2х |
|
' |
|
2 |
2.25. |
|
ln.,..("...'.-:+,---x.f...)_ |
|
l 1т . |
|||
|
х-+О |
cos 3х - е-К |
|
2.27. |
lim |
'п (х+ 7) |
|
|
ж-++ 00 |
Vх-з· |
230